Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 112

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

4. lim sin — не существует, ибо для различных после-

Л'—»0

X

{х„} (хп =£0',

для которых lim х п ~ 0 ,после-

довательностей

 

 

 

 

 

 

 

П—>«

 

довательности

jsin ——|

ведут себя по-разному. Действи­

тельно, если хп =

1

 

то

1

=эіпя/г=і0, и, следовате­

ля

'

sin —

 

 

 

 

хп

 

 

льно, lim

sin ----=0.

Если же х„ =

---------------, Tosin------—

Л -»~

хп

 

 

 

 

Я

хп

 

 

 

 

 

 

 

2ли + —

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

sin (2пп -f — ]= 1 , и, следовательно, lim sin—^—= 1. Это

означает,

что

lim sin — не существует.

Заметим,

что с

 

 

х-М

X

 

 

 

помощью старого понятия предела

доказательство

этого

факта является

более трудным.

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

sin----

 

 

 

 

 

5. lim ----—=1.

Действительно,

какова бы ни

была

,ѵ-*0

. 1

 

 

 

 

 

 

sin —

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

последовательность

{хД, для которой

х ѣ=/=---- - (в этих

 

 

 

 

 

пп

 

точках функциях, стоящая под знаком предела, не опре­

делена.

и, согласно

определению,

не должна рассматри­

ваться)

и 1 і т х „ = 0

имеем

 

 

 

Л —* «о

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

sin -----

 

 

 

П т ----- ^ — =

lim 1=1-

 

n~*°° sjn----

п~*°°

Заметим, что предела

Хп '

 

функции с точки зрения

данной

старого

определения

не

существует.

Рассмотренный пример показывает, что, хотя оба опре­ деления предела служат одной и той же цели, однако, не яв­ ляются равносильными. Различие состоит* в том, что для первого определения необходимо, чтобы функция f(x) была определена в некоторой окрестности точки Хо, а для второго

определения

этого не

требуется; требуется лишь,

чтобы

функция

была

определена на

бесконечном множестве

то$ек

в любой

окрестности

точки

х0.

 

153.

Примеры для упражнений

Исходя из второго определения предела функции в точке, вычислить следующие пределы: '

Б е р м а н №№ 269,

275, 284,

296,

311,

321, 331, 356,

363,

368,

373,

398.

 

 

 

 

 

 

 

Кроме

того, рекомендуем

определить,

существуют

или

нет

нижеперечисленные

пределы:

 

 

 

 

 

 

і_

 

 

 

t g ~

 

 

 

 

lim 2 Л' ; lim tg—- ;

lim ------ —

;

 

 

 

x->0

2

X

*-*0

.

I

 

 

1

cos X—1

lim

cos

X — \

 

 

1

 

 

X

; lim

fl

4- л: sin — ) ?

x-A)

\

X I

 

 

 

 

 

 

 

 

Л И Т Е Р А Т У Р А

 

 

 

1.

Ф р о л о в

Н.

А.,

Краткий

курс высшей математики, часть

I,

МЭИ,

1962.

Б р и н

И.

А.

и др.,

Теория пределов и непрерывные функции,

МЭИ,

2.

1955.

Т о л с т

о<в Г. П.,

Курс математического анализа, т. I, ГИТТЛ,

1954.

3.

4.

П и с к у н о в

Н. С., Дифференциальное и интегральное исчисления

для

втузов,

Физматгиз,

1961.

 

 

математического анализа,

«Наука»,

5.

Ф и X т е и г о л ь ц Г. М., Основы

1964.

И л ь и н

В. А.,

П о з и я к

Э.

Г.,

Основы

математического

анализа,

6.

«Наука»,

1965.

Г.

Н.,

Сборник

задач

по курсу

математического

анализа,

7.

Б е р м а н

«Наука»,

1965.

 

 

Б.

П., Сборник задач и упражнений по математи­

8.

Д е м и д о в и ч

ческому

анализу,

ГИТТЛ,

1954.

Задачи и

упражнения по математи­

9.

Б а р а н е н к о в

 

Г.

С. и др.,

ческому анализу, Физматгиз, 1959.

 

 

 

 

 

10. Д ю б ю к

П.

Е. и др., Сборник задач по курсу высшей математи­

ки, «Высшая школа», 1965.

Введение в современную математику, изд-во

П.

Шн х а н о в и ч Ю.

А.,

«Наука»,

1965.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

С О Д Е Р Ж А Н И Е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Стр.

* 1.

Число.

Множество.Ф у н к ц и я ........................................................

 

 

 

 

 

 

 

5

2.

Предел

функции

в т о ч к е .....................................................................

 

пределов

алгебранческнх.

28

3.

Основные

приемы

вычисления

4

ф у н к ц и й .........................................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' 4

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Бесконеч­

52

ные п р е д е л ы .......................................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.5. Использование непрерывности функций при вычислении пре­

 

делов

Замена.......................

 

1....................................................................................

 

 

вычислении пределов

. . .

.

62

69

6.

переменнойпри

 

7. Вычисление пределов,, содержащих под своими знаками три­

75

гонометрические функции. Первый замечательныйпредел

.

. .

8. Второй замечательный предел. Раскрытие неопределенностей

 

вида

1 0 0 .......................................................................................

 

1п(І 4 х)

 

ел’— 1

 

I

v\a _I

 

 

79

 

9. Пределы

 

 

(1

и к

ним сво-

lim ------------, lim -------- ,

lim v

T

.._i--------

д я щ и е с я

х-»0

X

X—

X

.V—о

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.........................

 

 

 

10. Односторонние пределы, односторонние бесконечно большие,

 

односторонняя

непрерывность.

Р а з р ы в ы ...................................

 

 

 

 

88

 

11.

Сравнение

бесконечно м а л ы х .............................................

 

 

 

 

 

94

 

12. Использование эквивалентных бесконечно малых при вычис­

 

лении

п р е д е л о в ..........................................................................................

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

96

 

13.

Пределы функций при л-*-±оо ?

. .................................. 104

 

14. Поведение функции при стремлении аргумента к точке раз­

114

рыва

и при х-> ±

с о . Классификация точек разрыва

.

.

. .

15.

Предел

последовательности.............................................

 

 

 

 

 

126

 

16.

Приемы

вычисления

пределов последовательностей .

. .

133

17. Признаки существования предела последовательности

. .

142

18.

Задача

о вычислении прибыли

по сложным

процентам

.•

146

19.

Второе

определение

предела

функции

вточке. . . .

 

 

150

Л и т е р а т у р а

..................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

154

 

Автор П. А. Шмелев. Редактор А. В. Индионков,

Л 138538 24/ХІІ—1973 г. Объем 93/, п. л. Зак. 2518. Тир. 5000. Ц. 41 коп.

Типография МЭИ

Замеченны е опечатки

Стр.

6

9

19

20

22

30

41

46

66

69

71

81

88

90

100

101

103

111

117

119

123

137

140

149

151

Строка

Напечатано

 

Следует читать

 

12 сверху

0,12112111211112 и т. п.

0,12112111211112... и т. п.

 

Первые

рисунки на черт. 2 и 3 следует поменять местами

4

сверху

_

2~ іг (*3 + О

 

_

2~ 's (*° + О

 

1

снизу

100 -

д:2 <

0

 

О н«4Л 1о о

 

черт. 15

 

 

 

7

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

черт. 20

 

к + 5і

 

 

 

* 0 — 8,

 

 

16 снизу

 

 

 

строки

не должно быть

 

 

4 сверху

Xя — 5х — 4

 

X2 — 5х + 4

 

7

сверху

lim [f(x)]a = lim f/(x)]a

Нт [/(х)]а = [ Пт /(х)]а

3 сверху

X—*Xq

 

 

X—>Xq

 

Л'->Х,

 

Х ~ * Х д

 

1/(*,)

1-

 

1f(xi) 1 >

e

1f С*і) 1-

1/ (*а) 1 <

в

7

сверху

_

¥ * (* ) - !

 

.....

?*(*)-• i-

 

 

 

J

 

? ( x - l )

 

 

 

? (X) -

1

 

11

сверху

 

 

*

 

 

 

 

(*)

 

 

5

сверху

 

,

nv

 

 

 

C,e - f .

 

 

 

Ct« - T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

снизу

 

 

lim

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

,v-*0-0

 

 

 

 

 

 

 

9

снизу

На

стр. 9S

 

На

стр. 97

 

6

снизу

(4*’ -

V 1 -

2x-

 

(4*

— V \ -

2x2 )

 

пример 9)

 

 

lim

 

 

 

 

lim

 

 

12 сверху

И X -*■со,

у -» 0, TO

 

 

 

x-»0

 

 

 

и при X -*■oo, у

0,

TO

5

сверху

1,

если X Ф 0

 

1,

если X =

0

 

черт. 33

ne показана часть кривой,

приближающаяся справа

4

снизу

 

к прямой х = 3 и уходящая

вверх

 

 

8)

у = х - Е ( х )

 

18)

y — x — E (x)

 

12 снизу

1f (х)

■А 1 < г

 

1f (x) — А 1 < s

 

10 сверху

3

 

1

7

И /

 

3

 

7

11 z1

3

снизу

 

 

 

 

lim 1(х)

 

 

-

lim /(x)

 

 

1

снизу

 

lim С — С

 

lim C ■= C

 

 

 

П-*.\Гц

 

 

 

Л—+00

 

 

Смотрите также файлы