Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

Любой интервал, содержащий точку х —а, называется ок­ рестностью точки а. Интервал а—е < д < й + е называется е- окрестностью точки а (он изображен на черт. 6)..

Черт. 6

Объединением мнодкеств А и В называется новое множе­ ство, обозначаемое символом А\]В, которое состоит из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат либо мно­ жеству А, либо множеству В. Так, например, объединением множеств и с<дг<<2, изображенных на черт. 7, яв­ ляется отрезок а < x -^d . Другой пример:

{1, 2, 3, 4} U {2, 4, 6, 8} = {1, 2, 3; 4, 6, 8}.

из всех тех и только тех элементов множеств А и В, которые

{1, 2, 3, 4} п {2, 4, 6, 8} = {2, 4}.

10

Можно доказать, что операции объединения и пересечечия множеств обладают свойствами:

\ ) A U B ~ B U A ; А [ \ В = В [ \ А (коммутативность)

Рассмотрим теперь определение функции.

Пусть даны два множества произвольной природы Е и F. Если каждому элементу х g Е по некоторому правилу f ста­ вится в соответствие определенный элемент у g F, то гово­

ластью прцбытия функции, X — аргументом или независимой переменной, у — значениями функции, а само правило соот­ ветствия f — функцией.

Подмножество F' множества F, обладающее тем свойст­ вом, что всякий его элемент у оказывается поставленным в

как обозначение функции, а иногда как обозначение значе­ ния функции,/ соответствующее определенному значению ар­ гумента X.

З а м е ч а н и е . В некоторых учебниках для ВУЗов дается несколько иное определение функции. В них функцией назы­ вают не само правило соответствия / (являющееся главным

И

в, определении функции), а значения у, соответствующие по правилу f значениям ,х. Таким образом, в этом другом опре­ делении понятие функции отождествляется с понятием зна­ чения функции, что создает некоторые неудобства (см. на­ пример, учебник Н. С. Пискунова «Дифференциальное и ин­ тегральное исчисления»).

Пример 1. Пусть Е — множество людей, проживающих в некотором городе и возраст которых превышает 16 лет; F — множество паспортов этих людей. Каждому такому челове­ ку из упомянутого города поставим в соответствие его соб­ ственный паспорт. Установленное таким образом соответст­ вие определяет функцию, заданную на множестве людей, значениями которой являются паспорта.

Рассмотренный пример, конечно, является шуточным, од­ нако вполне подходит под определение функции. Он показы­ вает также, что математики могут рассматривать функции любой природы, заданные 'на произвольных, не обязательно числовых, множествах. Это обстоятельство позволяет, в частности, применять современную математику в таких об­ ластях человеческих знаний, как языкознание, биология, фи­ лософия и т. п.

Пример 2. Пусть Ь — множество действительных чисел х, принадлежащих отрезку [а, Ь], а F — множество всех дейст­ вительных чисел у. Правило соответствия между элементами

(c<d) и соединим их некоторой вполне определенной воз­ растающей кривой. Каждой точке х q [а, 6] поставим в соот­

12

ветствие ту точку у g F\ которая получается с помощью про­ ведения перпендикуляра к оси абсцисс из точки х до пере­ сечения (в точке С) с построенной кривой и опускания пер­ пендикуляра из С на ось ординат. Установленное соответст­ вие определяет нам некоторую функцию y=f(x), заданную на отрезке [а, Ь]. Областью F ее прибытия является множе­ ство всех действительных значений у, а областью ее значе­ ний F' является отрезок [с, d] (черт. 8).

О п р е д е л е н и е . Если областями определения и прибы­ тия функции являются некоторые множества действительных чисел, то функция y —j(x) называется действительной функ­ цией действительного аргумента. Только такие функции мы и будем рассматривать в дальнейшем, не оговаривая особо, что речь гідет именшт о действительных функциях действи­ тельного аргумента.

Графиком функции y —f(x) называется геометрическое место точек (х, f(x)) плоскости ХОУ.

Функции можно задавать различными способами. В част­ ности:

1)с помощью формулы (аналитический способ),

2)с помощью' некоторой кривой (графический способ),

13) с помощью таблицы (табличный способ).

Так, например, функция у —х2, которая каждому дейст­

вительному числу X ставит в соответствие его кв.адрат, зада­ на аналитическим способом. В примере 2 рассмотрена функ­ ция, заданная графическим способом.

При табличном способе задания функции правило соот­ ветствия указывается таблицей, в которой перечислены зна­ чения X и соответствующие им значения у:

Напомним читателю некоторые определения, относящиеся к функциям.

13

1. Функция, которая каждому значению х ставит в соот­ ветствие одно и то же число С, называется постоянной и обозначается символом

у —const или, более кратко, у — С.

2.Функция у = х п при любом натуральном п называется степенной.

3.Функция у= у X называется иррациональной.

4.Функция у —х 1при любом действительном а ф 0 назы­ вается обобщенной степенной.

9.Все перечисленные в пунктах 1—8 функции называют­ ся основными элементарными.

10.Функция у = Со + с1х + С2Х2 + ... +скхп сокращенно обоз­

чают многочлены). В частности, функция £/ = с0+С іл: называ­

f(x2)>f(x\), то функция называется возрастающей на отрез­ ке [а, Ь].

Аналогично определение невозрастающей и убывающей функций.

13.Невозрастающие и неубывающие функции называют­ ся монотонными, а возрастающие и убывающие — строго мо­ нотонными.

14.Функция f(x) называется'четной, если для всех х, для которых она определена, выполняется условие f( —x)=f(x).

14