Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 77

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

График четной функции всегда симметричен относительно оси у-ов.

ХЪ.Функция f(x) называется нечетной, если для всех х, для которых она определена, выполняется условие f( —х) —

——f(x). График нечетной функции всегда симметричен от­ носительно начала координат.

16. Функция f(x) называется периодической с периодом

Т0, если: 1) из того, что она определена в некоторой точ­

ке X, следует,

что она определена

во всех точках x+kT(k =

= ± 1-, ± 2,...);

2) для любого

х

из

области

определения

J (x + T) =f(x).

Наименьшее из

всех

возможных

чисел Т>О

называется наименьшим (или основным) периодом функции. 17. Суммой двух функций y=f\(x), заданной на множе­ стве А, и y= fі ( х ), заданной на множестве В, называется но­

вая функция у= <р(Х),

которая каждому значению х g А [ \ В

ставит-в соответствие

число

/і(Х)+/г(Х)- При

этом пишут

<p(x)=fi(x)+f2(x).

двух

функций y —fi(x),

заданной на

18. Произведением

множестве А, и y—f2(x), заданной на множестве В, называ­

ется новая функция y=F(x), которая

каокдому

значению

X Q А [) В ставит в соответствие число

fi(x)-f2(x). При этом

пишут F(x) =fi (x)-fz(x).

 

 

 

19. Если каждому элементу.х £ Е ставится в соответст­

вие определенный элемент и q F (и таким образом

опреде­

лена функция и=ц>(х)), а каждому элементу u q

F,

в свою

очередь, ставится в соответствие определенный

элемент

у £ G (и таким образом определена функция y=f{u)), то

говорят, что на множестве Е определена сложная функция от аргумента х, которую обозначают символом

у Ч Ь ( х)1

Функции а = ф(Х) и У=І(и) называются звеньями сложной функции. Так, например, функция £/=Іпэіпл: есть сложная. Здесь u=sim:, и у —Іпи — ее звенья.

Сложная функция может содержать и большее число

звеньев. Так, например функция y = ln 3ct g— состоит из че­

тырех звеньев:

и = — , ö = ctgM, z = Xna и у = г ъ'

X

20. Функции, образованные из основных элементарных с помощью, конечного числа арифметических операций: сложе­ ния, вычитания, умножения и деления, а также функции, по-

15

Лученные из упомянутых Путем Яонйчноео числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Мноокество всех элементарных функций называется клас­ сом элементарных функций.

Примерами элементарных функций могут служить функ­ ции

y = x + sinx, у — У 8+ 3tg2j / J ,

у =

2cos:lЗх + arcsin У 1 — л:2 и т. и.

Функция у =

—, если X =j=О

.V

 

О, если X = О

заданная двумя

условиями, не является элементарной, так

как ее нельзя представить с помощью одной формулы, содер­ жащей конечное число упомянутых в определении 20 опера­ ций. ,

Функция у= |л'| является элементарной, так как ее можно представить в виде у = У х*.

 

.

 

I

1,

если -V< 0

является элементарной,

 

функция

у =

 

если, а-> 0

 

 

 

( —1,

 

I

.VI

-/Т»

так

как

ее

можно

 

 

 

представить в виде у = —— =

Л-—~ , а

,

 

 

f l ,

если X < 0

 

 

 

 

функция

у = {

 

не является элементарной,

так

как

ее

1—1, если х > 0

 

 

 

 

нельзя

представить одной формулой.

 

 

.

 

f 2л:-4-1, если ,ѵ<ГІ

является

элементар-

 

Функция

у = ■

'

^

 

{х Л, если jc> 1

ной, так как ее можно представить в виде

У= - Г [ ( — У - Г +

----- >)(2-‘ + ') •

3 а м е ч а»н и е. Можно показать, что функция, заданная любым конечным числом условий

Д (х), если — оо <[ л < хх

f2(x),

если x1< x - < x 2

f3(x),

если х2 < х < х 3

У

(Л )

fnМ,

если хѵ-1 < х < х п

fл+1 (*^)j если хп <С. X оо

16

где fi(x),

f2(x),..., f n+i(x) — элементарные функции, если

только она

не определена в граничных точках Х\, х2,..., хп,

является элементарной, то есть может быть записана в виде одной формулы, содержащей конечное число операций, упо­ мянутых в определении элементарной функции.

Действительно функция

< * (* )= 4 - ( і -

V ( X

X

-

A l ) ' -

У {X — X i ) 2

/2 (x) (£)

—

X i

X — X i

дает представление у в промежутке — оо < ^ х < х 2. Функция

ф2 (х) = -к-

У (х —Л’г)2

У (х — х2)г

■fa(x)

• X — JC2 ) • ФіМ + (і +

X — Хз

где фі(х) определяется формулой (£), определяет у уже в промежутке — со < х < х 3. Аналогично составляется выраже­ ние (рз(х), определяющее у в промежутке — со < х < Д 4. По­ ступая таким образом и дальше, с помощью конечного чис­ ла шагов, мы придем к функции ц>п(х), определяющей у во

всем бесконечном

промежутке — со < х < [+

со (за исклю­

чением, конечно, точек x h х2,...,

х п).

 

 

 

 

Обращаем внимание читателя на то, что если бы функция

(Д)

была определена в точках Х\,

х 2,,..,

х п, и «куски» графи­

ка

функции (Д)

не смыкались

бы

в этих точках

(то есть

точки Х\,

х 2,...,

х п

были бы точками

разрыва*), то

функция-

(Д)

была бы неэлементарной.

 

 

 

 

 

 

21.

Если

действительная функция действительного аргу­

мента X

задана с помощью формулы y —f(x)

и не указана

область ее определения, то,под областью определения такой

функции условимся понимать

множество всех действитель­

ных значений аргумента х, для^которых значение у, вычис­

ленное по формуле y ~ f( x ) есть также действительное число.

Рассмотрим

еще некоторые примеры, иллюстрирующие

функциональную символику, понятие области определения и

другие понятия, относящиеся к функциям.

 

 

Пример 3.

Дана функция

/ М = ]

+з

 

(Ж)

/ -

 

Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) HI), б) /(5),

в)

f ( b * + 1), г)

f(x%

д)

f ( x ) ,

е) / (-І-),

ж) /[/(*)], з) /[3ГҢх*));

 

 

 

 

 

 

*

О точках разрыва см. дальше.

 

 

 

. . . Г*0, публичка*

2-2518

 

 

 

 

 

 

 

 

-а узя

 

 

 

 

 

 

библиотек* C ciifl3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЭКЗЕмнляр

^ИТАЛЬНО ГО ЗАЛА

 

Р е ш е н и е ,

а)/(І)==

 

==2;

б)

f ( 5 ) = J/® ±® =

 

 

 

 

(Ь3+ 1)+3

 

&3+4

В) f( £ 3 + l ) = / ; Ь3 + 1

 

Ь3+- 1

г)

Заменяя л: в выражении

(}К) на х 2, получим:

»)

?'():) = ( ] / '

 

 

 

 

 

- ] / 1

+ Зх (*=*0);

ж)

Заменяя в выражении (Ж)

* на f(x) — ] / ~ ~ +3 по-

лучим

 

 

X

 

 

= / > + 3/ 75Г

 

ППх)) =

V * Т -

+3

 

V X -J-3

 

 

 

 

 

Пример 4. Дано: f (x) =2х3—5я2—23л:. Найти корни урав­

нения f(x) = f ( —2).

f(—2)=2-(—2)3—5-(—2)2—23Х

 

Р е ш е н и е .

Так как

X (—2) = 10, то

нужно, решить

уравнение 2х3—5х2—23л:=10

или 2х3—5х2—23л:—10= 0. Раскладывая левую часть послед­ него уравнения на множители, получим

2(л:+ 2)-(х—5)-(х+0,5) =0, откуда Х \= .—2, х2=5, х%——0,5.

18

Пример 5. Даны

функции и—хг, ц= ы3+.Т, z=tgu, t= 2 \

у--=. -Д. Найти зависимость непосредственно от х\

Р е ш ен и е. у =

— =

— =2~ г = 2 -‘*и = 2 - ‘е<“3+1) =

J

i

2Z

=2'-tg(.t:>+l) ,

От в е т : у =:2—te(^B4-i) ;

Пример 6. Сложную функцию у — j/" sin In2tgJL предста­

вить в виде цепочки основных элементарных функций.

Р е ш е н и е . -Положим: а = — ,t>= tgи, z=lnt>; t= z2, Ѳ-=*

= sin/, у = "К©. Это и есть искомая цепочка основных эле­ ментарных функций, состоящая из шести звеньев.

Пример 7. Дано: f{x) =

хг\

ср (х ) =

tgx;

ф (х) = — .

 

 

 

 

 

 

 

X

Найти а) /

,

б) /{ф[ф(-£-)

}. в)

Ф[ф(*)],

г) Дф[Ф (*)]}.

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е ,

а) ^[ф ( х ) |

=

^ (tg -j-j = /(l) = 1.

ф ( — )

 

' 1 "

 

( т )

= 1.

 

4

 

L \ я /J

} = Д <р

 

 

 

} = Д ч: \ 4 /J

 

 

{- 7І - }

в)

ф [ф(*)] = ■Ф(X)

 

tg X

=

ctg Л.

 

 

 

Г)

/ {Ф [Ф (•*)]} = {Ф [ф (*)]}2 =

[tg Ф (Л-)]2 =

tg2 — .

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

Пример 8. Найти области определения следующих функ­

ций.

 

 

 

 

 

 

 

1)

У — Ѵ.Зд: +1 I

2) у =

lg (Зх + 1),

3) у =: КX2 —25 ,

4)

y = V j с2- 2 5 +

,.Д1

:

, '5)

у .

 

ха + 1

 

л-*+1

■V

100—ха

 

 

 

X(ха—3) ’

 

 

, 7) у = arccos

3+2х

6)

У = - .(х —3),1п (х +5)

 

 

 

1

 

,

9) у ~ У \ Ъ х —2 1— IJC+ 3 |і

8)

У = - 2х -11 — 2.Ѵ-И

2*

19

Смотрите также файлы