Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

нйи признака 2, она имеет предел. Обозначим его Іітх„ = /4,

Л—>20

Очевидно и lim х пл.\ =Л. Переходя к пределу в обеих частях

П—

равенства (А), получим

Р е ш е н и е . При всяком п х,,.^ > х п и, следовательно, последовательность {хп} монотонно возрастает. Докажем ог­ раниченность последовательности. С этой целью заметим, что

вообще

хп = / 2 + 1 ^ < 1/2+2 =2.

Таким образом х, < 2 при любом л.

Итак, данная последовательность монотонна и ограни­ чена. Следовательно, она имеет предел. Обозначим его lim х„=А; тогда и lim хл-і =А. Переходя к пределу при

=1/ 2+Л, откуда Л2= Л +2; Л2—Л—2=0;

Л= —1+J f 1-t ? . —2. Задача решена.

Пример 4. Пользуясь критерием Коши, доказать сходи­ мость последовательности

144

Доказательство. Зададимся произвольным е>0 и любым натуральным р и попытаемся отыскать такой номер N, что­ бы неравенство n> N влекло за собой справедливость нера­ венства

Неравенство (В) будет верно, если.будет иметь место нера­ венство

Неравенство (Г) будет верно, если будет справедливо нера­

лишь только rC>N. Это означает, что данная последователь­ ность сходится.

18. Задача о вычислении прибыли по сложным процентам

Рассмотрим применение теории пределов для решения задачи о прибылях по сложным процентам. Пусть в сберкас­ су положена сумма SQ рублей.

1. Рост суммы по простым процентам. Сберкасса обязует­ ся выплачивать р% от суммы S0 каждый год. Тогда за один

2. Рост суммы по сложным процентам, начисляемым каж­ дый год (как в сберкассах СССР). Пусть прибыль на вклад растет из расчета р% годовых. За год сумма вклада станет

равной Si = 50^ l j рублей. Далее проценты начисляют­

ся уже на новую сумму. И так каждый год. За второй год

3% годовых (срочный вклад в сберкассах СССР) вырастет до

Ss=1000- (l + -j— j6= 1000• (1,03)6 = 1159,27 рублей.

3.Рост суммы по сложным процентам, начисляемым каж­

146

центов производится по истечении каждой---- части года из

расчета р% годовых. За первую — часть года вклад возрас­

Полученная формула решает задачу о вычислении суммы прибыли по сложным процентам.

Заметим, что если бы проценты начислялись непрерывно, из расчета 3% годовых, то сумма 5о=1000 рублей вклада

Взаключение отметим, что по показательному закону

(**)в природе протекают и многие другие процессы, как, например, размножение бактерий в благоприятных усло­ виях, естественный рост лесного массива, распад радиоак­ тивного вещества, цепная реакция и другие.

Вопросы для самоконтроля к § 15—18

1.Что называется последовательностью?

2.Как задаются последовательности?

3.Что называется пределом последовательности?

4.Каков геометрический смысл того факта, что последо­ вательность имеет предел?

5.Какими свойствами обладают сходящиеся последова­ тельности?

6.Могут ли члены последовательности совпадать с пре­ делом последовательности? Привести примеры.

7.Единственным ли образом по заданному е>0 можно найти упомянутый в определении предела последовательнос­

10.Сформулировать предложение о неограниченности последовательности. Привести примеры неограниченных по­ следовательностей.

11.Какая последовательность называется бесконечно ма­

лой?

12.Какая последовательность называется бесконечно большой? Дать геометрическое истолкование.

13.Из того, что данная последовательность является бес­

конечно большой, следует ли ее неограниченность?

14. Из того, что данная последовательность неограничена,

148