Файл: Математические основы теории оперативного управления в карьерах..pdf

ТЫ, а также эффективность работы карьера путем формирований коэффициента использования оборудования во времени на базе его надежностных характеристик, основывающихся на найденных в результате исследования параметрах законов распределения ис­ ходных величин.

3. Измерение технического прогресса на основе производственной функции

Системный подход к функционированию карьеров или рудника в целом позволяет на основе концепции производственной функ­ ции [19, 20] количественно оценивать влияние технического проз гресса на рост объема производства железорудных предприятий и производить «дезагрегацию» этого влияния, т. е. расчленение на части, соответствующие выделенным компонентам техниче­ ского прогресса.

Производственная функция выражает зависимость между основными факторами процесса производства и его результатом, отражает статистическую связь выпуска продукции и ресурсов:

У = / (Ф, Ц ,

где у — выпуск продукции; Ф — среднегодовая стоимость основ­ ных производственных фондов; L — численность промышленно­ производственного персонала.

Известно, что статистические методы позволяют лишь оцени­ вать параметры выбранной функции, сам же выбор функции (ее спецификация) должен основываться на логико-профессиональных соображениях.

В последние годы разработана производственная функция с постоянной эластичностью замены (ПЭЗ). Одно из важных пре­ имуществ этой функции состоит в том, что ее параметры находятся во взаимно-однозначном соответствии с характеристиками так называемой абстрактной технологии [19—21].

Функция ПЭЗ имеет вид

где у — показатель эффективности технологии, определяемый как отношение между выпуском и затратами при постоянной структуре ресурсов; к — норма замещения труда фондами, рассчитываемая как прирост фондов, необходимый для замещения при данной технологии единицы труда; v — экономия на масштабе, опреде­ ляемая относительными темпами роста затрат по отношению к рос­ ту выпуска; а — параметр, связанный с эластичностью замены а соотношением а = 1/(1 + а). Интуитивно а можно рассматривать как меру пределов осуществимости замены труда фондами или как меру технологической «однородности» этих факторов произ­ водства.

Рис. 2. График функции ПЭЗ по данным Бакальского рудоуправления (в индексной мере)

На рис. 2 представлен график функции (11.27) по данным Ба­ кальского рудоуправления за 1960—1971 гг.

Частные производные ду/дФ и dyldL определяют предельные продукты фондов и труда соответственно; их отношение

R= (ду/дФ)/(dyldL) — предельную норму замены фондов трудом. Технический прогресс определим как сдвиги характеристик

абстрактной технологии — параметров функции ПЭЗ. Такое сужение и уточнение определения технического прогресса дает возможность количественно оценить влияние технического про­ гресса на выпуск, определить соотношение интенсивного и экстен­ сивного роста. Интенсификация производства разделяется на нейтральный и ненейтральный технический прогресс.

Нейтральный прогресс вызывает изменения в производствен­ ной функции, не влияя на предельную норму замены факторов производства — он не сберегает и не расходует труд. Производ­ ственная функция ПЭЗ реагирует на нейтральный технический прогресс изменением параметров у и v.

Ненейтральный технический прогресс влияет на предельную норму замены. Он может быть либо трудосберегающим, либо трудорасходующим. В конечном счете он затрагивает вопросы, связанные со сдвигами в фондовооруженности. Ненейтральный технический прогресс в формуле (11.27) выражается изменением параметров к и г.

34

Для любой производственной функции общие изменения в выпуске (Ау) для двух периодов складываются в результате из­ менений в объеме факторов производства (Ф, L) и параметров самой функции. Для каждого технологического периода надо получить свои значения параметров производственной функции. Технологические периоды определяются с помощью дисперси­ онного анализа как такие периоды, которые дают значимые раз­ личия в параметрах производственной функции.

Следовательно,

Всего преобразований P 4 = 24.

Поскольку каждый из 24 способов записи (11.29) содержит 4 разности, число членов будет 96.

Среди них следующие:

Эти члены представляют те разности в (11.29) и остальных 23 вариантах, которые берутся относительно компоненты А ней­ трального прогресса, причем разности а и г встречаются по 6 раз,

аостальные — по 2 раза. Таким образом, хорошая оценка вклада

вАу изменений А между периодами будет взвешенной средней от разности. (И.30а) — (Н.ЗОз).

Следовательно, таким путем можно оценить эффект, который оказывает на общее изменение выпуска продукции изменение величин А, В, Ф и L в интервале между любыми двумя техноло­ гическими периодами.

2* 35

Трудность в работе с функцией ПЭЗ состоит в громоздкости и отсутствии надежных методов оценки ее параметров. Хотя в теоретическом плане эта функция используется часто [19—22], в отечественной и зарубежной литературе нет ни одного примера непосредственной оценки параметров функции ПЭЗ.

Теоретической основой параметризации является принцип максимального правдоподобия, когда максимизируется вероят­ ность получения в качестве расчетных значений функции именно тех, которые наблюдались эмпирически. Условие максимального значения плотности вероятности приводит к методу наименьших

Для расчета параметров функции ПЭЗ применен градиентный метод наименьших квадратов, при этом требуется большое число итераций, так как возникают явления типа «оврагов». Минимизи­ руемая функция изменяется очень быстро в направлении, перпен­ дикулярном к «оврагу», и очень медленно вдоль оси, поэтому гра­ диентная кривая перемещается с одного «склона оврага» на другой, а движение в направлении минимума происходит крайне медленно.

Для ускорения сходимости была применена специальная мо­ дификация алгоритма, суть которой заключается во взвешивании частных производных: тем частным производным, которые меняют знак по сравнению с предыдущей итерацией и вызывают переход градиентной кривой на другой «склон оврага», приписывались веса, близкие к нулю. Это значительно ускоряет сходимость, тем не менее для массовых расчетов такой алгоритм нельзя считать приемлемым, и в данной работе он использовался лишь для на­ хождения достаточно хорошего начального приближения пара­ метров. Дальнейшие вычисления проводились методом линеари­ зации с помощью аппроксимации первого порядка рядом Тейлора по стандартной программе СП-1120.

Конкретные цифры, приведенные ниже, были получены по данным железорудных предприятий за 12-летний период (1960— 1971 гг.). Поскольку функция ПЭЗ содержит четыре параметра, минимальное число лет в каждом периоде должно быть более 5. Для устойчивости параметров рассматриваемый период разбили на два частично перекрывающихся 7-летних периода: первый — 1960—1966 гг. и второй — 1965—1971 гг. Особенности функции ПЭЗ требуют, чтобы числовые значения Ф и L были небольшими по абсолютной величине, иначе появляется «машинная бесконеч­ ность», а ЭВМ останавливается по «переполнению». Поэтому при­

36