Файл: Математическое программирование и производственные задачи..pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 41

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

г И З Ь Ц Ь И Ъ U U 2 Ч - Р З П Ь Р - З П Ь Ъ Ъ Ь Р Р U M U O - b l T M ) .

зъзышч-ипрдеаъ M.vsi>sni>s

U . «к ^Ц.РПЬ^ЗПРЪЗи.Ъ, к U . 9-РИ-ПРЗиЛ,.

и. и., ипкеъиизиъ, и.. Т-. Э-ПМ.РЬЧ

IfU P b U U S M lU H U b frP U 'H 'U iL flP fM D Ы1 U P S in P U H U b М Л Р Р Ъ Ь Р Р

^ а з ч и ч и ъ

ш и Ч-й 4 P U S № P U < i 9 м» з пм>

Ь Р М Я Ъ

1 9 7 4

А К А Д Е М И Я Н А У К А Р М Я Н С К О Й С С Р

ИНСТИТУТ экономики

А. Г. АРУТЮНЯН, И. С. ГРИГОРЯН,

С. А. СУКИАСЯН. А. Д. ТУНИЕВ

МАТЕМ АТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ

И З Д А Т Е Л Ь С Т В О АН А Р М Я Н С К О Й С С Р

Е Р Е В А Н

1 9 7 4

ззсз

М34

5 о

т

#

 

 

 

 

 

В книге рассматривается ряд задач оптимального планирования,

 

решение которых сводится к задачам

линейного, параметрического

 

и

стохастического

программирования.

Предлагаются специальные

 

эффективные алгоритмы для решения поставленных задач, которые

 

сопровождаются

блок-схемами.

 

 

 

Экономический эффект предлагаемых моделей и методов пока­

 

зывается на

конкретных примерах промышленности республики.

 

 

Книга может быть полезной для работников НИИ, занимающих­

 

ся

разработкой

и внедрением

математических методов и ЭВМ в

 

планирований и управлении

народным

хозяйством, а также для

 

экономистов

и

инженерно-технических

работников.

М

0|18—059

-------------- 6— 73 @ Издательство АН Армянской ССР. 1974.

703(02)—74


ВВ Е Д Е Н И Е

Вдирективах XXIV съезда КПСС по пятилетнему плану развития народного хозяйства СССР на 1971— 1975 гг. ста­ вится главная задача девятой пятилетки—обеспечение значи­ тельного подъема материального и культурного уровня жизни народа на основе высоких темпов развития социалистического производства, повышения его эффективности путем всемер­

ного развития фундаментальных и прикладных научных ис­ следований и быстрого внедрения их результатов в народное хозяйство. В связи с этим в директивах особое место уделя­ ется более широкому применению в народном хозяйстве эко­ номико-математических методов и электронной вычислитель­ ной техники.

Формирование ряда практических задач по Оптимально­ му проектированию различных систем и их дальнейшему управлению, по планированию отдельных звеньев народного хозяйства и т. п. приводит к линейным экономико-математи­

ческим моделям, а именно

к максимизации

(или минимиза­

ции) линейной

формы

 

 

 

 

 

 

f( X )

= f { х 1%х%,

 

 

Хп) ~

П

^j^ j

.

. .,

2

при условиях

 

 

 

 

 

 

 

п

 

i

1,

2, . .

.,

/72,

d ijX j^ b i,

/»I

x p s .О,

/= 1, 2, . . ., n.

 

 

 

Обычно предполагается,

что исходные

данные задачи

(cj, dij, b j ) —известные величины. Однако планирующие орга­ ны далеко не всегда располагают всей необходимой инфор­ мацией для планирования и управления производством. В связи с этим исходные данные задачи линейного программн-

5


рования не являются абсолютно точными, а в некоторой сте­ пени приближенными.

Кроме того, если разработанную линейную модель, соот­ ветствующую определенному физическому или экономическо­ му явлению, рассматривать в динамике, то со временем ис­ ходные данные могут подвергаться изменению вследствие' самых разнообразных факторов.

Для примера рассмотрим модель производственного пла­ кирования, которая сводится к задаче линейного програм­

мирования. Для данной модели:

 

матрица Л = |ауу |тх|,

является

матрицей производ­

ственных способов, т. е. элемент a/у

показывает, сколько

продукции г-го вида будет

выпускаться или поглощаться

(в зависимости от знака данного элемента) при использова­ нии у-го технологического способа с единичной интенсив­ ностью;

Ь{—спрос на продукцию г-го вида;

c j—прибыль или издержки от использования у'-го тех­ нологического способа с единичной интенсивностью;

Ху—переменная, характеризующая интенсивность ис­ пользования у'-го технологического способа производства.

Ясно, что идентификация элементов cj, а-ц и b-t как детерминированных величин во многих случаях нереальнаДействительно, точно определить спрос {Ь{) на изделия ши­ рокого потребления невозможно, так как он подвержен ко­ лебаниям и его элементы могут изменяться с определенной закономерностью или быть случайными величинами. Коэф­ фициенты (i[j и cj также могут быть не детерминированы и зависеть от многих производственных и непроизводствен­ ных факторов.

Если изменение исходных данных носит случайный ха­ рактер. то разработанная линейная модель входит в класс за­ дач стохастического линейного программирования. Если же за­ ранее известна закономерность изменения исходных данных (например, исходные данные являются функциями, зависящи­ ми от некоторых параметров), то разработанная модель вхо­ дит в класс задач параметрического линейного программиро-. вания.

6


Книга состоит из четырех глав.

Впервой главе ставятся и решаются задачи определения оптимальных оценок, которые обеспечивают решение стоха­ стической задачи с заданной точностью. Далее предлагаются прямые методы решения ряда классов задач стохастического программирования.

Во второй главе рассматриваются некоторые задачи планирования и управления производством, которые сводятся

кзадачам параметрического программирования. Здесь же разработаны специальные алгоритмы для решения постав­ ленных задач.

Втретьей главе излагается экономико-математическая модель определения оптимальной производственной деятель­ ности промышленных предприятий. Задачи, составленные по предлагаемой модели для ряда промышленных предприятий Армянской ССР, решаются модифицированным методом цело­ численного линейного программирования, разработанным ав­

торами.

В последней главе книги, с применением метода потен­ циалов, определяются оптимальные схемы перевозок природ­ ных строительных материалов (по видам) республики. Составлены также оптимальные схемы перевозок строитель­ ных материалов из баз на строительные объекты Армгидроэнергостроя.

Г ЛА В'А I

ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

§1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ

Встохастическом программировании в зависимости от конкретного содержания самой задачи и целей существуют различные постановки задач, из которых каждая описывает тот или иной класс моделей управления и планирования на­

родным хозяйством.

Появление случайного элемента в линейной модели при­ водит к тому, что наши «старые» представления о плане и ре­ шении задачи линейного программирования «теряют» свой прежний смысл. Действительно, в рассматриваемой во введе­ нии экономической ситуации, если, например, спрос 6; явля­ ется случайным или неопределенным, не совсем ясно, что сле­ дует понимать под планом и решением задачи производствен­ ного планирования. Если случайными величинами являются только bi, то нас может интересовать такое решение, которое удовлетворяет любому спросу. Формальная постановка этой задачи будет сводиться к максимизации линейной формы

П

f ( X ) --= 2 CjXj

при условиях

X j> о,

у=/, 2, . . ., п,

где а ц и су—константы, а &/—случайная величина.

8


В другой ситуации нас может интересовать такое решение

задачи производственного планирования, которое удовлетво­ ряет усредненному спросу. Тогда модель производственного планирования сводится к максимизации функции

 

f( X ) = У c jx j

 

 

j

i

 

при условиях

 

 

 

у-i

i = 1, 2,

от,

 

/= 1, 2, . .

я,

 

л:у>0,

где

математическое

ожидание

величины Ь1%

В настоящее время не существует единого подхода к классификации задач стохастического линейного программи­ рования. Последнее обстоятельство находит объяснение в том, что стохастическое программирование является новой, разви­ вающейся областью математического программирования и задачи, которые встречаются на практике, полностью еще не изучены.

Условные классификации задач стохастического линейно­

го программирования даны в работах Е. Г.

Гольштейна и

Д. Б. Юдина [18], Ю. М. Ермольева [16].

 

Обычно при рассмотрении того или иного

класса задач

стохастического программирования исходят из условия, что распределения случайных величин либо известны (случай рис­

ка), либо неизвестны

(случай неопределенности).

В ситуации риска

обычный подход заключается в замене

стохастической задачи

эквивалентной ей детерминированной,

которая затем решается известными методами математическо­ го программирования.

Для ясности рассмотрим, например, задачу максимизации линейной функции

/( Х ) =

2 cj xj

при условиях

}=■-1

 

fi{X ) = P ^ a i j x j

i = l , 2, . . от,

9