Файл: Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений..pdf

Но тогда из условия 7 теоремы имеем

u'(t)S2 v(t0, і) V ^ [ * 5, *б],

то, как и выше, мы снова придем к противоречию, что доказывает оценку (2.14).

Таким образом, оценка (2.7) доказана, следовательно, и — решение задачи (2.1)— (2.2). ■

§3. УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ОБЩЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Вэтом параграфе приводятся необходимые и доста­ точные условия разрешимости краевой задачи

[2—4], при этом получены необходимые и достаточные условия ее разрешимости.

В данном параграфе приведены девять теорем разре­ шимости задачи (3.1) —(3.2). Все они сформулированы в терминах функций и, ß, v, w. Особую ценность в этих теоремах представляют достаточные условия разрешимо­ сти краевой задачи (3.1) —(3.2). При этом каждая тео­ рема в своей достаточной части дает условия разреши­ мости краевых задач из определенного класса задач вида (3.1) — (3.2). Описание класса задач содержится в теореме, причем класс задач, описанный в одной тео­ реме, не совпадает с классом задач, описанным в другой теореме. Чтобы уточнить понятие класса краевых задач, введем определение типа и класса монотонности.

œ {1, —1, 0, ± 1}, если выполняются следующие условия:

Li не убывает по Zj на Т при оц = 1;

Li не возрастает по Zj на Т при (7,,= —1; Li не зависит от Zj на Т при Gij = Ö;

Li произвольно зависит от Zj на Т при a ij= ± l.

Определение 3.2. Пусть

T ^ R \ L œ C{T),

Kk^{ 1, —1, 0, ±1} у& е{1, 2, 3, 4}.

Будем называть МТ(Х\, Аг, Аз, А4) классом монотонно­ сти и писать L œ.MT (X\, Х2, Аз, АД, если функция L либо

Теперь можно более определенно сказать о классах краевых задач, условия разрешимости которых приве­ дены в теоремах 3.1—3.9. Так, класс краевых задач, условия разрешимости которых сформулированы в тео­ реме 3.1, описывается следующими требованиями:

L Xœ Mt { ±\, 1, 1, 0), L2œ MT {1, ±1, 0, - 1 ) .

Здесь TczR4 — некоторое ограниченное множество, определяемое условиями теоремы. Случай, когда множе­ ство Т состоит из одной точки, не исключается, более того, благодаря этому случаю условия теорем и стано­ вятся необходимыми.

Описания других классов краевых задач имеются в формулировках теорем. Всего выделено девять клас­ сов краевых задач. Шесть из них можно сгруппировать по признаку симметрии. Два класса краевых задач на­ зываются симметричными, если путем замены перемен­ ного t — b + a — t* один класс переходит в другой, и на­ оборот, так что в девять классов входят три пары сим­ метричных классов и три класса, симметричные сами себе. Следовательно, с точностью до симметрии имеется лишь шесть классов краевых задач. В связи с этим из

девяти теорем, сформулированных в терминах а, ß, v, w, будут доказаны лишь шесть теорем.

Метод доказательства теорем этого параграфа вы­ годно отличается от метода, используемого в предыду­ щих параграфах. Он более конструктивен и прост и может служить основой для эффективного нахождения решений краевых задач.

Доказательство необходимости условий теорем опу­ скаем, поскольку оно сводится к следующему утвержде­

Сформулируем и докажем лемму, дающую условия

где fe C a r(/X ^ 2); Д еС (іД ); B ^ R .

Лемма 3.1. Пусть выполняются условия 1—8 теоремы

2.1и условия

9)L,œ Mt (± 1, 1, 1, 0);

10)О ізІіа^О ^ аіз-Д1ß, a(b) ^ B ^ ß ( b ) .

А=а(а), такое, что сиŒS(f). Тогда из условий моно­

Таким образом, условия леммы будут выполнены, если вместо а взять <ц.

Обозначим через ßi решение краевой задачи (3.5) при А = р(а), такое, что

U1 = = p i <5; P,

Тогда из условий монотонности функции Lj и из нера­ венств ß](a) = ß(a), ßi(&)^p(fe), ß'i (а) s^ß'(a) следует

Оіз^-і ßi спз^і ß^O.

Условия леммы будут выполнены, если вместо ß взять ßi

Ясно, что а2 и р2 как нижнее и верхнее решения урав­ нения (3.1) удовлетворяют условиям леммы.

Пусть теперь для некоторого &œ {2, 3, ...} существуют as, PftŒSfc-i(f), удовлетворяющие условиям леммы. Обо­ значим тогда через и решение краевой задачи

x" = f(t, X, х'), x { a ) = ~ ( a k(a) + ph{a)), х(Ь)=В, (3.6)

такое, что UŒSh(f), и построим а&+і и ß^+i следующим образом: если aj3L j« ^ 0, то полагаем a^+i = и, ßu+i — ßh, если же ai3E i«< 0, то считаем а&+і = аь, Рь+і = и.