Файл: Севостьянов, А. Г. Основы математического моделирования механико-технологических процессов текстильной промышленности из цикла лекций заочного факультета по технической кибернетике в текстильной промышленности.pdf

Рассмотрим задачу при следующих численных значениях па раметров:

т*=г8 с; т0 = 15 с; 70 = 20 с; /), = 1600 [г/м2]2.

Значения параметров, имеющих размерность времени, таковы, что моделирование можно вести в натуральном масштабе времени. Однако имеет смысл изменить масштаб времени, с тем чтобы ус­ корить процесс вычисления R2(t i ) . Поэтому машинную постоян­ ную времени Гм чесальной машины примем равной 1 с; тогда Mt =

Величина запаздывания в объекте т0 тоже изменится, но пос­ кольку это запаздывание, как говорилось выше, можно исключить при расчете R2(ri), значение том не представляет интереса.

шим допустимым для АВМ напряжением [напряжение в любой точке схемы будет ниже, чем выбранное значение «о]- Примем, к примеру, «о=80 В. Масштаб в этом случае равен:

ных переменных. Для фиксированного т, величину ^?2(тг) имеем на выходе интегратора, строго говоря, при т -*■счз. Однако практи­ чески постоянное значение, напряжения на выходе интегратора ус­ тановится уже при t > (5 ч -1 0 ) (тйм + ТЬи) . Найденные значе­ ния R2{Ti) пересчитываются в реальный масштаб величин с по­ мощью масштабов Mt и jM d . При использовании последнего сле­ дует иметь в виду, что имеющийся в схеме блок перемножения ‘осуществляет операцию умножения двух напряжений vx и ь2 по закону м = 0,01 v xv2- Отсюда, с учетом коэффициента £„ = 0,01,

тг= 0, т. ,е. исключив из схемы блок запаздывания БПЗ.

Схема набора модели на ABM МН-7М приведена на рис. 19, б. Здесь операционные усилители 1, 2 и 3 образуют апериодическое звено с постоянной времени т;(М= 0,4 с; начальное напряжение на выходе интегратора составляет 80 В. При включении схемы на вы­

постоянной времени 70м=1 с, т. е. моделирует объект. Блоки БП и Б П З — это стандартные блоки перемножения и запаздывания.

50

Усилитель 5 реализует операцию интегрирования. На выходе это­ го ОУПТ в машинных переменных получается значение Яг(хг) при t > (5 -г Ю) (iftM+ Г0м) для любого заданного на блоке-

запаздывания хи Применение масштабирования по времени позволило в данном

примере не только ускорить вычисление значений Яг{^г)), но и уп­ ростить подбор сопротивлений в схеме благодаря удобному вы­ бору машинной постоянной времени 7ом=1 с.

На рис. 20 точками обозначены значения ^г(т), полученные на модели. Плавная кривая соответствует теоретически рассчи­ танной кривой ^?г(т). Из рисунка видно хорошее совпадение ре­ зультатов, найденных с помощью модели, с расчетными значе­ ниями.

§ 4. М О Д Е Л И Р О В А Н И Е ПРОЦЕССА В Ы ТЯ ГИ В А Н И Я В В Ы Т Я Ж Н Ы Х П РИ БО РАХ

Вытяжной прибор (ВП) является весьма распространенным элементом машин прядильного производства, и поэтому исследо­ вание его работы имеет большое значение.

Основными функциями ВП являются утонение продукта (лен­ ты, ровницы) и распрямление волокон в продукте. Процесс уто­ нения лучше изучен. Исследование же второй функции представ­ ляет огромные трудности. Из-за вероятностного характера изме­ нения толщины продукта при рассмотрении работы ВП требует-' ся обработка статистического материала большого объема. Необ­ ходимость создания систем автовыравнив-ания поставила вопрос об упрощенном, но адекватном в существенных чертах описании динамики ВП.

51

С этой целью было разработано значительное число более или менее сходных математических моделей, описывающих динамику ВП. Как правило, изучались два канала динамической системы ВП: 1) от развеса продукта на входе ВП к развесу продукта на выходе ВП (передаточную функцию обозначим здесь через Н70); 2) от скорости питающей (или вытяжной) пары к развесу продук­ та на выходе ВП.

Ниже рассматривается первый канал.

Предположим, что все волокна имеют одинаковую длину L и полностью распрямлены. Пусть, кроме того, плотность передних концов волокон в ленте описывается функцией ni(x). Тогда мас­ са волокон, передние концы которых находятся на некотором участке 0—х, определится по формуле

Здесь и(х) — так называемая единичная ступенька, или функция Хевисайда [2]. Переходя в этом выражении к изображениям по Лапласу, получим:

Р

Изображение развеса как функции, производной по х от мас­ сы s(x), имеет вид

Остановимся теперь на простейшей схеме работы ВП. Многочисленными экспериментами установлено, что волокна в

ВП можно разделить на две группы: контролируемые, меняющие свою скорость с V\ на v2 в одной и той же точке неконтролируе­ мые, короткие, меняющие скорость в различных точках ВП. Нали­ чие второй группы волокон приводит к появлению дополнительной неровноты в процессе вытягивания. Полное число волокон в ВП в момент времени t

Предположим, что число неконтролируемых волокон пропор­ ционально развесу продукта на выходе ВП и длине волокон:

. . . kl. ds(t)

л„( О = —

dt

Коэффициент k выбирается исходя из дополнительных сообра­ жений о доле неконтролируемых волокон в ВП или из условия близости экспериментальных и теоретических результатов.

52

ванием разложения в ряд Паде, получаем:

разумеется, весьма приближенная. В ней не учитывается ни один из параметров ВП, за исключением скоростей Щ и v2 (именно поэтому исследование второго канала динамической системы на указанной модели затруднено).

Показанная на рис. 21,6 модель позволяет выявить роль не­ контролируемых волокон в процессе вытягивания, их влияние на неровноту продукта. Модель обладает свойством линейности, поэ­ тому на ней можно изучать зависимость неровноты выходящего продукта от неровноты входящего и от доли неконтролируемых волокон отдельно. Кроме того, поскольку в постоянные времени Т{ элементов модели входит средняя длина волокна L, можно исследо­ вать ее влияние на генерирование’дополнительной неровноты ВП.

§ 5. М АТЕ М А ТИ Ч Е С К О Е М О Д Е Л И Р О В А Н И Е ПРОЦЕССА С М Е Ш И В А Н И Я ВОЛОКОН

ПРИ В Ы Т Я ГИ В А Н И И П РО Д УКТА В В Ы Т Я Ж Н О М ПРИ БО РЕ

Материал данного параграфа является как бы развитием ма­ териала предыдущего: на основе модели процесса вытягивания рас­ сматривается процесс смешивания двух видов продукта, например двух лент, в ВП.

Две ленты А я В подаются на вход ВП и вытягиваются вместе. Во время вытягивания лент волокна взаимодействуют между со­ бой. На выходе ВП образуется одна лента, неровнота которой за­ висит от неровноты лент на входе, от работы ВП, от доли неконт­ ролируемых волокон и от степени взаимодействия волокон обеих лент.

54

Построим модель этого процесса.

Число передних концов волокон на входе ВП n ^ t) равно сум­ ме числа передних концов волокон в лентах А и В:

«i(0 = n lA(t) Н- niB(t).

При сложении возможны два случая:

1) когда взаимодействием волокон разных компонентов можно пренебречь. Тогда каждый компонент вытягивается независимо от другого, а толщина продукта на выходе ВП равна сумме тол­ щин каждого из компонентов на выходе из ВП. Процесс проис­ ходит так, как если бы ленты вытягивались на разных ВП, а по­ том складывались;

2) когда волокна обоих компонентов взаимодействуют в ВП, что проявляется в проникании волокон каждой из лент в другую ленту. При этом, однако, вытягивание нельзя рассматривать как вытягивание однородного продукта, так как ленты А и В вытя­ гиваются по-разному, в зависимости <?т средней длины волокон в компоненте и доли неконтролируемых волокон.

Блок-схема работы ВП для первого случая представлена на рис. 22, а.

Чтобы построить модель для второго случая, необходимо учесть взаимодействие волокон разных компонентов. Воспользуем­ ся здесь простейшей моделью: будем считать, что доля неконтро­ лируемых волокон каждого из компонентов пропорциональна раз­ весу всего продукта на выходе ВП (в действительности имеет место и вариант, когда доля неконтролирумых волокон компонен­ та пропорциональна развесу последнего на выходе ВП, что соот­ ветствует вытягиванию по описанной выше схеме).

55‘

Ра и Рв — доли волокон, вытягиваемых по схеме, когда коли­ чество неконтролируемых волокон зависит от развеса всего выхо­ дящего продукта. Очевидно, должны выполняться два условия:

ал-Ь«в = Рл+Рв— 1-

Используя блок-схему процесса вытягивания (см. рис. 21, а), построим блок-схему модели вытягивания двухкомпонентного продукта (рис. 22, б). Соответствующая структурная схема набо­ ра модели на АВМ представлена на рис. 23. Эта модель позволя-

Р йс. 23

ет провести широкий круг исследований по выявлению роли раз­ личных факторов на неровноту выходящего продукта. Влияние каждого из вариантов смешивания при вытягивании можно изу­ чить,* варьируя коэффициенты а и р . Варьируя же коэффициенты КА и Кв, можно выявить влияние неконтролируемых волокон на процесс смешивания. Наконец, варьируя средние длины волокон каждого из компонентов (ЬА и LB), можно проанализировать эф­ фективность смешивания в зависимости от длины волокон компо­ нентов.

56