Файл: Севостьянов, А. Г. Основы математического моделирования механико-технологических процессов текстильной промышленности из цикла лекций заочного факультета по технической кибернетике в текстильной промышленности.pdf

Вводя новые переменные уз—lh У2 и у\—у\, исходную систе­ му (109) приводят к следующему виду:

vРУ1 = ДаУг — азУз ~ а*У*

РУг — «1У1 + аз Уз + а4 У*

Структурная схема набора решающих устройств для исследования'уравнений (ПО) изображена на рис. 12.

39

При использовании масштабных коэффициентов Uj —Куу У/ уравнения (117) и (118) принимают следующий вид:

Уравнения (109) и (119) эквивалентны при условии, что

Поскольку максимальные значения у\ и г/г неизвестны, для определения масштабных коэффициентов используем начальные условия г/1(0)=2,5 и г/г (0) =0,5, предполагая, что соответствующие им напряжения равны: и\(0) =гг2(0) =25 В. При этих условиях найдем масштабные коэффициенты:

шения (118) в соотношения (120), получим значения коэффици­ ентов передачи решающих устройств:

Определив по формулам (118) значения коэффициентов а и подставляя их в выражения (116) и (117), находим систему ма­ шинных уравнений:

40

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1.Каковы основные этапы построения математической модели.

2.В чем сущность масштабирования.

Г л а в а III,

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕХАНИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА АВМ

§ 1. ОСОБЕННОСТИ МЕХАНИКО ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Технологические процессы в текстильной промышленности представляют собой сложный комплекс физических явлений, изу­ чить который можно лишь с использованием современных дости­ жений науки и техники. В прядильном, ткацком и трикотажном производствах одновременно обрабатывается боЛшая масса не­ равномерных и неоднородных по своим свойствам текстильных во­ локон, нитей, полотен, тканей. Многие процессы механической тех­ нологии текстильных материалов базируются на вероятностных схемах и имеют закономерности, присущие событиям массового характера, тем событиям, которые выявляются с помощью мето­ дов теории вероятностей и математической статистики. Непре­ рывность технологических и производственных процессов, а также получаемых продуктов является основанием для применения в исследованиях методов теории случайных функций и статистичес­ кой динамики. Наконец, быстрое протеканиес многих технологичес­ ких процессов обусловливает применение высокоскоростной техни­ ки регистрации и своеобразных методов их исследования.

Все указанные выше особенности процессов нужно учитывать при получении математических моделей и их исследовании.

Ниже приводятся примеры математического моделирования некоторых явлений и процессов механической технологии тек­

стильных материалов на АВМ.

\

§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ТЕКСТИЛЬНЫХ НИТЕЙ

При описании механических свойств различных материалов, в том числе и текстильных нитей, получили распространение так называемые механические модели. Они позволяют моделировать связи между напряжением a(t) и деформацией е(0 исследуемых материалов. Как правило, построение механической модели явля­ ется промежуточным этапом, облегчающим вывод уравнений, оп­

41

ределяющих эту связь, т. е. промежуточным этапом при построе­ нии математической модели поведения материала при его дефор­ мации.

Основными элементами механических моделей, используемых при моделировании свойств нитей, являются пружины и демпфе­ ры (поршни, движущиеся в вязкой среде). Связь между деформа­ цией и напряжением (механическим) для таких элементов имеет вид

Здесь Е — модуль упругости пру­ жины, а ц — коэффициент вязкост ти среды, в которой движется пор­ шень. Заметим, что размерность Е совпадает с размерностью o(t), а

времени.

Рассмотрение механических мо­ делей и построение математических моделей на их основе чрезвычайно упрощается, если эти соотношения записать в преобразованном по Лап­ ласу виде:

Из соотношений (123) следует, что в преобразованиях по Лап­ ласу можно ввести комплексный модуль упругости Е(р). Для пру­ жины Е (р) =Е, для демпфера Е (р) =т\р.

Используя соотношения (123) и понятие комплексного модуля упругости Е(р), легко найти соответствующие соотношения для произвольных комбинаций соединения пружин и демпферов.

С этой целью используем правило последовательного и парал­ лельного соединения произвольных элементов (рис. 13).

При последовательном соединении элементов напряжения, действующие на каждый элемент, одинаковы, а деформации скла­ дываются. Обозначая через a(t) и е(() напряжение и деформацию для всей механической модели, найдем их при последовательном, соединении элементов из следующих соотношений:

Чр) = (р) = Ч р )\

Чр ) = *i(P) + Ч р )

Учитывая соотношения между напряжениями и деформациями для отдельных элементов

42