Файл: Сарингулян, Э. В. Арифметические и логические основы цифровых машин учеб. пособие.pdf

Т а б л и ц а 3.2

СЛ

Табличное задание переключательной функции двух аргументов

Наборы

Логическое умножение, конъюнкция

Рассматривая конъюнкцию, или логическое умножение, в виде некоторой переключательной функции двух аргументов, запишем (табл. 3.2):

нулю, когда хотя бы один из аргументов принимает значение нуля.

Реализуется логическое умножение в машинах с помощью элемента И, называемого также схемой совпадения Си. При двух входах на элементе И он известен в литературе как вен­ тиль или клапан. В соответствии с логической функцией fix, у) выходной сигнал на элементе И принимает код 1, если на входе все сигналы имели значение 1 (табл. 3.2, рис. 3.2).

f ( a c ,y ) = х у

Рис, 3.2

Логическое сложение, дизъюнкция

Дизъюнкция, или логическое сложение, как логическая функция двух аргументов представляется в следующем виде

(табл. 3.2):

ция принимает значение 1.

Логическое сложение может быть выполнено по отношению к нескольким переменным.

Тогда

/(■■И, Л'а, а 3, . . . , а „) = Aj V -v2V -v3 V •■ V х п.

53

Дизъюнкция принимает значение единицы, если хотя бы од­ на из переменных х, имеет значение единицы, и функция рав­ на нулю, когда все аргументы равны нулю.

Логическое сложение в электронных цифровых вычисли­

нал кода 1 па выходе элемента ИЛИ формируется при дейст­ вии на его входах хотя бы одного сигнала кода 1.

Рис. 3.3

Логическая неравнозначность, логическое суммирование по модулю два

Рассмотрим логическую неравнозначность как некоторую логическую функцию двух аргументов (табл. 3.2)

У ( Х , У ) = Х ** У ими / ( X , у ) = Х О у, <3

Определяя эту функцию как логическую операцию суммиро­ вания по модулю два, можно провести аналогию с операцией арифметического сложения без учета переноса в следующий старший разряд.

Неравнозначность реализуется с помощью логической схе­ мы ИЛИ— ИЛИ, сипнал на выходе которой принимает код 1, если один из входных сигналов равен единице, а другой нулю

54

Реализация этой функции осуществляется с помощью эле­ мента запрета ЭЗ, который обеспечивает выходной сигнал кода 1, если по запрещающему входу действует сигнал кода О

(рис. 3.5).

1гпрещзющии вход,

аЗэпрещэющий вход

Рис. 3.5

Если проанализировать возможность выражения одних ло­ гических функций через другие, то можно отметить, что логи­ ческое умножение является отрицанием операции Шеффера, логическое сложение — отрицанием функции Вебба, логиче­ ская равнозначность— отрицанием логического суммирования по модулю два, импликация двух высказываний—отрацаииим функции запрета. В рассмотренной группе переключательных функций логические зависимости взаимно попарно инверсны. Выявляется возможность осуществления логических зависимо­ стей через рассмотренную совокупность логических элементов: НЕ, И, ИЛИ, ИЛИ— ИЛИ, ЭЗ. На рис. 3.6 показаны схемы реализации операции Шеффера, функции Вебба, логической равнозначности, импликации xby. Техническая задача нахож­ дения совокупности логических элементов, с помощью которых можно реализовать любую логическую схему, определяется математической задачей отыскания функционально полной си­ стемы логических функций для выражения любой сложной логической зависимости [2].

Примерами функционально полных систем, или базисов, служат:

1) отрицание, конъюнкция, дизъюнкция;

2) конъюнкция, отрицание;

3)дизъюнкция, отрицание;

4)операция Шеффера;

5)стрелка Пирса.

В книге Поспелова Д. А. «Логические методы анализа и синтеза схем» приводятся доказательства образования бази­ сов указанными системами, основанные на теореме о пред­ ставлении любой переключательной функции через конъюнк­ цию, дизъюнкцию, отрицание и на формулах преобразования исходных переключательных функций в другие логические за­ висимости.

55

Рис. 3.6

Одна из основных задан синтеза схем ЭЦВМ заключается в выборе элементов для построения логических схем. Большое разнообразие функциональных структур в машине определяет основное требование к выбору логических элементов: возмож­ ность путем последовательного соединения элементов и пере­ становки их входов получать любую сложную логическую схему. При анализе и синтезе цифровых автоматов преиму­ щественно используется первый базис:

/(л-) — л-, f ( x , у) = л-■у, / (-V, у) = л- V У,

реализуемый набором логических элементов НЕ, И, ИЛИ.

Свойства логических функций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания

Логическое сложение и логическое умножение обладают рядом свойств, аналогичных свойствам обычных операций сло­ жения и умножения. Можно убедиться в этом, рассмотрев ос­ новные законы алгебры логики:

1. Переместительный закон, закон коммутативности, для логического сложения

56

3. Сочетательный задан, закон ассоциативности, для логи­ ческого сложения

4. Сочетательный закон, заков ассоциативности, для логи­ ческого умножения

последнее равенство не имеет места в обычной алгебре.

Таким образом, логические зависимости, содержащие опе­ рации дизъюнкции и конъюнкции, можно преобразовывать по правилам обычной алгебры, считая формально дизъюнкцию операцией сложения, а конъюнкцию — операцией умножения.

Выражения (3.6), (3.7), (3.8), (3.9), (3.10) аналогичны со­ ответствующим формам законов обычной алгебры, что позво­ ляет над логическими функциями выполнять действия как над алгебраическими зависимостями: раскрывать скобки, заклю­ чать скобки, выносить общий множитель.

6. Закон инверсии для логического сложения

Взяв отрицание от обеих частей приведенного равенства, получим соотношение

х V У — х у,

которое выражает дизъюнкцию через конъюнкцию и отрицание. При п переменных, связанных операцией логического сло­

жения, закон инверсии имеет следующую аналитическую форму:

пгг

2 = П

/-1 i=i

7. Закон инверсии для логического умножения

Применив отрицание к указанному равенству, получим вы­ ражение конъюнкции через дизъюнкцию и отрицание

ху ~ х V V.

57