Файл: Нейман, Ю. М. Сферические функции и их применение учебное пособие для студентов III курса геодезического факультета.pdf

Pf'Y'Jj

-

3

г

;

-

з -

з i;*/

-

/ т г

^ -

-f-

J

;

P ^ Y $ )

- is\ ) -

\sO'

V V' V

;

/S' -

t ^ v

' ■

£ ■

В заключение

напомним, что,

как

следует из

теории

линейных

линейно

независимое

от -первого. Такие

частные решения уравнений

( 2 .4 .4 )

и ( 2 . 4 . 5 ) , соответствующие решениям

( 2 .4 .5 )

и ( 2 . 4 . 6 ) ,

принято называть функциями Лежандра 2 -го

рода и присоединенными

функциями Лежандра 2 -го рода соответственно.

Оба вида этих функ­

ций трансцеэдентны и нам в дальнейшем не потребуется.

Итак, мы установили явный вид функций Р ^ к ^( 0 ) ,

определяю­

щих

в

свою очередь

вид основных сферических функций согласно

теореме

2 .3 .2 .

Теперь следствие из теоремы 2 .3 .2

можно дополнить

следующей фразой: в

разложении ( 2 .3 .4 )

Р ^ ( с о З б >

)

=

Р ^

( 0 )

есть

при К = 0

полиномы Лежандра,

определяемые,

например,

форму­

лой Родрига ( 2 .4 .5 ) ,

а при К = I ,

2 ,

. . . ,

П-

-

присоединен­

ные функции Лежандра, определяеше формулой ( 2 . 4 . 6 ) .

§5.

Свойства полиномов

Лежандра

Непосредственно

из формулы Родрига

( 2 .4 .5 )

вытекает,

что

( О

) есть четная функция одной переменной,

если

гг,

-

число

четное;

нечетная Функция,

если

п,

-

нечетно.

-

29 -

Тогда

х „

- j - Z F ^ - O ' £ £ г р - 0 ~ с О 1

( 2 .5 .1 )

Bo

d Y r - O '

) " .

о

К < П,

поскольку

0

= i l

L

являются корнями кратности

п.

для функции ( 0* - I )" - ,

а

потовд о т

должны быть и корнями (кратности

а

-к)

производной

к-го порядка от «той функции.

Учитывая «то,

перепишем

чп.

В

Z .

~1

cL

2

•и / ht I

с £ д м~

Обрати» внимание,

что, по

сравнения с

искомым выражением для

,

порядок производной первого

сомножителя подынтегральной

функции уменьшился на I ,

а порядок производной 2 -го сомножителя

увеличился на I . Применяя еще

п — I

раз интегрирование

по час­

тям,

при каждом из которых будем учитывать

( 2 . 5 . 1 ) ,

получим,

оче­

видно,

X .

-

& !)

-

/ /

А .

п I

•

aid

Но ведь

m < гъ

,

а потому производная

(

т

+

п.

)- г о

порядка

функции (

О4 - I^paBH a,

конечно, нулю.

Отсюда

=

0 , что

и требовалось доказать.

____

Следствие I .

Норма полиномов Лежандра

! Р л ( 0

) |

*

-

31

-

Теорема 2 .5 .2 . Полином Лежандра

( i) )

при

п

?

I имеет

П.

различных действительных корней,

прячем все они располо­

жены на интервале

( - 1 ,

+1) симметрично относительно 0 .

Доказательство» Обратим внимание,

что здесь два

нестандартных

момента.

Первый состоит

в том, что все

П.

корней

всегда

именно действительные,

причем равные;

второй необычный факт с о -

тто

эти корни всегда находятся

в одном и том же ин­

стоит в то м у в се

тервале

( - 1 ,

+ 1 ),

причем располагаются симметрично относительно

О = 0 .

Известно, что в общем случае количество действительных корней

полинома

п

-ой степени имеет такую же четность,

что

и степень

/Ъ

, причем часть действительных корней может

состоять из крат­

ных корней.

Обозначим через

^ ±

,

. . . , jg K (

J &* <

... < j$ < )

действительные корни Р „.

( \) ) ,

имеющие нечетные кратности и ле­

жащие в интервале ( - 1 ,

+ 1 ),

К ^ п

(если ,

конечно, таковые во­

обще имею тся!).

Тогда ясно,

что

все

действительные корни произве­

дения

^ О) 3 Q< ° ) - О )

имеют только четную кратность в

интервале ( - 1 , + 1 ),

поскольку

числа

Ji>

,

& i ,

, j

$<l

являются корнями одновременно

Следовательно, QK( О

) • Р„

( 0 ) есть функция знакопостоян­

ная в интервале

( - 1 , I ) ,

т .е .

ее

график может лишь касаться оси

абсцисс, но не

пересекать

ее .