Файл: Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 94

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

I .

 

o.si.

теорема S к

2?x

'

оітоёделение

I

л,-

умножения

 

 

 

 

 

 

рациональных

 

 

 

чисел

.1

i.

 

 

следствие

5

теоремы 10,

теорема 3

 

 

 

 

2Ï ^

ос

 

 

и определение

умножения

рациональ­

 

J

ных чисел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

а

I Л

теорема 3 и определение умножения

ZI

 

6 ос

[рациональных

чисел,определение сте-

 

 

 

тени из '••

I

 

 

 

I

I

Л

перенос множителя из знаменателя в

 

 

 

 

числитель

 

 

 

9а*а

 

л

6

X X г =

0

{

І

п I —

У О X

 

= У/ал- •

Л .1 .1

у X а

X.

 

коммутативность умножения

 

теосема

I , определения

операции над

рациональны­

ми Ѵслами, теорема 3

и определение

степени

с

дробным

показателем

•

 

 

 

 

 

определение

 

 

 

степени

с

 

 

 

дробным

по­

казателем

теорема 3 и определение умно­ жения рациональных чисел

 

 

теорема 3 и определение ум­

 

 

ножения рациональных

чисел

 

 

теорема 3 и определение ум­

 

 

ножения рациональных

чисел,

Л

" X

следствие

о сокращении дро­

бей

 

 

 

 

 

 

 

 

следствие

к преобразованиям

 

 

степеней с рациональными по­

 

 

казателями

 

 

коммутативность и ассоциатив­ ность умножения

теорема I,определение сложения рациональных чи­ сел и определение степени с нулевым"показателем

-77 -

Указанные преобразования ыояно производить в различном поряд­

ке, например, в следующем

теорема S и определение умножения рациональных чисел

г; / -i . ( f I i I i

(x"1

a*

x'*)*

(а*х%)*

 

(t

x

W

11

X

Cl É X ч

иil X. Ü

a r 24 -X. .

3

коммутативность умножения, теорема I и определение сложения рациональных чисел

теорема 3 и определение умножения национальных чисел

коммутативность умножения, теорема I

и определение сложения рациональных чисел'

теорема 3 и определение умножения рациональных чисел

Следствие о сокращении дробей, след­ ствие 4 теоремы 10 и определение вы­ читаний рациональных чисел.

§ 6. Простейшие преобразования с иррациояальноотями.

Нет никакой необходимости изучать специально простейшие пре­ образования- с радикалами, такие, как вынесение множителя за знак радикала, приведение подобных радикалов, простейшие операции (ра ­ дикал из произведения, дроби и степени), а также простѳйшг. слу­ чаи освобОЕдеиия от иррациональности. В самом деле, все эти пре­ образования наполняются над арифметическими радикалами, а ариф­ метический радикал по определению есть степень с раідаональным показателем.

- 7 8 -

Доказанных в этой главе теорем достаточно для того, чтобп выпол­ нить все перечисленные преобразования. Поэтому никаких преобра­

зований о радикалaux выполнять не следует,

надо

сразу переходить

к преобразованиям отепеной с рациональными показателями.

Следующие примеры хором иллюстрируют

высказанные соображения:

I . вывести

 

из-под знака радикала множительt

 

 

$îa'ê3c~°=(2*a'é3c"/*

 

определение

степени

о дробна

 

и

натуральным показателями

 

 

 

 

 

 

 

 

теопема

I и 3

 

 

 

 

 

теорема

2 и коммутативность

 

 

 

 

умножения

 

 

 

 

 

 

теорема S и определение степе­

 

 

 

 

ни о дробным

показателем

2. Внести множитель под знак радикала:

 

 

 

'ai{tJ

 

-aêfaêj'

определение

степени

о дробным

 

показателем

 

 

 

 

 

 

теорема

I

 

 

art

—

 

 

 

 

 

 

а

п

 

іеорема

12

 

 

 

 

 

 

 

ffâê]

 

 

 

определение

отепени

о дроб­

 

 

 

ным показателем

 

Ъ. Упростить: 6а

[ШР'.-3(771 аЧ:

+laéJH3a6-fê(Iïc7ï

6л (Зг.

 

 

3{к1-

 

+2а1(%'л1}1-Sofa's)**

определение

степени

о дробным

показателем

и разложение

чисел на

простые множителя.

 

 

 

/

 

 

*6а-Зе(1а*)*-3-Ы(?ае]*

+

2ае-7(М*:ЯМ7**/£-

теоремы 8 іі 2 и коммутативность умножения

дистрибутивность и приведе­ ние одночленов к каноничес­

кому виду

{Ѳаі {Ы

4 ; бав3№¥

9а*ё**9еЩ

-79 -

приведение подобных одночленов и оьредѳлѳкие степени с дробным показателем.

баеJê* определение степени с дробклм показателем

теорема 10,следствие б и определение степени с от­ рицательным показателем

коммутативность и ассоциа­ тивность умножения

определение умножения положительных чисел,

теорема I , коммутативность умножения и опре­ деление степени с дробным показателем,

5. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

 

(**-

*¥.

определение

степени

о

 

 

 

дробным показателем

 

~(a!+tif(a*-êijr

 

следствие

2 теоремы

10

 

С Ate

 

)

 

~

J- $*_

 

теорема

I

 

 

 

(a-lji

 

теорема

5

 

 

 

'

(a-ê)i(a-êji

 

следствие

2 теоремы

10

 

( àtS

 

 

)

 

 

({&- U') ЛГ7

 

определение

степени

с дроб­

 

 

 

ным показателем

 

 

 

 

теорема

I .

 

 

 

Вообще, слова " освободиться от иррациональности" означают " преобразовать выражение так, чтобы я его числителе ( или зна­

менателе) не содержалось радикалов, или, т о то же самое,степеней

- 80 -

о дробными показателями". При выполнении таких преобразований переход от радикалов к дробным показателям облегчает выбор пути преобразования, т . к . при выполнений преобразования часто прихо­ дится пользоваться теорѳмамч 5 - 8 , которые обычно формулируются, доказываются, a таі ле легче применяются для степеней. При осво­ бождении от иррациональности гѳреход к степенной форме записи облегчает таете выбор так называемых " оопряжѳнных" выражений. Значительно упрощаются и преобразования. К тому же исключение из обраптг-:ия преобразований с радикалами избавляет от изучения ( а часто и заучивания) излишних фактов, "аких, как теоремы о пре­

образований радикалов, их сумм, произведений, устных и степеней. Все эти теоремы доказаны выше для степеней с дробными показате­ лями. Их и надо применять при выполнении преобразований.

X - X - X

Как видно, изложенная в книге аксиоматическая теория тождест­ венных преобразований очень проста и вполне достаточна для выпол­ нения большинства тождественных, преобразований рациональных и простейших иррациональных алгебраических выражений. Для выполне­ ния тождественных преобразований более сложных алгебраических или трансцендентных выражений потребуется введение новых понятий и доказательство новых матеііатических фактов; Но такой задач" автор перед собой не ставил.

Конечно, совсем не обязательно следовать предложенным в кни­ ге образцам каждый раз при выполнении тех или иных преобразований: подобные преобразования надо вьаолнять бегло. Однако надо уметь при необходимости обосновать свои выкладки ссылкой на определе­ ния, аксиомы и теоремы,изложенные выше.

 

 

 

_

81 _

 

 

 

I .

Введение

 

О г л а в л е н и е

 

1

 

 

 

 

 

 

2т Глава I.Тождественные

преобразования целых репиовальяых

 

 

выражений

 

 

 

 

3

я

I.Алгебра

целых рациональных в^ажений

3

1. Алгебраические опервпии

 

 

3

2. Множества

с заданными яа них алгебраичеокими операциями

4

3-Полугруппа

одночленов

 

 

6

4.Кольцо многочленов

 

 

 

8

§

2.Основные

положения

 

 

10

§

3.Степени

с

натуральными показателями .и их преобразования

16

§ 4.0дночлеьы и многочлены,их приведение к каноническому

 

 

виду

 

 

 

 

 

 

18

1. Кадокический вид одночлена

 

 

18

2. Приведение

подобных

одночленов

 

20

3. Простейший

вид многочлена

 

 

21

4. Канонический

вид

многочлена

•

 

22

§

5.Раскрытие

скобок

 

 

 

24

1. Раскрытие

скобок

в

произведении

одночлена и многочлене

24

2. Раскрытие

скобок в сумме и разнооти многочленов

26

3. Раскрытие

скобок

в

произведении

многочленов

27

4. Раскрытие

скобок

с

применением

формул

29

§ 6.Разложение многочленов на множители

34

I.Общие положения

 

 

 

 

34

2.Вынесение

общего т..жителя

за скобки

36

3«Применение некоторых формул к разложению многочленов

 

 

на икожители

 

 

 

 

 

38

4. Группировка

 

 

 

 

 

 

41

5. Другие способы разложения чз

«яюаители

43

Ъ.Глава П.іоядоствеиные

гтвобрззогоаия рациональных дробей

46

Смотрите также файлы