Файл: Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 0
_ 7 -
одна алгебраическая операция,операция уілтожения. Ее можно опреде лить следующим образом (см.Курош, Высшая алгебра,М-62,стр.313):
|
••(aSjx, |
хг |
Как видно, |
произведение двух одночленов есть тоже одночлен, |
|
т . к . в нем над |
переменными и постоянными обозначены только умно |
|
жения. По индукции это определение можно распространить на про изведение 3 и более одночленов,.
Очевидно, что определить сложение как алгебраическую опера цию на множестве одночленов нельзя, ибо суша двух одночленов не
обязана быть одночленом |
(может быть двучленом). Операция, обрат |
|||||
ная умножению, |
токе не |
определяется. Действительно, частное |
дв;»х |
|||
одночленов |
(при |
делителе, |
отличном от 0) |
в общем случае есть |
не |
|
одночлен, |
а рациональная |
дробь. |
|
|
||
Таким образом,множество одночленов есть множество с одной |
||||||
определенной на |
нем алгебраической операцией, т . е . группоид. |
|
||||
Не трудно установить ассоциативность умножения одночленов. |
||||||
Пусть даны |
три |
произвольных одночлена |
* л |
|
||
и ггы |
- неотрицательные целые ч:сла. |
Г /,7 17 |
X, |
* W * < W |
k^l^mj |
, [ф-j] |
|
% |
г^е J/ |
, |
по определению умножения
по определению умножения
по ассоциатив ности умножения действительных чисел и сложения целых чисел
по определению
умножения одно членов
Таким образом, множество всех одночленов есть полугруппа во умножению.,
4. Кольцо многочленов (над полем действительных чисел).
||Многочленом называется сумма одночленов.
Многочлен |
одного |
переменного имеет вид |
^(х)-Сіст^Л-* |
|||||
+Wt+..+bfl.x'l= |
Z й-х x |
* |
, |
где ClK ( ic-О/, |
&,гъ) |
_ |
||
действительные |
числа. |
|
|
|
|
|
|
|
Два многочлена |
называются |
равными, если равны их коэффици |
||||||
енты при одинаковых |
степенях переменной. |
|
|
|
||||
Во множестве многочленов можно задать две алгебраические |
||||||||
операци': сложение |
и умножение. Для сложения |
выполняется |
обрат |
|||||
ная операция. Обратная |
же умножению |
операция |
не 'определена, т . к . |
|||||
частное от деления |
двух многочленов |
(при делителе, |
отличном от |
|||||
нуля), вообще говоря, есть рациональная дробь. |
|
|
||||||
Пусть даны два многочлена |
р(х-) = Л-,+ Й . ѵ Я Г Л / І |
*-...'ЛЛ |
- 2_а< |
|||||
Суммой их при |
/г^/тг-^ |
называется |
многочлен |
f(<b)tÇ}(x)* |
|
- c . ^ , a - ^ * V . . * Ç , x * s |
Z |
Л с * * где |
СК-ал'К |
|
|
|
• |
/С *0 |
|
|
|
(при К?т . Ьк = О |
)_ |
|
|
|
|
Произведением |
многочленов / А У и |
называется мно- |
|||
гочлен IM-aWd.^** |
|
|
• • • + < г , п ^ ' П \ а , 1 |
Г , , У ' П * 1 а г |
|
где &к\2-аР&с |
|
|
|
|
"° |
prg-K |
|
|
|
|
|
|
- 9 - |
|
|
Очевидно, wo |
{M+$(x)*2fxhf{*J |
ЧЛІ |
CK*dSèK' |
~êra?CK. Операция |
сложения коммутативна. |
|
|
Пусть дан еще многочлен *f(x)- Се |
+ С,хт%х\../cdx |
^ і&лгьп. . |
|
Тогда |
$(Ф$Щ^Ф]*[{Ъ+і)+[я^і.)хт/ъ'№'+...+ |
||
+ fa* k + |
V . , т(а*. ^ 4 rbjx**-... |
|
+(си++ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
сложение ассоциативно. |
||||
Роль |
элемента |
t- |
при сложении |
играет |
многочгзн, все. коэф |
||||||
фициенты которого нули, т . е . 0: |
|
|
|
|
|
|
|||||
Противоположный |
(обратным по сложению) |
многочлену |
|
||||||||
|
|
Л; |
|
|
|
|
|
|
л- |
х |
|
^ ( % ) ' / . ^ ^ " можно назвать многочлен - •f(x) - |
(-&к% J |
||||||||||
и тогда |
ï[x)r[-Hx)]'-0, |
-f(x)tfM*0. |
|
|
7° |
|
|||||
Действительно. |
|
f{x)r[-fi*)] |
L |
*<х |
L |
|
~- |
||||
Итак, |
множество |
многочленов |
над полем |
R. |
есть |
абелева |
|||||
группа |
по сложению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично можно проверить коммутативность и ассоциатив - |
|||||||||||
ность |
умножения и убедиться, что по умножению множество много |
||||||||||
членов |
есть коммутативная полугруппа. |
|
|
|
|
|
|||||
Можно убедиться |
в выполнении |
законов дистрибутивности умно |
|||||||||
жения |
относительно |
сложения. Для этого |
достаточно |
рассмотреть |
|||||||
коэффициенты при одинаковых степенях |
X |
в выражениях |
f(^,'[f''-x-^^^'J |
||||||||
. |
По определению |
суммы и проиэведешія |
|||||
многочленов коэффициент при ХЛ |
, |
где |
Л- = О, 4, 2>, |
Л Ж |
^ |
||
в первой выражении должен иметь вид |
|
|
|
|
|
||
У ^ / 4 1 с * ) * Z . a t & r |
2^а*ь. |
|
|
|
|
||
Последняя же сумма есть коэффициент при |
ОС (к-О^Л) |
|
•••)л*^) |
||||
во втором выражении. |
|
|
|
|
|
|
|
Итак, множество многочленов от одного переменного с дейст |
|||||||
вительными коэффициентами |
(над полем |
R- |
) является |
коммутатив |
|||
ным кольцом. |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично устанавливается, |
что |
множество многочленов |
от |
||||
нескольких переменных над |
произвольным полем ( т . е . |
с |
коэффициен |
||||
тами, являющимися элементами произвольного поля) образуют кольцо
(см. Курош, Высшая |
алгебра, М-62). |
|
|
|
§ |
2. Основные |
положения |
|
|
I . |
Сущѳотвуют две точки зрения на |
тождественные |
преобразо |
|
вания. Это точка зрения алгебраическая, |
рассмотренная |
выше, и |
||
точка зрения теоретико-функциональная, |
рассматривающая многочлен |
|||
как целую рациональную функцию (одного |
или нескольких |
переменных). |
||
В школе не представляется возможным придерживаться только алгеб раической точки зрения, она едва ли доступна для уч*ни*Ьв, изу чающих начальную алгебру. Однако и игнорировать^* Йолноотыз
нельзя. Полезно объединение этих двух позиций: I ) |
рассматривать |
|
на множестве одночленов лишь одну операцию - умножение, |
назвав |
|
ее. приведением одночлена к каноническому виду;*) |
2) не |
рао- |
См. определение в 5 4 этой главы.