Файл: Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 91

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ

Стра­

 

Стро­

ница

 

ка

4

4 снизу

8

2 снизу

16

5

снизу

30

10

сверху

40

14

сверху

40

3

снизу

45

4 сверху

55 8 сверху

65 11 сверху

7014 снизу

717 снизу

78 11 снизу

Следует читать

G

n+m V

£d dK хк

3+3+34-3=3 • 4 = 12 [a+( - b)p

(2p)3

40a"b2—135 ab5 =

a4n _|_ 4b'ln —a 4n+ 4a2nb2n +

._ 4b4n_432nb2n a Ф 3x

3)

meZ

, HEZ , iceZ

am = bn

, Ы = es.

1

i

i

a4

Ъ л -

b 2

 

n+l

 

(ab) a

КИРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСІСИЙ ИНСТИТУТ имени В.И.ЛЕНИНА

контрольный экз.

Е.О. КАНИН

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Учебное пособие

Киров - 1972

s 1 гевиаретвмкч ЗійгяэтазаСвЯ?

1D?3 г.

Печатается по решению Редакциончо-иедатекского совета Кировского государственного педагогического института имени В.И.Ленина

Редакционная коллегия: Г.З.Мошкина (отв.редактор), П.А.Крупин, Л.А.Халевина.

іГее. Публичная —1

j

бнблиогоиа

СССР

I

Э К З Е М П Л Я Р

j

ЧИТАЛЬНОГО

З А Л А ;

Е.С.КАНОТІ

ТОІДЕСТВЕНШУ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Учебное пособие

Редактор

О.С.Хронилова.

Техн.редактор Е.С.йеонина

Подписано к печати 20/У1-1972.

Тира»

1000.

 

Формат

60x84...I/16^

Еумега газетная.

 

Усп . п . п . ^ 5 , 1

 

ÏE07210 .

 

Цена

16 коп.

ЯЭК9Э__5.0Й2.___:

 

 

.

 

 

 

Редакционно-ивдатепьский

совет

Кировского

государственного

 

і педагогического

института им.В. И.Ленина -

 

Г.Киров,

,уіииѳ

.Ленина,

111

 

 

Областная

типография

управления

по

печати -

 

.Г.Киров,

Динамовский проеад,

4

- 2 -

Введение

Для решения многих задач необходимо уметь преобразовывать

Алгебраические выражения в тождественно равные им, но чаще более просто изображающиеся. Замена одного алгебраического выражения другим, тождественно равный ему, называется тождественным преоб­ разованием. Раиомотренио тождеотвеявых преобравований рациональ­ ных выражений и степеней о рациональными показателями и является целью настоящей кгиги. Учитель математики должен внать математи­ ческие ооновы тождественных преобразований. В книге наложены эти

основы, установлено, что одночлены образуют полугруппу по умноже­

нию, множество многочленов есть кольцо, а множество алгебраичес­

ких дробей - поле. Конечно, такой подход пока невозможно осущест­

вить в школе. Но выдать достаточно строгую теорию тождественных иреобразований рациональных выражений возможно и в УІ-УП классах вредней школы. 6 настоящей книге сделана попытка разработать ак­ сиоматическую теорию тождественных преобразований рациональных выражений и степеней с рациональными показателями, доступную длг

изучения школьникам УІ-УП классов. Таким образом, книга может быть жолѳзной как учителю математики, так и ученику.

В математике для обозначения чисел, других объектов (напри­ мер, точек, прямых и плоокоотѳй в геометрии), отноиѳний между объ­ ектами применяются различные знаки (их можно-назвать буквами?.

С помощью букв обозначаются также переменные и постояннее. Так,

буквой

X

в уравнении х1-

х - Z - О обозначается переменная,

т . е . все

те

числа, которые

обредают это уравнение > верное равен-
C S B O .

- 3 -

В роли переманной выступает букве X и в рав8нотве:с+-.&*.<!*х, котороѳ справедливо при любых числовых значениях этой буквы. Порвч ыенные далее будут обозначаться различными буквами латинского ал ­

фавита,

В настоящей книге понятие

"переменная" очитоэтоя первач-

ш , неопределяемым

понятием. Постоянные обозначаются

начадьпши

вуквакя

латинского

алфавита.

 

 

 

 

Из букв (если

считать бусвамя

и такие

знаки как

+, - ,

»,

 

* т . д . ) можно составлять различвыо

выражения.

Под внраю-

ввея далее будет пониматься любое множество букв, раоподояэяных в квжок-вноудь разумном, -онятном порядке.

ГТавТ17'ТОЩСТБЕННЬЁ ІРЁШРАЗОВАШІ І Ш РШОЙЩШЛ

• . ВЫРАЖЕНИЙ,

 

I .

Алгебраические операции.

^

 

 

 

 

 

Тождеотвенные преобразования базируются ва основных понятиях

общей алгебры, понятиях алгебраической операции к множества с

за­

данной

иа нем алгебраической операцией.

 

 

 

 

,

Определение.'

Алгебраической

операцией

называется

закон,

по

которому каждым двум элементам множества Jit

,

расположенным в

оп­

ределенном порядке,

ставится в соответствие единственный

элемент

того'же

множества Л

.

 

 

 

 

 

 

Лобов арифметическое действие

есть алгебраическая

операция

в .определенном числовом множестве. Сложение

и

умножение

- алгеб­

раические операции,

определенные во множествах

всех натуральных/Я'

Рассматриваемые здесь алгебраические операции являются бинарными.

всех цалшс {£;J

, воех

рациональных

(Q.J

, всех

действительных^)

н воѳх

комплексных

fQJ

чисел. Вычитание

не является

алгебраи­

ческой

операцией

во

множестве

натуральных

чисел

(разность

двух натуральных чисел не обязяяа быть натуральным числом), деле­ ние не всегда определено во множествах fil и ^ .

Алгебраическая операция может быть задана не только на чис­ ловых множествах, но и на множествах элементов произвольной при­ роды. В частности, некоторые алгебраические операции определяются на множествах одночленов (умножение), многочленов (сложение ж ум­ ножение, а также вычислив - операция, обратная сложению), рацио­ нальных дробей (сложение, вычитание, умножение, деление, кроме деления на 0) . Далее будет установлено, какие алгебракчевкке опе­ рации определены в названных множествах.

2. Множества с

заданными на дях,алгебраическими операциями.

Самым широким множеством является груопоид-миожеотво

с за­

данной на нем алгебраической операцией.

 

 

 

Понятие группоида очень широко. Более узким, имеющим разно­

образные применения понятием является группой,

в котором выпол­

няется ассоциативный

зако^.

 

 

 

множество с заданной на нем ассоциативной

операцией,

« о с и

название ассоциативного группоида, ла полугруппы. Полугруппа

«

коммутативной операцией называется коммутативной полугруппой.

 

Ещё Долее узким яаляетоя понятие группы

 

 

 

Множество С*

называется группой омооитвлый nmrojpftf

за­

данной на нем операции (назовем ее уиаоваювм),

вел* йиголиямма

следующие условия (аксиомы груипн)};

 

 

 

I ) Онерацая аеооіаа*юя* (А«я любнх

л,*,Л£Ьу&(IеsO>fa))

 

2) Существует в этом множестве такой злэмѳну

£

, что

 

 

а)

 

для

любого

элемента

Cl.

этого

«южества

справедливо

ут­

верждение

 

sCl£

- Ct ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

для

любого

элемента

С1> этого

множества

сущэствует

такой

его

элемент

 

,

что

сіс^'

= и^'а

*

^

 

 

 

 

 

 

 

Если операция, заданная в группе, обладает свойством комму­

тативности

(си В ' êcvj

,

то группа

навивается

коммутативной яла

абелевой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры.

Полугруппа по умножения

образуют

множества

 

 

ï>

Q. » ß

» С- • Они ке образуют полугруппы со оложенио. Одна­

ко,

множества

JV

и

Ъ

не

являются группами

по

умножению,

т,кі

они

не

удовлетворяют

условиям

2)

определения

группы. Множества

же

Q

,

Я

и

С-

образуют

группу

кав

то умножению

(воли

исклю­

чить из них элемент О), так и по сложению (аддитивную группу).

Группу по сложению образует и множество

всех

целых

чисел

£ .

 

Существуют множества, на которых заданы.две

алгебраические

операции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Множество, на котором заданы две алгебраические операции (их

можно назвать умаожением я сложением) называетоя кольцом, если

выполняются

следующие

условия

(аксиомы

кольца):

 

 

 

 

 

 

I )

 

Это

множество

является

абелевой группой

относительно

сло­

жения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р) Операция умножения ассоциативна (полугруппа по умножению).

 

3)

 

В рассматриваемом множестве выполняются

законы

дистрибу­

тивности

сь($+с)-o,i>4Q,u

 

 

и

fS+cJa*

êarсо-

 

 

 

 

Из аксиомы 2 следует оупеотвование обратной операции.

Л Н Е Ь

- б -

 

Пример кольца - множество всех целых чисел

• Как уже г о ­

ворилось, по сложению это множество есть абелева группа, по умно­

жению же -

полугруппа,

кроме

того, законы дистрибутивности,

как

известно,

во

множестве

2"

Р ^ П О Л К Я Ю Т С Я . Кольцами являются

и

иноке ства

Q

Л

и

С .

 

 

Кольцо называется полем, если все отличные от нудя его эле ­

менты образуют аоѳлеву группу по умножению.

 

Множества Q

, R

и

С являются полями.

 

Если в

кольце

определены

2 алгебраические операции (сложе­

ние, умножение) и существует операция, обратная сложению Сабелѳва группа по сложению), то в.поле определены те se 2 алгебраические

операции,

что

и з кольце,

и для каждой

из них существует обрат­

ная операция

(кроме деление на О).

 

Следует.определить еще понятие "алгебраическое выражение".

Гиражение,

составленное

из

постоянных

и переменных с помощью зна­

ков операций

и скобок,

называется алгебраическим заражением.

Понятий полугруппы, группы, кольца и поля вполне достаточно для построения теории тоадеотвенных преобразований рациональных

алгебраических

выражений.

 

 

 

3. Полугруппа

одночленов.

 

 

Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором

обозначены только,операции

умножения.

 

Согдасно этому определению, одночленом является алгебранчес-

 

"« лі,

л

 

'

кое выражение

СіХ1

 

хл

, где

- целые неотри­

цательные числа, ft-

- постоянная,

хс -

переменная. Действитель­

но, над переменными и постоянными обозначены лишь умнокеішя.т.к.

натуральная степень есть частный случай умножения.

Во множестве всех одночленов монет быть определена

Смотрите также файлы