Файл: Зенова, Е. Ф. Статика учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 81

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

но из формулы для ,vc имеем

J xdl' = хс-1.

(О

Следовательно, S = 2nxc-l, что и требовалось доказать. Пример II. Определить положение центра тяжести дуги

полуокружности радиуса R. Полуокружность — плоская, сим­ метричная кривая линия, поэтому оси координат Оху выби­

раем так, чтобы плоскость

хОу

 

совпала

с

плоскостью

 

полуокруж-

 

пости, ось

-->-

 

 

осью симметрии,

 

Ох — с

 

--►

 

 

 

 

 

 

 

а ось Оу ограничивала полуок­

 

ружность, не пересекая ее ни в

 

одной точке. Тогда центр тяжести

 

полуокружности

будет

 

находиться

К призеру П

на оси

Ох

(//с=0)

 

и положе­

ние его будет определяться из

 

формулы

 

(32),

 

т.

е.

 

_

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л"с

2*/ ’

 

где 5 — площадь

поверхности,

образованной

вращением по-

луокружности

 

 

--►

 

вокруг оси Оу (площадь поверхности

 

шара радиуса R S = 4nR2)\

 

I — длина

полуокружности

радиуса R(l—nR). Следова­

 

тельно,

 

 

 

4 т :Д 2

 

 

 

 

 

 

 

-С

R

 

 

 

 

 

 

 

 

2я-тiR

или, приолмжеино,

А',.

!т *

2. Объем тела, полученного вращением некоторой плоской замкнутой фигуры вокруг оси, лежащей в ее плоскости и ее не пересекающей, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть S — площадь данной пло­ ской фигуры. Плоскость хОу проведем так, чтобы она сов­

падала с плоскостью фигуры, ось Оу

не пересекает ее

(рис. 56). Нам нужно доказать, что

 

W—2nxc-S,

(33)

где W — объем тела, полученного при вращении плоской

--►

фигуры вокруг оси О//; хс— абсцисса центра тяжести плоской фигуры. Плоскую фигуру разобьем па бесконечно большое число бесконечно малых элементов сечениями, параллель­ ными осям координат. При вращении плоской фигуры вокруг

оси Оу каждый такой элемент образует элементарный пояс, объем которого может быть вычислен по формуле:

Aojj = 2n.Vj-ASj,

где

.V,-— абсцисса

 

центра

тя­

жести

выделенного

элемента

плоской фигуры,

а Л53-=Дху

АУ;, — площадь

этого

элемен­

та.

Объем тела,

полученного

при

 

вращении

плоской

фи-

гуры

вокруг оси

 

-->

 

Оу,

будет:

 

 

№ = lim Е Awj = П т S

 

 

Д-Шу-0

j

1

 

lSj-hO j

 

 

Я - * СО

 

 

 

//-► СО

2n^-iASj = 2я | xdS,

•i

\S)

но для однородных плоских тел

= -V f •*d s '

*( S )

следовательно

| xdS == ХсА,

(S)

и U^ = 2n.vc5, что и требовалось доказать.

Пример 12. Найти положе­

ние центра

тяжести

площади

полукруга

радиуса R.

Р е ше н и е . Так

как полу­

круг — симметричное

плоское

тело, то оси координат Оху выберем так, чтобы плоскость хОу совпала с плоскостью по­

лукруга, ось Ох была осью

симметрии, а ось Оу совпала с диаметром, ограничивающим полукруг.

92

Так как

Ох — ось симметрии, то ус=-0 и абсцисса центра

тяжести полукруга определится

из формулы

(33)

 

х.

 

W

 

 

= ----- ,

 

 

с

2п-5

 

4

 

 

полученного

при вращении

где W =— nR5— объем шара,

3

полукруга

 

 

—>■

 

радиуса R вокруг оси Оу\

S -- —j-

л R2— площадь

данного полукруга.

Следовательно,

 

 

 

 

Xe= - * * * - = ± R

 

с3-2t.-kR* Зт.

или, приближенно, хс

Таким образом, использование теорем ПапЛа— Гульдина ограничено случаями, когда известны поверхности или объ­ емы тел, полученных вращением вокруг оси соответственно плоской линии или плоской фигуры.

 

 

 

Л И Т Е Р Л Т У Р Л

 

 

 

1.

О ку не в Б. Н. Статика. ЛМИ,

1956.

 

 

 

2.

Л о й ц я н е к и й Л.

Г., Л у р ь е

А. И. Курс теоретической меха­

ники. М., Гостехнздат, 1957.

Курс теоретической

механики.

М.,

«Наука»,

3.

В о р о н к о в

И. М.

1964.

Т а р е С. М.

Краткий курс теоретической

механики.

М„

«Наука».

4.

1968.

Д о б р о н р а в о в В. В., Н и к и т и и Н. Н„ Д в о р н и к о в А. Л.

5.

Курс теоретической механики. М., «Высшая школа». I960.

 

 

6.

Я б л о и с к и й А. А., Н и к и ф о р о в а

В. М. Курс теоретической

механики. Ч. 1. М„ «Высшая школа». 1966.

 

по теоретической

механике.

7.

М е щ е р с к и и

И.

В. Сборник задач

 

М, «Наука», 1970.

Н.,

В о р о н к о в И.

М., М и н а к о в А.

П.

Сбор­

8.

Б у х г о л ь ц Н.

ник задач по теоретической механике. М., Гостехнздат, 1949.

 

 

9.

Б р а ж н и ч е и к о Н. А.,

К ап В. Л.,

М н н ц б е р г Б. Л. и др.

Сборник задач по теоретической

механике.

М., «Высшая школа»,

1967.

10.

Б а т ь М.

И..

Д ж а н е л и д з е

Г. 10., К е л ь з о н

А.

С. Теорет

ческая

механика в примерах и задачах. Ч. 1.

М., «Высшая школа»,

1972.

 

 

 

 

 

 

О Г Л А В Л Е Н И Е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С тр .

 

 

Глава /.

Основные понятия и начала статики

 

 

$

1.

Основные

определения.....................................................

 

 

 

 

3

 

§ 2.

Начала

с т а т и к и ...................................................................

 

 

 

 

4

 

§

3.

Силы реакций

ограничивающих

т е л ............................

 

7

 

§

4.

Трение скольжения. Законы трения

скольжения. Конус трения

11

 

 

Законы

т р е н и я ...........................................................

 

 

 

 

13

 

 

 

Угол

 

трения

т р е н и я

...............................................

 

 

14

§

5.

Момент силы относительно точки и момент силы отно­

15

 

 

сительно

о с и

 

 

 

 

 

 

 

Момент

силы

относительно

т о ч к и ......................................

 

 

15

 

 

Определение

силы

относительно точки через

16

 

 

векторное

произведение

 

.............................................

 

 

 

 

Зависимость момента

силы

от

выбора полюса . . .

.

17

 

 

Момент

силы

относительно

начала координат. . . .

 

19

 

 

Момент

силы ............................

относительно

о с и

 

20

 

 

 

Связь между моментом силы относительно оси и момен­

 

 

 

том этой же силы относительно произвольной точки

21

 

 

данной оси .......................................................................

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

о

равнодействующей

сходящейся

си­

23

 

 

стемы

сил относительно произвольной точки (оси)

. .

§ 6.

Статические

методы .....преобразования системы

с и л

28

 

§ 7.

Основная

теорема ................................................с тати к и

 

 

 

28

 

§

8.

Задачи

с т а т и ...................................................................к и

 

 

 

 

31

 

Глава II. Характеристические величины системы сил и их свойства

 

§

1.

Определение

характеристических величин системы сил . .

.

31

 

 

Вычисление

характеристических ............................

величин

 

 

32

94

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Стр.

?• 2.

Влияние

выбора

полюса

на

определение

характеристических

38

 

величин

системы

с и л .......................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 3.

Инвариантысистемы

с и л

...............................................................

 

 

 

 

 

 

 

40

$ 4.

Центральная

ось

системы с и л .....................................................

 

 

 

 

 

 

42

<5 5. Неизменяемость

характеристических

величин

при

простейших

43

 

статических методах

преобразования

системы

с и л ...................

 

 

 

 

Глава III. Уравновешенная система сил

 

 

 

§ 1. Необходимые

и

достаточные условия

равновесия

системы

44

 

сил,

приложенных

к

твердому

т е л у .........................................

 

 

 

 

§ 2. Аналитические

условия

равновесия

системы

сил, приложен­

46

 

ных

к твердому т е л у .......................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система сил, как угодно расположенных в пространстве

46

 

Плоская система

с и л

................................................................

 

 

 

 

 

 

 

47

 

Система параллельных .........................................

с и л

 

 

 

 

 

48

 

 

Сходящаяся

 

система .....................................................

с и л

 

 

 

 

 

 

50

 

 

Условия равновесия системы сил, приложенных к твер­

51

 

 

дому телу, закрепленному ...................в одной

т о ч к е

 

 

Условия равновесия системы сил, приложенных к твер­

52

 

 

дому телу,

закрепленному ...................

в

двух

т о ч к а х

 

$ 3.

П рим еры ...................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

54

 

 

Примеры

на

равновесие

системы

сил, приложенных

56

 

 

к

шероховатым телам ......................................

(№ 5, 6 )

 

 

 

 

 

 

 

Глава

IV.

Неуравновешенная система

сил

 

 

 

S 1.

Необходимые

и

достаточные

условияэквивалентностисистем

 

 

с и л

.............................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64

 

§ 2. Равнодействующая

 

системы

сил, приложенных

к

твердому

 

 

т е л у .............................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

65

 

•$ 3.

Пара

с и л ...............................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

68

 

 

Эквивалентность

пар .........................................

с и л

 

 

 

 

 

70

 

 

Свойства

пар

с и л

........................................................

 

 

 

 

 

 

 

70

 

 

Условия равновесия

пар .....................................

с и л

 

 

 

 

71

 

§ 4. Преобразование

произвольной системысил

 

вэквивалентную

71

 

ей систему, состоящую из одной

силы н изодной

пары сил

5,

Динама

.............................................................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

74

95

Смотрите также файлы