ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 87
Скачиваний: 0
образом заполняющих его объем. Объемы этих элементов будут ДаУ|, Дго2, ...,; к каждому из них будет приложена
соответствующая элементарная сила тяжести Aq±=Aqik\j,
] 10 _ __ |
__ |
__ |
__ |
__ |
__ |
Mc(Aqj) = [СМ3Х (Д?3-)с] = [CMj X M t] = [CMjX/Mr^ic].
Так как qj — скалярный положительный множитель, то
M,,(,\qj) = [Л<7;-СМ,-хМ.
Поэтому
~Le = lim 2 [Дг/;СЛ1^хЛ|с]. ^'/у-п7“1
с о
Единичный орт k\c может быть вынесен за знак суммы и за знак предела, ибо k\c= const. Следовательно,
Lc= [(lim 2 Aqj-CMj) Хк\с].
у-1
л - * СО
Из определения интеграла следует, что
lim 2 Aqj-CMj = §CMdq.
4«Г*о/=1 (?)
п-*со
8 0 ’
Значит,
L e =
X k lc .
По определению, эта система сил уравновешена, поэтому
CM dq \ x k = 0.
07)
Полученное векторное произведение должно равняться нулю
при любых углах между векторами СМ и k\c (на основании определения центра тяжести твердого тела), следовательно,
поскольку k\r=?(=0, первый множитель
\~CMdq = 0. |
(24) |
|
«7) |
|
|
Равенство (24) позволит |
вывести формулы для |
радиусов- |
векторов центра тяжести твердого тела в подчиненной и главной системах координат.
1. В подчиненной системе координат положение центра тяжести определяется радиусом-вектором рс. Из рис. 51
видим, |
что СМ = р—рс. Поэтому равенство (24) можно пере |
|
писать |
|
_ |
|
J |
(p - p c)£fy= 0 |
|
(<7) |
|
ИЛИ |
_ |
_ |
J Рс dq = J р dq,
(?)(17)
НО
IРсdq =ре 5 dq = qpc.
(?)(9)
Значит,
Яре = Ipd-q,
i9) |
|
откуда |
|
S — -5 - J |
(25) |
(?) |
|
Обозначим координаты точки С в подчиненной систем? |
|
координат (|с, Лс, £с), а координаты |
произвольной точки |
6 Зак. 56 |
81 |
твердого тела (|, ц, £). После проектирования формулы (25) на оси Рц, Pt, найдем
V — И * * » |
% - т Ь ^ = |
' . - т Ь " ' * - (26) |
(?) |
(?) |
(?) |
Формулы (26) определяют координаты центра тяжести твердого тела в системе координат, неизменно связанной
ствердым телом.
2.В главной системе координат положение центра
тяжести С определяется радиусом-вектором гс. |
Из |
рис. 51 |
||
видим, |
что СМ — г — гс, поэтому |
равенство (24) |
перепишем |
|
в виде |
J { r - r c)dq = 0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
(? ) |
|
|
|
Отсюда, |
повторяя те_ же самые |
рассуждения, |
что |
и при |
выводе формулы для рс, находим |
|
|
|
|
|
rt = \ \ r d q . |
|
(27) |
|
(?)
Обозначим (хс, ус, zc) координаты точки С в главной системе координат, (х, у, z ) — координаты произвольной точки твер дого тела в тон же системе координат. Проектируя фор
мулу (27) на оси Ox, Оу, Oz, получим
х е = — I xdq\ ус = - у J у dqzc = ~ J zdq. (28)
Формулы (28) определяют координаты центра тяжести твер дого тела в системе координат, неизменно связанной с вы бранной системой отсчета (Землей).
Рассмотрим частный случай, когда твердое тело одно
родно |
(плотность |
его 6=const). Тогда, в зависимости |
от |
||
формы этого тела, получим: |
тело |
q= b-w\ dq=b-dw, |
где |
||
1) |
трехмерное |
(объемное) |
|||
w — объем твердого тела; |
тело |
(один размер тела |
мал |
||
2) |
двухмерное |
(плоское) |
|||
по сравнению с двумя другими, например, тонкая плита)
q=6s-S, |
dq = bs -dS, где 5 — площадь тела; |
|
3) одномерное (криволинейное) тело (два размера тела |
||
малы по |
сравнению с |
третьим, например, стержень) q= bil, |
dq — bidl, |
где I — длина |
тела. |
82
Для каждого из этих тел можно получить формулы для радиусов-векторов и координат центра тяжести как в под чиненной, так и в главной системах координат из соответ ствующих формул (25), (26), (27), (28). Эти результаты по мещены в таблице, которая показывает, что положение центра тяжести однородного твердого тела зависит не от ма териала, из которого оно изготовлено, а от его геометриче ской формы.
Тело |
Радиусы-векторы: |
Координаты центра тяжести |
|
а) подчиненный |
|||
в системах координат |
|||
|
б) главный |
||
|
|
а) |
Рс = |
4 |
.[ |
Jdw |
|
|
* <«) |
|
|
Объемное |
|
|
|
|
б ) |
гс= |
— |
f |
г dw |
|
|
w (») |
|
|
a) F c= 4" |
.f PdS |
S |
(S) |
Плоское
6 ) Tc = 4" |
^ |
7dS |
S |
( S ) |
|
a) |
Pc = 4" |
i" |
pdl |
|
1 |
Ц) |
|
Криво |
|
|
|
линейное |
|
|
|
6) |
rc = 4 - |
j |
у in |
|
i |
</) |
|
^ = 4 |
|
f |
|
|
&(о;) |
|
|
|
Сс= |
|
&(о;) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= — I |
Сdw |
|
|
|
||
хс = |
|
— |
1 |
х dw, Ус = —- X |
||||||
c |
|
|
® |
|
|
s |
|
w |
|
|
X |
|
l |
у dw, |
z0 = |
4 - |
J 2 dw |
||||
|
(w) |
|
|
^ |
(W) |
|
|
|||
S c = 4 - I |
|
ri r = - L X |
||||||||
|
|
|
5 |
(S) |
|
|
|
|
|
|
x |
|
J |
|
|
tc = |
4 - |
J |
|
U S |
|
|
(S) |
|
|
S |
(S) |
|
|
|||
|
= |
4 r |
J * ds> |
= |
4 " x |
|||||
|
|
|
5 |
(s> |
|
|
|
5 |
|
|
X |
|
J |
ydS, |
zr = |
4" |
I |
|
sdS |
||
|
0s ) |
|
|
5 |
( S ) |
|
|
|||
£ c = 4 - I |
>dl' |
* |
- |
t |
|
x |
||||
|
|
|
1 |
(i) |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
f |
t]dl, |
te = |
4 - |
J |
u |
/ |
||
|
(I) |
|
|
|
1 <0 |
|
|
|
||
xc = 4" J -x dl, yc = 4" X
X j vrf/, |
zc = — l z dl |
(0 |
1 (l) |
6 * |
83 |
Выражения |
|
|
j %dw = Zcw, |
j r)dc<y = iica), |
j t,dw = L,cw |
(та) |
lie) |
(та) |
называются статическими моментами объема w относительно координатных плоскостей РцС,, РЬ) соответственно. Статические моменты площадей и линий относительно тех же плоскостей определяются формулами
J gdS = gcS; |
J iylS-=r\cS-, |
\ £dS = £cS\ |
(i) |
(s) |
(i) |
J \ d l = U - |
f n d / = r i c / ; |
j ' £ d l = y . . |
(/)(b w
Аналогично можно было бы определить статические моменты объемов, площадей и линий относительно координатных плоскостей Oyz, Ozx, Оху.
§ 3. Способы нахождения центра тяжести твердого тела
Для практического определения положения центра тя жести твердого тела существуют следующие способы:
метод разбиения; метод определения положения центра тяжести симмет
ричных тел; определение положения центра тяжести твердого тела
с помощью теорем Паппа — Гульдина; графический метод; экспериментальный метод.
На двух последних способах — графическом и эксперимен тальном ■— мы останавливаться не будем.
Метод разбиения
Этот метод может быть применен для нахождения центра тяжести как однородного, так и неоднородного твердого тела. Для его использования необходимо, чтобы твердое тело могло быть разбито на конечное число частей, для каж
дой из которых вес qj и положение центра тяжести С,-(г легко могут быть найдены (рис. 52). В этом случае фор мула (27) может быть записана так:
(29)
&4
П
где q = S qj — вес данного тела. Координаты центра
■I
тяжести С определятся по формулам
Если твердое тело однородно, то его вес q следует заменять объемом w, площадью 5 или длиной I, в зависимости от формы тела.
|
|
Рис. 52 |
В частном |
случае, |
когда тело имеет выемку (вырез), то |
на основании |
метода |
разбиения вырезанная часть входит |
в формулы (29) и (30) с членами, имеющими отрицательный знак. Поэтому указанный частный случай метода разбиения называют иногда методом вырезания, или методом отрица тельных масс.
Пример 10. Найти центр тяжести однородной пластинки с круговым отверстием. Форма и необходимые размеры пластинки показаны на рисунке.
Ре ше н и е . Проводим оси координат Оху так, чтобы
каждая из осей Ох и Оу совпала с двумя взаимно перпен дикулярными краями пластинки. Так как тело однородное и плоское, то положение его центра тяжести определится координатами