Файл: Зенова, Е. Ф. Статика учебное пособие.pdf

В данном случае пластинку целесообразно разбить на три части:

1)прямоугольник со сторонами 2,5а и 2b (центр тяжести

С| находится в точке пересечения диагоналей);

2 ) прямоугольный треугольник с катетами а и 2 b (центр тяжести Са находится на расстоянии */з от каждого катета); 3) круг радиуса 0,5b (центр тяжести С3 находится в его

центре).

Для каждой нз этих частей вычислим площадь и найдем координаты центра тяжести.

Координаты центра тяжести 'пластины находим по формулам

.. __-SiA'i 4- S^x3 —

Ус = $лУ\ 4~5зУз —^зУз

5

86

Метод определения центра тяжести симметричных тел

Этот метод позволяет определять положение центра тяжести у однородных симметричных тел. Основывается он на следующих теоремах:

У

л

Рис. 53

то его центр тяжести расположен на этой оси; 3) если однородное твердое тело имеет центр симметрии,

то его центр тяжести совпадает с центром симметрии. Докажем первую из этих теорем. Пусть твердое тело имеет

плоскость симметрии (рис. 53), которую мы примем за пло­ скость xOz. Нам нужно доказать, что центр тяжести этого тела лежит в плоскости xOz, т. е. что ус= 0.

Разобьем твердое тело на бесконечно большое число бесконечно малых элементов, сплошным образом заполняю­ щих его объем. То обстоятельство, что плоскость xOz есть плоскость симметрии, означает, что каждому бесконечно

87

малому элементу с объемом Дои,- тю одну сторону плоскости, положение которого можем определить координатами Xj, у,, zjt будет соответствовать равный ему элемент объема Aдо3по другую сторону плоскости симметрии; прямая, соединяющая эти элементы, MjM/, будет перпендикулярна плоскости сим­ метрии и в точке пересечения с нею будет делиться пополам. Последнее означает, что координаты элемента будут

X}, ~Уь zi-

Обратимся к формуле, определяющей ординату ус центра тяжести. Известно, что для однородного объемного тела

Воспользовавшись определением тройного интеграла, это выражение запишем теперь так

но из только что . сказанного следует, что п всегда четное число, а каждому положительному слагаемому у,Ащ обяза­ тельно будет соответствовать такое же по величине, но отри­ цательное слагаемое —yj&Wj,^ Поэтому

чго и требовалось доказать.

Две другие теоремы доказываются аналогично.

В качестве примера применения метода симметрии уста­ новим формулу для определения положения центра тяжести однородного тела вращения. На рис. 54 изображено одно­ родное тело вращения высотой Н, осью симметрии которого

является ось Ох. Тело ограничено плоскостями, перпендику­ лярными оси симметрии. Плоскость yOz совпадает с пло­

скостью нижнего основания тела. Так как ось Ох — ось сим­

Для этого твердое тело разбиваем на бесконечно большое число бесконечно малых элементов сечениями, перпендику­ лярными оси симметрии. Эти элементы сплошным образом заполняют объем данного тела. Выделим один элемент

88

рассматривать его как цилиндр с радиусом основания RXj- Тогда

Окончательно положение центра тяжести однородного тела

вращения, ось симметрии Лторого совпадает с осью Ох, определится координатами

89

Теоремы Паппа — Гульдина *

Теоремы Паппа — Гульдина сформулированы и доказаны

только для однородных тел.

1. Площадь поверхности, полученной вращением не­ которой плоской линии вокруг оси, лежащей в пло­ скости этой линии и ее не пересекающей, равна длине

оси Оу каждый такой элемент будет описывать поверхность усеченного конуса, площадь боковой поверхности которого может быть вычислена по формуле:

ASj = 2nxj ■Alj,

где .су — радиус окружности, равный расстоянию от середины

выделенного элемента до оси Оу. Искомая боковая поверх­ ность тела, образованного линией АВ при ее вращении вокруг

оси Оу, будет:

90