Файл: Васильев, С. П. Приближенные методы расчета сооружений на устойчивость и динамику с применением ЭВМ Наири (учебное пособие).pdf

I ^'тах(Л +I) Диах Ц<) | ^

можно оценивать лишь сравнением предыдущего / тах(/!) и по­

на 0,75%.

Для матриц более высокого порядка применяется реали­ зуемый на ЭВМ степенной метод итераций [4, 6.1. Одновре­ менно с вычислением Хшах находится соответствующий этому значению собственного числа собственный столбец V, который сдовлетворяет равенству

A V = k max V.

Сущность степенного' метода итераций заключается в сле­ дующем. В качестве первого приближения выбирается произ­ вольный столбец 1/(0) , например,

9

Умножив этот столбец слева на матрицу А, получим

Приведем последнюю матрицу к виду

1 ®2 ■^2(1)

=Vi

vn vn(\)

Вынесенный за знак матрицы общий множитель щ, есть пер­

Полученный в правой части столбец, подставляем в левую

пор, пока два последних приближения совпадут с достаточной

10

точностью. Величина /,тах в последнем приближении и соот­ ветствующий столбец принимаются за искомые величины.

Пример. Найти Хтах для ранее рассмотренной матрицы

1

3

Принимаем

чением.

Программа вычисления максимального собственного чис­ ла и соответствующего столбца степенным методом для ЭВМ «Наири» приведена в Приложении.

11

II.РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

ИДИНАМИКУ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА «МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ»

Как известно, расчет на устойчивость заключается в опре­ делении критической силы или критического параметра (в слу­ чае действия на конструкцию нескольких сил). Критическая сила определяется как наименьшая сжимающая сила, при ко­ торой наряду с прямолинейной имеется и смежная криволи­ нейная форма равновесия. Расчет сводится к исследованию дифференциального уравнения с соответствующими гранич­ ными условиями. Эта методика решения задач устойчивости становится трудоемкой при расчете стержней переменного се­ чения и при наличии сложной сжимающей нагрузки. К тому же, эта методика сводится к методу попыток при решении трансцендентных уравнений или раскрытию определителей и неэффективна при использовании ЭВМ.

Для применения ЭВМ при решении задач устойчивости удобными являются прямые методы строительной механики, позволяющие получить решение задач без исследования диф­ ференциальных и интегральных уравнений. Это позволяет за­ писать метод расчета в матричной форме, что упрощает со­ ставление программы для ЭВМ и позволяет достаточно уни­ версально формировать исходные матрицы.

Рассмотрим один из методов решения задач устойчиво­ сти— метод малых возмущений, предложенный А. Ф. Смир­ новым 12].

§ 3. Устойчивость статически определимых стержней

Для рассмотрения сущности этой методики остановимся на простейшем примере: исследуем устойчивость стержня посто­ янного сечения с одной сжимающей силой (рис. 1,а). Допус­ тим, что сила Р достигла критического значения, то есть она может удержать стержень в изогнутом положении в. равнове­ сии (рис. 1,6). Охарактеризуем указанную форму равновесия двумя ординатами Ai и Д2, показывающими отклонение этих сечений от прямолинейной формы. Эти малые отклонения ино­ гда называются возмущениями. Очевидно, что в сечениях про­ гнутого стержня возникнут изгибающие моменты, - эпюра ко­ торых показана па рис. 1,е. Аналитическое выражение для кривой, ограничивающей данную эпюру, -неизвестно, однако известно, что эпюра Мр выражается гладкими функциями, ко-

12

юрые можно проинтерполнровать любыми известными функ­ циями. Проинтергюлируем эпюру Л1Р ломаными линиями, со­ впадающими с Мр в сечениях 0, 1,2, 3.

Определим опорные реакции для стержня в искривленном положении, выразив их через избранные перемещения Ai и Д2. Подсчитываем величины изгибающих моментов в указанных сечениях через эти перемещения (правило знаков обычное — Л1>0, если вертикальный стержень искривлен выпуклостью вправо, а горизонтальный — вниз)

Мп= 0;

Л12 —Р Аг!

М л= 0 .

Таким образом, получена матрица преобразования пере­ мещений А в моменты М р . Эта матрица имеет вид

13

В этой матрице число строк равно числу сечений, а число столбцов — числу перемещений, характеризующих форму рав­ новесия.

Обозначив

В свою очередь перемещения сечений 1 и 3 стержня можно определить по известной формуле перемещений, записанной в

равновесие устойчивое (этот случай нас не интересует);

определению собственных чисел матрицы C=L'BA. Но в боль­ шинстве задач требуется определить наименьшую критиче­

Заметим, что неопределенность ординат А,- (г= 1,2, ..., п) остается не раскрытой до конца решения и для отыскания критической силы или параметра нет необходимости опреде-

14