Файл: Васильев, С. П. Приближенные методы расчета сооружений на устойчивость и динамику с применением ЭВМ Наири (учебное пособие).pdf

в.

\_

go

l_

2

1

6

4gi

6

6

1

2

g*

Делая сдвижку по диагонали,

ввиду

непрерывности эпюры

б сечении 2, имеем

2

8

4

Г

1

2

Запишем выражение

в сечениях

0,

1, 2, 3

через

реакции

(рис. 3, в ) .

М„ = 0

Mi=Ai

М% —Д2

Af3=0.

Тогда матрица А примет вид

0

0

1

0

0

1

0

0

Для формирования матрицы L

построим

эпюры М { и М2

(рис. 3, е)

от единичных сил, приложенных

по направлению

перемещений Ai и Д2Тогда.

0

0

0,5

0,5

0,5

1

0

0

Проделав операции над матрицами L, В и А по программе,

приведенной-в Приложении, получим

^тах '

6,83 ,

v =

1

1,41

6£ /„

ЕТ„

■' к р ы п ' п )

/2)

0,878 2 -

1

1 ЛП1ЯХ

I

ходные

матрицы

для

статически

определи­

и)

мой системы. Хотя при

этом

увеличивается

объем вычислений,

но

эта трудность устраня­

ется при помощи ЭВМ.

Рассмотрим

сущ­

ность этой методики на

простейшем

примере

(рис. 4,а). Деформиро­

ванная

ось

стержня в

г)

момент

потери

устой­

чивости

показана

на

рис. 4, б.

В этом случае

эпю­

ра изгибающих

момен­

тов примет

вид,

пред­

ставленный на рис. 4, г.

зп

Ординаты этой

эпюры

неизвестны,

однако ее

Рис. 4

можно представить как сумму двух эпюр

(рис.

4, д), возни­

кающих в основной системе (рис.,4, в ) :

М = М / + М р°.

(а)

Будем полагать, что равенства (а) записаны для ряда, на­

меченных сечений. Тогда можно говорить,

что

в

этом ра­

венстве:

уИу1— матрица изгибающих моментов

в основной системе

от неизвестных метода сил (изгибающие

моменты

вычисляются в недеформированном состоянии);

Мр° — матрица изгибающих моментов,

вычисляемая в ос­

или

M = \\LxAq\\

[ .

(б)

bx = L x'B M = 0 .

(в)

^ . ^ ^ \ \ L / B H \ L X A 0\\

(г)

А

РЕ \\l i b \v \\l xa q\\

X

(д)

EI

д

’

0

Я / 2

I

W

B \ \ L X A 0\\

X

д

EI

Ц

( с )

1

Введем обозначения:

я /2

1

\\LxAq\\— А

Е/ ~

х

’

и

L'BA = C.

(ж)

Л

с

X

Г !

±

Л !

(С—/. Е°)

X

= 0

(14)

А

где

0

01—вырожденная (не имеющая

0

Е

обратной) единичная матрица.

неоп­

Таким образом, задача'об устойчивости статически

ределимой конструкции свелась к решению

уравнения (14).

Заметим, что в нем не только матрица Е,

но и матрица С мо­

жет быть вырожденной, а поэтому

при его решении

нельзя

ограничиться отысканием .наибольшего

собственного

числа

1-шах

для матрицы С. Программа

решения

таких уравнений

приведена в Приложении.

Итак, для решения задачи об устойчивости статически не­

определимой конструкции необходимо сформировать

матри­

цы

L x, Lj, В, А, пользуясь выражением

(ж), получить мат­

рицу С и решить матричное уравнение (14).

Если в конструкции имеются

упругоподатливые опоры, го

тайную конструкцию можно рассматривать

как комбиниро­

ванную. В ней элементами, работающими только

на

осевую

нагрузку, будут эти опоры, причем

их податливость

можно.

Охарактеризовать коэффициентом

податливости

К. Тогда в

матрицы L,

В и А необходимо добавить

элементы с индек­

сом N [7]

7м„ х A m, i

L М, х L А ’, х

в =

Вм

=

L ' m, i

,

, Д

7д -, лг A x t«

h\i

Вх

же примерный вид эпюры

в заданной

статически неопре­

делимой раме приведен на рис. 5, б,

в. Основная система после

приведения рамы к безразмерному виду

(за характерные ве­

личины приняты Р, I и EI)

показана на рис. 5, г. Форма поте­

ри устойчивости и предполагаемая

эпюра Мрп для основной

системы показана на рис. 5, д.

В =

Я,

В и

В т

В ,

go

2

1

4

В и в п[ —

2

g 2

1