Файл: Решение систем линейных уравнений 7 Система линейных уравнений 7 Матричное представление системы линейных уравнений 8.docx

Оглавление

Введение

Прикладные программы предназначены для того, чтобы обеспечить применение вычислительной техники в различных сферах деятельности человека. Поэтому этот класс программ представляет наибольший интерес для массового пользователя компьютеров.

Из-за огромного разнообразия прикладного ПО существует множество вариантов его классификации. Рассмотрим наиболее общую классификацию прикладных программ. Разделим данное ПО на 2 больших класса:

1. ПС общего назначения. К таким относятся программы, обеспечивающие выполнение наиболее часто используемых, универсальных задач (текстовые редакторы, табличные процессоры, графические редакторы, СУБД и т.д.).

2. ПС профессионального уровня. Программы этого класса ориентируются на достаточно узкую предметную облать, но проникают в нее достаточно глубоко (издательские системы, САПР - системы автоматизированного проектирования, программы 3D-графики, программы видеомонтажа, нотные редакторы, АСУ - автоматизированные системы управления и т.д.).

Целью данной работы является использование функций Excel для решения задач линейной алгебры. Данные задачи будут решаться с помощью программ табличного процессора Excel. Microsoft Excel средство для работы с электронными таблицами, намного превышающее по своим возможностям существующие редакторы таблиц, первая версия данного продукта была разработана фирмой Microsoft в 1985 году.

Табличные процессоры – удобный инструмент для экономистов, бухгалтеров, инженеров, научных работников - всех тех, кому приходится работать с большими массивами числовой информации. Эти программы позволяют создавать таблицы, которые являются динамическими, т. е. содержат так называемые вычисляемые поля, значения которых автоматически пересчитываются по заданным формулам при изменении значений исходных данных, содержащихся в других полях. В дальнейшем ее можно просматривать, изменять, записывать на магнитный диск для хранения, печатать на принтере. Microsoft Excel это программа

---

управления электронных таблицами общего назначения, которая используется для вычислений, организации и анализа деловых данных.

Многие фирмы разработчики программного обеспечения для ПК создали свои версии табличных процессоров. Из них наибольшую известность приобрели Lotus 1-2-3 фирмы Lotus Development, Supercalc фирмы Computer Associates. Excel, как видно из всего сказанного выше очень мощный инструмент для решения задач имеющих дело с массивами разнообразных данных, поэтому область его применения обширна, начиная от бухгалтерских и складских задач и заканчивая расчетами энергетики спутниковых линий.

В Excel удобно решать задачи линейной алгебры, такие как работа с матрицами и др. Так же есть все возможности по полноценной работе сортировка, выборка, сводные таблицы, анализ с базами.

Раздел 1. Обзор литературы

Microsoft Excel это средство для работы с электронными таблицами. Табличные процессоры позволяют создавать динамические таблицы, которые содержат вычисляемые поля (т.е. значения которых автоматически пересчитываются по заданным формулам при изменении значений исходных данных, содержащихся в других полях).

Excel является очень мощным инструментом для решения задач, имеющих дело с массивами разнообразных данных, поэтому область его применения обширна, начиная от бухгалтерских и складских задач и заканчивая расчетами энергетики спутниковых линий. В Excel удобно решать задачи линейной алгебры, такие как работа с матрицами и др. Так же есть все возможности по полноценной работе (сортировка, выборка, сводные таблицы, анализ) с базами данных. Благодаря наличию языка программирования в Excel возможно создание различных пользовательских программ, которые автоматизируют нестандартные задачи.

В учебном пособии «Технология экономических расчетов средствами MS EXCEL» авторов Я.Л. Гобарева, О.Ю. Городецкая и А.В. Золотарюк, отмечаются следующие достоинства и недостатки Microsoft Excel:

• 
  Эффективный анализ и обработка данных;
  
• 
  Богатые средства форматирования и отображения данных;
  
• 
  Наглядная печать;
  
• 
  Совместное использование данных и работа над документами;
  
• 
  Обмен данными и информацией через Internet и внутренние Intranet-сети.
  

Недостатки Microsoft Excel:

• 
  Большие требования к аппаратным и программным средствам.
  

---

Программа Excel имеет две отличительные особенности — эффективные вычислительные возможности и мощные визуальные средства для передачи цифровой информации. Именно такая комбинация открывает Excel особенно широкие перспективы для использования в деловой сфере.

С применением математических методов связаны работы В.В. Леонтьева, Р. Солоу, П. Самуэльсона, Д. Хикса, В.С Немчинова, В.В Новожилова, Л.В. Канторовича и многих других выдающихся ученых. Примерами экономических моделей являются модели фирмы, модели экономического роста, модели потребительского выбора, модели равновесия на финансовых и товарных рынках. Построение экономической модели требует выполнения ряда шагов. Сначала формулируется предмет и цель исследования. Затем экономисты выявляют структурные и функциональные элементы модели, взаимосвязи между ними, существенные факторы, отвечающие цели исследования и отбрасывают то, что несущественно для решения задачи. На заключительном этапе проводятся расчеты по математической модели и анализ полученного решения. При этом могут применяться средства пакетов прикладных программ.

Существует довольно много литературы, как иностранной, так и отечественной, описывающей использование MS Excel в экономических задачах с использованием математических методов программирования.

Книгой — карманным руководством, призванным помочь изучить и освоить средства анализа данных Excel (подбор параметра, таблицы подстановки, сценарии и поиск решения) является труд Пола Корнелла⁴. Существует множество задач, которые быстро и просто решаются средствами анализа данных «что—если» Microsoft Excel, например, проверка различных значений банковского процента по кредиту для того, чтобы найти наиболее приемлемые ежемесячные платежи как для 15-, так и 30-летнего кредитов. К средствам «Что-если»? Что это такое?» относятся средства Excel «Подбор параметра», таблицы подстановок, сценарии и «Поиск решения».

В Excel средство «Подбор параметра» используется для «обратного» решения задачи — вы знаете, какой результат должна возвращать формула, но не знаете, при каком значении «входного» параметра этот результат можно получить.

Таблицы подстановки являются незаменимым средством для просмотра и сравнения результатов вычислений по определенным формулам, выполненных при различных начальных значениях. Простые примеры таблиц подстановки — таблица умножения и таблицы соответствия различных единиц измерения.

---

Сценарии — отличное средство для сохранения (на рабочем листе) множества исходных данных и вычисленных значений. Excel создает сценарии автоматически, и вы можете просмотреть и сравнить различные сценарии вычислений, например, «самый хороший» и «самый плохой» (по результатам) сценарии.

Мощное средство «Поиск решения», как и средство «Подбор параметра», также предназначено для решения «обратных» задач. Однако в отличие от средства «Подбор параметра» здесь нет ограничения на количество изменяемых исходных данных и можно налагать ограничения на переменные решаемой задачи.

Теперь проиллюстрируем возможности анализа экономической информации средствами программы Microsoft Excel на решении конкретной типовой задачи экономического анализа, в частности - анализ безубыточности предприятия.

Фундаментальный труд Джеффри Мура в соавторстве с Лари Уэдерфордом и др. «Экономическое моделирование в Microsoft Excel» выдержал множество изданий. Эта книга посвящена основным принципам моделирования, которые можно применить к широкому спектру различных управленческих задач, решаемых с помощью Microsoft Excel. В ней подробно рассматриваются определенные классы моделей, используемые в самых разнообразных ситуациях

Раздел 2. Численные методы решение систем линейных уравнений

2.1. Система линейных уравнений

Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно.

Линейные системы двух уравнений с двумя неизвестными. Линейной системой двух уравнений с двумя неизвестными называется система вида
Решением  системы уравнения с двумя  неизвестными x и y называется такая пара (х₀;у₀), которая является решением каждого уравнения системы.

Решить систему уравнений – это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Из школьного курса алгебры нам известно три способа решения уравнений:

– графический;

– метод сложения;

– метод подстановки.

На уроках алгебры отрабатываются навыки решения систем линейных уравнений этими методами. Но часто в повседневной практике можно встретиться с задачами, в которых нужно найти три или более неизвестных. В этом случае нам на помощь приходят численные методы решения систем уравнений. А для быстроты решения системы уравнений с несколькими неизвестными удобнее воспользоваться компьютерной программой.

---

2.2. Матричное представление системы линейных уравнений

Определитель матрицы

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из чисел.
Пусть дана квадратная матрица 2 порядка:

Определителем (или детерминантом) 2 порядка, соответствующим данной матрице, называется число.

Определитель (или детерминант) 3 порядка, соответствующим матрице называется число.

2.3. Решение систем уравнений методом Крамера

Пусть дана система линейных уравнений с двумя неизвестными:

Рассмотрим решение систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными по формулам Крамера.

Теорема 1. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное.

Теорема 2. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное.

2.4. Решение систем уравнений методом Гаусса

Наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных.

Метод последовательного исключения неизвестных Гаусса является одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения линейных систем. Этот метод известен в различных вариантах уже более 2000 лет. Он относится к числу прямых методов.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. На первом этапе система приводится к треугольному виду; на втором (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из указанной треугольной системы.

Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую систему, равносильную данной.

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

В школьной практике, как правило, встречаются системы с двумя и тремя неизвестными, хотя, разумеется, бывают и исключения.

Средства MS Excel оказываются полезны и для решения задач линейной алгебры, прежде всего для операций с матрицами и для решения систем линейных уравнений.

---