Файл: Решение систем линейных уравнений 7 Система линейных уравнений 7 Матричное представление системы линейных уравнений 8.docx

Значительная часть математических моделей различных объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной матричной форме. В частности, при решении линейных уравнений мы имеем дело с матрицами и арифметическими действиями с ними.

Операции над матрицами. Сложение и вычитание матриц

Складывать (вычитать) можно матрицы одного размера. Суммой матриц А = (a_i,j) и B = (b _i,j) размера n х n называется матрица С = А+В, элементы которой c_i,j= ai,j + bi,j

В MS Excel для выполнения операций суммирования и вычитания матриц

Многие прикладные задачи в технике, экономике и других областям сводятся к решению систем линейных уравнений, поэтому особенно важно уметь их решать.
Пусть дана линейная система n уравнений с n неизвестными, где a_ij(„(i =

1,2....,n ;j = 1.2.....

п) – коэффициенты при переменных и bi - свободные члены

уравнений.

a x + a x

2

+ ... + a

x

n

= b

11 1

12

1n

1

a21 x1 + a22 x2

+ ... + a2n xn =b2

(2.1)

.............................................

a

x + a

n2

x

2

+ ... + a

nn

x

n

= bn

n1 1

---

Решением системы (1) называется такая совокупность п чисел (x₁, x₂,. . . ,x_n ), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Две системы уравнений являются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Система, равносильная данной может быть получена с помощью элементарных преобразований системы (1). Систему (1) можно также записать в виде матричного уравнения:

А·х=b

(2.2)

где А - матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы; x — вектор – столбец неизвестных:
b — вектор – столбец свободных членов:
Предполагая использование MS Excel для проведения вычислений, рассмотрим решение системы (1) в общем виде (метод обратной матрицы), Будем считать, что квадратная матрица системы (А) является невырожденной, то есть ее определитель отличен от 0. В этом случае существует обратная матрица А^-1. Умножая слева обе части матричного равенства (3.2) на обратную матрицу А^-1, получим:
А^-1·А·х = А^-1· b, Е·х = А^-1· b т.к. Е·х = х,
решением системы (3.2) методом обратной матрицы будет столбец:

х = А-1 b

(2.3)

Раздел 3. Анализ примеров российского и зарубежного опыта

Тема “Решение математических задач средствами EXCEL”, является значимой в курсе “Информатика и информационные технологии”, которая возникает на различных этапах изучения предмета. Например, вычисления алгебраических выражений, решения квадратных уравнений в различных средах, построение графиков функций и т.д.

На протяжении почти всего курса математики учащиеся изучают различные методы решения уравнений и систем уравнений. Когда школьники изучат методы решения систем уравнений на уроках алгебры, на уроках информатики целесообразно рассмотреть дополнительные, более эффективные, по времени, инструменты для выполнения таких заданий. Данная тема не является сложной для учащихся, но очень трудоемкая для учителя, необходимо делать много записей на доске, фактически учитель весь урок стоит спиной к учащимся. Для оптимизации и эффективности учебной деятельности учителя на уроке была создана презентация, которая может применяться на любом этапе прохождения темы фрагментарно или полностью учителями математики, а особенно полезна учителям информатики из-за ограниченного количества часов по предмету.

---

Данный урок можно отнести к интегрированным урокам, построенным на деятельной основе с применением проблемно-исследовательской технологии. Ценность урока заключается в том, что ученики решают стандартные математические задачи нестандартным способом – применяя современные компьютерные технологии. Этим достигается мотивационная цель – побуждение интереса, показ необходимости знаний по математике и информатики в реальной жизни. На уроке ученики покажут владение компьютером, умение работать с пакетом программ Microsoft Office, знания, умения и навыки, полученные на уроках математики. В результате будет достигнута образовательная цель урока: по математики обобщение знаний по темам: “Матрицы. Действия с матрицами. Решение систем линейных уравнений методом Крамера, Гаусса”, по информатике у учащихся формируется навык работы с табличными формулами, познакомятся с возможностями Excel для решения различных уравнений и систем уравнений.

Многие задачи практики приводят к необходимости решать системы линейных уравнений. К таким задачам можно отнести, например, конструирование инженерных сооружений, обработку результатов измерений, решение задач планирования производственного процесса и ряд других задач техники, экономики и научного эксперимента.

Решение уравнений - одна из древнейших математических проблем. Не счесть приложений математики, в которых решение систем уравнений является необходимым элементом решения задачи.

Проблема численного решения линейных уравнений интересует математиков уже несколько столетий. Первые математические результаты появились в XVIII веке. В 1750 году Г. Крамер опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы, известный, как правило, Крамера. Гаусс в 1809 году опубликовал работу, посвященную движению небесных тел, в которой был изложен метод для решения линейных систем, известный как метод исключения.

В 40-х годах XX века с появлением компьютеров сильно возрос интерес к численным методам. Тогда же началось активное исследование существующих методов для их реализации на ЭВМ и стали предприниматься активные попытки для увеличения их точности.

Вплоть до 80-х годов решение вычислительных задач было ограничено ресурсами ЭВМ

---

, поэтому особое значение придавалось экономичности алгоритмов. В настоящее время ограничения по оперативной памяти и быстродействию ЭВМ потеряли актуальность в связи с появлением относительно дешевых мини- и суперкомпьютеров.

Существует множество классов уравнений и систем уравнений, которые решаются аналитически – выводом соответствующих формул. Тем не менее, подавляющее большинство уравнений, встречающихся в приложениях, не могут быть решены таким способом.

Численные методы решения уравнений являются гораздо более мощными, нежели аналитические. Они тоже не всемогущи, но в умелых руках численные методы позволяют получать решения множества уравнений, совершенно недоступных для аналитических методов. При этом надо заметить, что указанная недоступность может быть обусловлена двумя обстоятельствами: недостаточным уровнем математического образования того, кто решает уравнение, и принципиальной невозможностью; в данном случае речь идет и о первом, и, что гораздо важнее, о втором обстоятельствах.

Заключение

Среда MS Excel представляет собой набор инструментов для обработки данных, как правило, числовых. Ядром данной прикладной программы являются функции MS Excel (финансовые, математические, статистические, баз данных и т.д.), предназначение которых ясно из названий. В этом параграфе мы применим средства Excel для выполнения действий над матрицами, что, надеемся, облегчит студентам выполнение домашних заданий.

Итак, в Excel существуют следующие функции действий над матрицами:

МУМНОЖ – возвращает произведение матриц (матрицы хранятся в массивах). Результатом является массив с таким же числом строк, как массив 1 и с таким же числом столбцов, как массив 2.

МОПРЕД – возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).

ТРАНСП – транспонирование матрицы.

МОБР – возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.

Для простейших действий над матрицам, такими как:

· сложение/вычитание двух матриц;

· умножение матрицы на число;

использование встроенных функций MS Excel не требуется. Для выполнения арифметических действий, но не над числами, а над массивами чисел (матрицами) достаточно составить необходимую формулу для одного из элементов, а затем скопировать ее для всех остальных. За счет индексации (адреса) каждой ячейки листа MS Excel будет получен корректный результат.

---

Решить задачи линейного программирования в Excel достаточно просто: 1) внести исходные данные задачи и ограничения, 2) запустить надстройку Поиск решения, 3) установить нужные параметры решения и запустить выполнение. Программа подберет оптимальное решение, выдаст отчеты для анализа решения задачи.

Список использованных источников

1. 
   Гайдамак И.В. Линейная алгебра: учеб.-метод. пособие для студентов очной и заочной форм обучения напр. 080100.62 "Экономика"/ И. В. Гайдамак. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2012. – 64 с.
   
2. 
   Шипачев В.С. Высшая математика: учебное пособие для бакалавров/ В.С. Шипачев; ред. А.Н. Тихонов. - 8-е изд. – Москва: Юрайт, 2013. – 447 с.
   
3. 
   Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч./ П. Е. Данко [и др.]. - 7-е изд., испр. - Москва: Оникс: Мир и образование Ч. 1 и 2. – 2008.
   
4. 
   Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов/ В. П. Минорский. - 15-е изд.. - Москва: Физматлит, 2005. - 336 с.
   
5. 
   Сборник задач по высшей математике для экономистов : аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, математическая статистика, линейное программирование: учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по напр. "Экономика" и эконом. спец./ Рос. эконом. академия им. Г. В. Плеханова; ред. В. И. Ермаков. - 2-е изд., испр.. - Москва: ИНФРА-М, 2008. – 575 с.
   
6. 
   Шипачев В.С.. Задачник по высшей математике: учебное пособие для студентов вузов/ В. С. Шипачев. - 9-е изд. – Москва: Высшая школа, 2009. – 304 с.
   

Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:

1. 
   http://www.excelworld.ru/publ/hacks/tools/solver/27-1-0-122
   
2. 
   http://www.uchportal.ru/publ/23-1-0-1832
   
3. 
   http://math.immf.ru/lections/003.html
   

---