Файл: Математическое моделирование нелинейных динамических систем Петров Лев Федорович.pdf

Математическое моделирование нелинейных
динамических систем
Петров Лев Федорович
(
Petrov.LF@rea.ru
, lfp@mail.ru)
1.1. Динамические системы.
Динамическая система – это объект или процесс, который характеризуется своим состоянием как совокупностью характеристик в некоторые моменты времени, и определен закон эволюции состояния динамической системы во времени. Примеры динамических систем можно найти в физике, биологии, химии, информатике, экономике, социуме. Закон эволюции состояния динамической системы во времени может быть задан например, системой дифференциальных уравнений.
Математическое моделирование нелинейных динамических систем является междисциплинарным инструментом исследования разнообразных процессов в природе и обществе. При этом реализуется единый методологический подход, позволяющий на основе объективных законов анализировать движение разнообразных динамических систем различного уровня сложности – от механических до социальных.
Первоначально основные математические модели динамических систем были разработаны для технических и естественнонаучных приложений.
Впоследствии выяснилось, что аналогичные эффекты, закономерности поведения присущи и другим системам – метеорологическим, экономическим, финансовым, социальным. Сложные хозяйственные системы охватывают практически все перечисленные направления. Например, энергетика включает в себя технические аспекты динамического поведения аппаратов, систем передачи энергии, взаимосвязь с метеорологической обстановкой, охватывает большой круг экономических и финансовых

проблем, которые при неудачном решении могут спровоцировать потерю устойчивости в социальной среде.
Основная проблема при математическом моделировании динамической системы состоит в разработке модели, адекватной реальным процессам с приемлемой погрешностью.
Первые результаты исследований динамических систем были получены при анализе моделей естественно-научных дисциплин – механики, биологии, метеорологии, физики. Для простых механических систем существуют обозримые модели на основе нелинейных дифференциальных уравнений, которые полностью отражают динамику процесса с учетом сложных нелинейных эффектов. Нетрадиционные результаты, получаемые в таких моделях (нелинейные эффекты при колебаниях, зависимость амплитуды от частоты, потеря динамической устойчивости, бифуркации решений, переход к хаосу, странный аттрактор) полностью повторяются в натурных экспериментах. Отметим, что система дифференциальных уравнений, являющаяся основой модели, может быть весьма компактной.
Упомянутые выше нетривиальные результаты получены численно, и именно численные эксперименты в последнее время являются основным инструментом, позволяющим продолжить исследования и развить результаты, получаемые с помощью качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений.
Важным аспектом при построении моделей динамических систем является определение зависимостей и коэффициентов в уравнениях, используемых при построении модели. При анализе простейших задач механики вид уравнений полностью определяется постановкой задачи и заданным уровнем точности модели. Для более сложных динамических систем определение коэффициентов и зависимостей в модели является нетривиальной задачей. Итак, принципиальное отличие динамических моделей механики и более сложных областей (экономики, социума): в механике вид функциональных зависимостей и величина коэффициентов

полностью определяются постановкой задачи, в сложных системах необходимы дополнительные исследования для определения этих параметров. Вот эта часть моделирования нелинейных динамических систем является наименее исследованным разделом. Именно из-за нерешенности проблем определения функциональных зависимостей и коэффициентов уравнений математический аппарат системной динамики, применяемый в естественнонаучных приложениях, гораздо сложнее использовать для количественного анализа динамики социально-экономических систем.
Математическое моделирование нелинейных динамических систем является обобщающим междисциплинарным подходом. Общность эффектов, наблюдаемых в реальных технических, физических, химических, биологических, социально-экономических системах (циклическое развитие, кризисы как потеря устойчивости, хаос, бифуркации, зарождение и развитие новых состояний) и рассматриваемых классах моделей позволяет рассчитывать на разработку моделей для исследования динамических процессов в социально-экономических системах. Эта общность имеет всеобъемлющий характер. Так, наблюдаемые циклы экономического развития ассоциируются с автоколебаниями, то есть периодическими процессами в технических приложениях, источник энергии которых не имеет циклического характера. Регулярные воздействия на хозяйственный механизм с периодом один год (осенний сбор урожая, ежегодная дефляция в августе-сентябре, повышенные затраты на отопление в зимний сезон и т.п.) аналогичен периодическим воздействиям на динамическую систему при вынужденных колебаниях. Кроме естественного периода в один год в экономической системе присутствуют другие периодические воздействия – период уплаты налогов, когда повышается потребность банков в рублевых высоколиквидных активах, цикл политической активности, связанный с выборами, влияющий на хозяйственно-инвестиционный климат. Такого рода воздействия на социально-экономическую систему с различными периодами аналогичны воздействию на динамическую систему полигармонических

возмущений. Можно проводить аналогии между экономическим кризисом и потерей динамической устойчивости и переходом к хаосу в динамической системе. При дальнейшем изменении параметра происходит переход от хаоса к упорядоченному движению - выход из кризиса.
Отметим определяющую роль учета при моделировании нелинейных свойств объекта. В существенно нелинейных моделях, наряду с привычными циклическими колебаниями, обнаруживаются сложные полигармонические устойчивые и неустойчивые режимы, бифуркации, странный аттрактор – те режимы, которые принципиально не могут быть исследованы в рамках линейного и квазилинейного подхода, но которые получены при анализе существенно нелинейных моделей, устойчиво повторяются в численных и натурных экспериментах. Обобщая эти результаты, можно считать, что хаос является естественной динамической формой эволюции сложной системы и часто встречается (возможно, как переходный режим) в простых динамических системах. Хаос в социально-экономических системах, биологических сообществах можно трактовать как естественную форму проявления конкуренции. Искусственное устранение хаоса (в механике – за счет большой диссипации энергии, в экономике – за счет чрезмерной зарегулированности, плановости, высокого налогообложения, в социуме – за счет законодательных ограничений и самоограничений, связанных с ментальностью) ведет к устранению сложных динамических режимов и переходу к простым решениям, деградации системы. В механике это обычные простейшие периодические колебания, в экономике – ситуация стагнации и застоя, отсутствие инициативы.
Именно при переходе от хаоса к упорядоченным движениям либо после потери устойчивости предыдущего режима зарождаются новые устойчивые нетривиальные решения в механике, наиболее перспективные и прибыльные направления в экономике, яркие проявления инициативы в социуме. Для анализа таких эффектов в социально-экономических системах необходима разработка адекватных моделей, способных отразить обсуждаемые эффекты.

На современном этапе развития системно-динамического моделирования стал реализовываться конструктивный подход к построению соответствующих математических моделей. Основным аппаратом исследования становятся численные методы. При их использовании принципиально неважен конкретный вид функциональных зависимостей и величина коэффициентов (в этом случае они также могут быть известными функциями каких-то переменных). И зависимости, и коэффициенты принципиально могут определяться по исходным данным о поведении системы. Естественным образом отпадает вопрос о виде зависимости – она принимается такая, какая определяется по реальным данным. Если она близка к квадратичной, кубичной или какой-либо другой общепринятой зависимости – задача упрощается. Если же реальные зависимости не могут быть с приемлемой погрешностью аппроксимированы стандартными функциями – то в качестве промежуточного вспомогательного средства на этом этапе могут быть использованы сплайны. С точки зрения численной реализации это явится незначительным усложнением алгоритма.
Такой подход представляется наиболее перспективным для применения методов моделирования, развитых при моделировании в естественнонаучных дисциплинах к анализу задач динамики социально-экономических систем.
При анализе простейших механических систем в случае использования существенно нелинейных моделей получены нетривиальные результаты, связанные с возможностью хаотического поведения решений детерминированной системы и многочисленные нелинейные эффекты. И эти результаты моделирования получили количественное подтверждение в натурных экспериментах.
Принципиально новые эффекты, открытые в последние годы при решении существенно нелинейных задач теории колебаний, синергетики, теории катастроф значительно дополнили основополагающие представления о поведении нелинейных систем. Возможность хаотического поведения решений полностью детерминированных систем, неединственность решений,

бифуркации на границе «упорядоченное движение-хаос», открытие универсальной постоянной Фейгенбаума, сложный характер решений и их разнообразная эволюция при изменении параметров в относительно простых нелинейных системах – далеко не полный перечень этих нетривиальных результатов.
В сложных динамических системах, в том числе экономических и социальных, присутствуют подобные процессы и явления - циклический характер развития с наблюдаемыми периодами ассоциируется с автоколебаниями; регулярные периодические воздействия на хозяйственный механизм (созревание урожая, отопительный сезон и т.п.) аналогичен периодическим воздействиям на динамическую систему при вынужденных колебаниях; экономический кризис некоторыми исследователями рассматривается как частный случай потери устойчивости и хаоса в динамической системе; выход из кризиса можно рассматривать как переход системы от хаоса к упорядоченному движению, имеют место и другие аналогии.
Подчеркнем общность этих эффектов, наблюдаемых как в простейших системах, так и в сложнейших, вплоть до социально-экономических. Если для простейших систем можно составить нелинейные модели, количественно отражающие наблюдаемые нетривиальные явления, то для сложных систем (экономических социально-экономических) основная трудность заключается в построении адекватной модели и определении ее параметров.
1.2. Классификации динамических систем.
Рассмотрим различные виды динамических систем и соответствующих им математических моделей на основе математического аппарата теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Существуют различные классификации процессов в динамических системах. Рассмотрим один из возможных вариантов.
Детерминированными называют модели, в которых все переменные детерминированы; функции являются детерминированными функциями своих аргументов. Естественно ожидать, что решения в таких моделях будут детерминированными функциями. Во многих случаях это так, но решения некоторых существенно нелинейных систем в определенных условиях ведут себя как случайные функции.
Стохастическими называют модели, в которых внешние воздействия или параметры системы являются случайными функциями.
Динамические модели по числу переменных, включаемых в динамический процесс, разделяются на системы с одной степенью свободы, системы с несколькими степенями свободы и системы с бесконечным числом степеней свободы (континуальные).
Одна из возможных классификаций моделей приведена ниже.

Рассмотрим подробнее основные разновидности динамических систем.
Автономные и неавтономные системы. Линейные и нелинейные модели динамических процессов разделяются на автономные и неавтономные. В автономных системах внешние воздействия зависят только от состояния системы, и в дифференциальное уравнение движения время t явным образом не входит. В дифференциальные уравнения движения

неавтономных систем время t входит явно, в них присутствуют функции времени t.
Понятие автономности не совпадает с понятием замкнутости
(изолированности) системы. Последнее соответствует отсутствию внешних воздействий. Автономная система может быть незамкнутой (пример – системы, в которых возникают автоколебания). Замкнутая система может быть неавтономной (при действии парных внешних воздействия, заданных в виде явных функций времени t).
Автономные системы могут быть консервативными и неконсервативными. К неконсервативным системам относятся диссипативные и автоколебательные.
Консервативными системами называются автономные системы, в которых полная энергия (для механических систем) или ее аналог (для других систем) постоянны во времени.
Диссипативными называют автономные системы, в которых присутствуют диссипативные силы (силы сопротивления движению) или их аналоги.
Неавтономные системы характеризуются тем, что в них присутствуют слагаемые, явным образом зависящие от времени t. Обычно эти слагаемые соответствуют внешним воздействиям.
1.3. Линейные и нелинейные модели динамических систем.
Первые математические модели динамических систем базировались на основе линейных дифференциальных уравнений. Линейные модели позволили получить первые принципиальные результаты (эффекты резонанса при вынужденных колебаниях, взаимодействия различных мод колебаний в многомерных динамических системах и др.), но эти модели достаточно быстро достигли предела своей применимости. Отмечается принципиальное несоответствие некоторых результатов, получаемых с помощью линейных моделей, результатам натурных экспериментов даже для

простейших механических и электромеханических систем (например, возможность существования неограниченно возрастающих решений в математической модели).
Следующим этапом развития динамического моделирования можно считать учет нелинейных зависимостей в математической модели.
Первоначально нелинейные слагаемые принимались как малые величины по сравнению с линейными составляющими моделей. Такие системы получили название квазилинейных, и для их анализа были развиты асимптотические методы. Результаты, полученные с помощью асимптотических методов, позволили обнаружить много новых по сравнению с линейными моделями эффектов. Среди этих результатов можно выделить возможность существования нескольких устойчивых и неустойчивых динамических режимов при одинаковых параметрах динамической системы и внешнего возмущения, неизохронность собственных колебаний, то есть зависимость частоты собственных колебаний от их амплитуды, существование субгармонических и ультрагармонических решений, бифуркации решений, существование устойчивых автоколебаний с ограниченной амплитудой, эффекты синхронизации и захватывания в динамических системах.
Впоследствии, с развитием вычислительной техники, стало возможным строить существенно нелинейные динамические модели.
Рассмотрим классификацию моделей динамики по степени нелинейности.
Модель считается нелинейной, если хотя бы одна из участвующих в модели функций является нелинейной функцией любого своего аргумента. Вид нелинейных слагаемых в уравнениях, входящих в простейшие модели естественнонаучных дисциплин, определяется постановкой задачи.
Например, уравнение вынужденных колебаний математического маятника около нижнего положения равновесия имеет вид:
,
)
(
)
)
(
(
))
(
sin(
2 0
2
)
(
2
),
(
t
W
dt
t
dx
D
t
x
dt
t
x
d
t
x
=
+
+
ω

x(t) – угол отклонения от положения равновесия, t – время, ω
0
- частота малых собственных колебаний, W(t) - внешнее воздействие, которое считается периодическим с известным периодом T, то есть W(t)=W(t+T),
– слагаемое, отражающее диссипацию энергии. Это уравнение является существенно нелинейным, так как неизвестная функция x(t) входит в него как аргумент функции sin(x(t)). Оно может использоваться для анализа с высокой точностью колебаний с любыми амплитудами – малыми, средней величины, с большой амплитудой, вращение вокруг оси. По отношению к углу отклонения от положения равновесия x(t) эта модель весьма точна, и все отброшенные факторы видны при постановке задачи. Например, если исследователь считает необходимым, можно учесть зависимость ускорения свободного падения от координаты x(t), при этом получим, что параметр модели ω
0 будет не константой, а станет зависеть от искомой функции x(t), но принципиального усложнения модели не произойдет. Естественно, это утрированный пример построения модели такого уровня точности, который не нужен в подавляющем большинстве приложений. А применительно к моделям социально-экономических процессов такой уровень уточнения вряд ли возможен из-за сложности исходной системы.
Диссипация энергии в рассматриваемой модели записана в общем виде, конкретный вид функции может определяться постановкой задачи так же, как постановкой задачи определен вид нелинейной функции sin(x(t
)). Обычно функция принимается в виде
, где, как правило, параметр b считается постоянным и называется коэффициентом диссипации. Такой вид учета диссипации является традиционным, так как в линейной модели именно при таком виде зависимости можно получить аналитическое решение.
Периодическое внешнее воздействия W(t) часто задается в виде Wsin (ωt)
(ω – частота воздействия, период T=2π/ω). Заметим, что мы рассматриваем
)
)
(
(
),
(
dt
t
dx
D
t
x
)
)
(
(
),
(
dt
t
dx
D
t
x
)
)
(
(
),
(
dt
t
dx
D
t
x
dt
t
dx
b
dt
t
dx
D
t
x
)
(
)
)
(
(
),
(
=