Файл: Математическое моделирование нелинейных динамических систем Петров Лев Федорович.pdf

«перемеши¬ванию», т. е. к беспорядку, также характерной для материальных форм и нашедшей обоб¬щенное отражение во втором начале термодинамики
. Важной и еще не решенной зада¬чей является изучение общих условий, при которых та или другая из этих полярных тенденций является преобладающей.
3.6. Детерминированный хаос. Странный аттрактор.
Важным результатом исследований последних лет явилось обнаружение принципиально новых видов движений в динамических системах. Таким движениям в фазовом пространстве размерности три и более соответствуют сложным образом устроенные притягивающие множества. Фазовые траектории представляются здесь в виде бесконечной нигде не пересекающейся линии, причем при t →∞ траектория не покидает замкнутой области и не притягивается к известным типам аттракторов. Такие траектории называют устойчивыми по Пуассону.Эти траектории возвращаются со временем в малую окрестность начальной точки. Именно с существованием таких траекторий связывают возможность стохастического поведения детерминированных динамических систем с размерностью фазового пространства ≥ 3.
Этот эффект впервые обнаружил Э. Лоренц в 1963 г. при численном исследовании динамики трехмерной модели тепловой конвекции.
Впоследствии притягивающая область в фазовом пространстве динамической системы, характеризующаяся режимом установившихся непериодических колебаний, была названа странным аттрактором. Этот термин утвердился для обозначения нерегулярных колебаний детерминированных динамических систем.
Движения динамических систем далеко не всегда соответствуют странному аттрактору. Для некоторых нелинейных динамических систем размерности ≥ 3 можно найти значения параметров, при которых реализуется странный аттрактор.

Аттракторы в виде положений равновесия, предельных циклов называют простыми или регулярными. Этим названием подчеркивается, что движения на них соответствуют классическим понятиям об устойчивом по Ляпунову детерминированном поведении динамической системы. Странный аттрактор соответствует сложному нерегулярному (в смысле отсутствия периодичности) динамическому режиму, который во многом сходен с представлениям о стационарных случайных процессах.
Следует пояснить терминологическую особенность. Термин "случайный" здесь имеет вполне определенный смысл. Случайное движение либо непредсказуемо, либо предсказуемо с определенной вероятностью.
Траектории «истинного» случайного движения однозначно не повторяются ни в численном, ни в натурном экспериментах. В случае странного аттрактора имеется строгая предсказуемость в смысле детерминированности модели. Решение задачи Коши, как и для регулярных аттракторов, подчиняется теореме единственности и однозначно повторяется при фиксированных начальных условиях. Поэтому для обозначения сложных ко- лебаний, соответствующих странному аттрактору, используются термины детерминированная стохастичность, детерминированный хаос. Эти процессы отличаются от стохастических в классическом смысле, которые при описании требуют учета флуктуации в исходных динамических уравнениях, либо непосредственно подчиняются уравнениям для плотности распределения вероятностей статистической теории.
Принципиальное различие регулярных и странных аттракторов динами- ческих систем состоит в следующем. Регулярные аттракторы характери- зуются асимптотической устойчивостью и по Ляпунову, и по Пуассону. Для странных аттракторов устойчивость по Пуассону всегда сопровождается неустойчивостью по Ляпунову. Как следствие, это ведет к экспоненциальной расходимости близких траекторий и чувствительности к малым изменениям начальных данных.

Приведем пример простой системы, в которой был обнаружен странный аттрактор. P.J.Holmes исследовал нелинейное уравнение Дюффинга с отрицательной жесткостью вида и обнаружил в нем странный аттрактор в диапазоне изменения параметра
1<W
<2. Эта модель автором рассматривалась применительно к поперечным колебаниям потерявшего устойчивость стержня. Но уравнение Дюффинга имеет гораздо более широкие приложения. Это уравнение соответствует вынужденным колебаниям шарика с учетом сопротивления в профиле, определяемом кривой
(константа интегрирования принята нулевой).
Рис. Фазовые траектории для нелинейного уравнения Дюффинга
Фазовый портрет и потенциальные соотношения для этой модели имеют вид, представленный на рисунке. Имеются две особые точки типа центр, одно седло. В системе возможны следующие состояния: вынужденные колебания
t
W
x
dt
dx
x
dt
t
x
d
76 3
cos
100 10
)
(
3 2
2
=
+
+
−
4 0
2 3
25 5
)
100 10
(
)
(
x
x
dx
x
x
x
Ï
x
+
−
=
+
−
=
∫

около центра 1 (устойчивые или неустойчивые – траектория 1); вынужденные колебания около центра 2 (устойчивые или неустойчивые – траектория 2); вынужденные колебания, охватывающие оба центра
(устойчивые или неустойчивые – траектория 3); положение равновесия, соответствующее седловой точке (всегда неустойчивое). Положения равновесия, соответствующие особым точкам типа центр неустойчивы в силу наличия внешнего воздействия. Странный аттрактор в этой системе реализуется при тех значениях параметра W, при которых все перечисленные режимы, которые могут быть устойчивыми, становятся неустойчивыми.
Система «уходит» с каждого из неустойчивых режимов. Так как нет ни одного устойчивого состояния, решение вечно будет «блуждать» между всеми неустойчивыми состояниями. Уйти из зоны притяжения этой области не позволяют потенциальные барьеры по краям.
Учитывая этот пример, странным аттрактором будем считать устойчивое многообразие неустойчивых траекторий.
На границе области существования странного аттрактора и внутри нее могут проявляться другие эффекты, связанные с существенно нелинейным характером системы.
Первый из них – бифуркации удвоения периода по Фейгенбауму . Этот эффект проявляется следующим образом. Начинаем отслеживать поведение системы с тех значений параметров, когда существует хотя бы одно устойчивое T-периодическое решение. При изменении для определенности одного из параметров системы (назовем его p) в сторону существования странного аттрактора при определенном значении этого параметра p=p
1
происходит потеря устойчивости периодического решения, и при этом значении параметра появляется новое устойчивое 2T-периодическое решение с периодом, вдвое большим периода первоначального решения. При дальнейшем изменении параметра p при значении p=p
2
происходит потеря устойчивости 2T-периодического решения и зарождается 4T-периодическое устойчивое решение. Дальнейшее изменение параметра p приводит у

появлению 8T, 16T, 32T…-устойчивых периодических решений при значениях параметра p, соответствующих точкам бифуркации вплоть до перехода в режим странного аттрактора. Важнейшей особенностью перехода к хаосу путем бесконечной серии бифуркаций удвоения периода является универсальность. Выяснилось, что интервал параметра p, внутри которого существует устойчивый цикл периода 2
n
, с ростом n убывает по закону геометрической прогрессии
Постоянная δ называется универсальной постоянной Фейгенбаума.
Учитывая свойства геометрической прогрессии, можно определить значение параметра p, соответствующее циклу бесконечного периода, вместе с которым появляется стохастическое поведение. Для этого надо определить несколько значений параметра p, соответствующих первым бифуркациям удвоения периода. После этого, используя формулу суммы сходящейся геометрической прогрессии с знаменателем 1/δ, можно найти границу области странного аттрактора.
Обнаружено еще одно удивительное явление в поведении рассматриваемой существенно нелинейной системы. В области детерминированного хаоса в диапазоне значений параметра 1.13Представленные ниже рисунки содержат расширение результата Холмса, относящегося к устойчивому периодическому решению кратности 5, и дополнение его серией кривых, показывающих эволюцию этого решения при изменении параметра W.
66920
,
4 1
1
=
=
−
−
+
−
δ
n
n
n
n
p
p
p
p

Рис. Фазовые траектории и один период 5T-периодических устойчивого (при
W
=1.13) и неустойчивого (при W=1.12) решения уравнения Дюффинга с отрицательной жесткостью.

Рис. Фазовые траектории и один период 5T-периодических устойчивых (при
W
=1.19, при W=1.20) и неустойчивого (при W=1.21) решения уравнения
Дюффинга с отрицательной жесткостью.. В трехмерном пространстве
(x,dx/dt,t) приведен один период устойчивого решения при W=1.2.
Следующий рисунок содержит фазовые траектории и зависимость решения от времени для хаотического решения уравнения Дюффинга с отрицательной жесткостью. при W = 1.5.

Рис. Фазовые траектории и хаотическое решение уравнения Дюффинга с отрицательной жесткостью.при W=1.5.

3.7. Нелинейные динамические системы в различных областях
науки.
Простыми динамическими системами мы считаем такие, для которых возможно построение динамической модели, позволяющей с достаточной точностью получить информацию о поведении системы. Примером простой динамической системы является натурная модель (и соответствующая ей математическая модель) вынужденных колебаний шарика в профиле с двумя минимумами потенциальной энергии. Отметим, что в этой простой

динамической системе, кроме обычных вынужденных колебаний, обнаружены и подтверждены сложнейшие эффекты – странный аттрактор, бифуркации удвоения периода, сложные устойчивые полигармонические решения. Математические модели, соответствующие простым системам, как правило, нелинейны.
Сложными динамическими системами мы считаем те, для которых есть качественное, но нет количественного соответствия между поведением реальной системы и результатами математического моделирования.
Примерами сложных систем являются экономические и социальные системы.
Отметим некоторые аналогии в поведении простых и сложных динамических систем.
1) Неустранимые элементы неопределенности поведения системы.
Для простых динамических систем характерны два состояния детерминированное, когда в состоянии системы нет неопределенности, и неопределенное, например, в случае, когда реализуется детерминированный хаос. Например, при колебаниях с детерминированным хаосом невозможно предсказать точную траекторию, но область странного аттрактора ограничена.
Оба эти состояния – детерминированное и неопределенность - для простой системы являются естественными.
Для сложной системы единственным нетупиковым естественным состоянием является состояние неопределенности.
Неопределенность и связанные с ней элементы хаотического поведения являются неотъемлемыми свойствами эволюции сложной системы. Теория экономического риска исходит именно из неустранимости неопределенности из поведения экономической системы. При экономическом развитии из хаотического поведения зарождаются новые направления бизнеса. Часть из них оказываются тупиковыми, но другая часть реализует новые направления

прогресса. Искусственное устранение неопределенности приводит к застою и деградации системы, так как исключается зарождение прогрессивных направлений развития. Эти постулаты применимы ко всем сложным системам, в том числе к экономическим и социальным.
С точки зрения управления сложной системой неустранимая неопределенность означает невозможность детализации и формализации выше определенного уровня. В то же время имеют место попытки установить излишнюю степень детерминированности функционирования.
Например, введение норм времени на написание статей, учебников, монографий. Очевидно, что количественное нормирование таких творческих процессов имеет мало общего с реальными затратами времени.
Естественно, невозможно полностью отказаться от планирования и управления сложной системой, но уровень детализации не может быть чрезмерно подробным. Сложная система начинает отторгать такое влияние чрезмерно детального управления. При этом возможна реализация известного принципа "Строгость … законов смягчается необязательностью их исполнения" (авторство приписывается М.Е.Салтыкову-Щедрину или
П.А. Вяземскому). Возможно возникновение гипертрофированного эффекта
– система начинает отторгать и вполне разумные управляющие воздействия.
Избежать этого возможно только одним способом – все законы управления должны быть четко ограничены по уровню детализации, чтобы не
«тренировать» систему на «аллергическую реакцию» на любое управление.
2) Возможность самоорганизации в динамической системе.
Самоорганизация характерна и для простых, и для сложных систем. В простых системах эффект динамического гасителя, взаимного влияния различных мод колебаний можно трактовать как эффект самоорганизации.
В сложных системах проявлением самоорганизации можно считать появление неформальных лидеров в коллективах, самопроизвольное

зарождение иерархической структуры в отношениях в коллективе, установление формальных и неформальных связей в экономике.
3) Сильная зависимость от начальных условий, из чего следует невозможность прогнозирования на длительный период точного состояния системы (эффект бабочки).
В простых динамических системах всегда есть зависимость поведения решений от начальных условий, но в случае детерминированного хаоса или вблизи точки бифуркации решение сильно зависит от начальных условий – при малом изменении начальных условий возможно существенное изменение поведения системы.
В сложных динамических системах решение всегда сильно зависит от начальных условий. Именно поэтому бессмысленны долгосрочные прогнозы в сложных системах – метеорологии, экономике, социуме.
4) Нечеткая связь между управляющими воздействиями и реакцией системы.
В простых динамических системах есть два варианта реакции системы на управляющие воздействия. Во-первых, система может изменять свое поведение пропорционально управлению. Во-вторых, система может нечетко реагировать на внешние управления – вблизи точек бифуркации и в зоне странного аттрактора.
Сложная система, как правило, имеет нечеткий отклик на управление.
Повышение налогов далеко не всегда приводит к увеличению сбора налогов, запрет на показ каких-то произведений может увеличить интерес к этим произведениям. Известная фраза В.С. Черномырдина «Хотели как лучше, а получилось как всегда» также характеризует нечеткую связь между управлением и реакцией сложной системы.
5) Управляющие воздействия в простых и сложных динамических системах.

В простых динамических системах воздействиями или параметрами, влияющими на поведение системы, можно считать внешнюю силу (или ее аналог), параметрическое воздействие, диссипацию, инерционность (массу или ее аналоги). С помощью изменения этих воздействий или параметров можно кардинально управлять поведением простой нелинейной динамической системы. Например, в задаче о вынужденных колебаниях шарика в профиле с двумя потенциальными ямами увеличение диссипации устраняет проявления хаотического поведения. Такой же результат можно получить за счет увеличения внешней силы
(значительное детерминированное внешнее воздействие оказывает сильное влияние на поведение системы, хаос не реализуется), изменения параметров системы.
Эти результаты получены в численных экспериментах, результаты которых соответствуют поведению реальных систем.
В сложных системах можно провести качественные аналогии управляющих воздействий. Аналогом диссипации в социуме могут служить внешние и внутренние ограничения, цензура и самоцензура, традиции. В экономике аналог диссипации – налоги, особенно прогрессивные, потери, воровство. Аналогом внешней силы в экономике могут быть финансовые вливания, протекционизм. В социуме аналог внешней силы – информационное влияние, мода, финансовые мотивации. Инерционность в социуме – неготовность общества к переменам, иногда традиции.
Инерционность в экономике – неготовность к новым формам бизнеса.
6) Обратим внимание на несколько аналогий в хаотическом поведении сложных системах, похожих на хаос в поведении простой динамической системы – при вынужденных колебаних шарика в профиле с двумя или несколькими потенциальными ямами.
Первая аналогия – выбор между двумя равнозначными альтернативами.
Иногда этот выбор приводит к хаосу и метаниям- аналогу перескока шарика из одной потенциальной ямы в другую. Главный герой фильма «Зимняя