Файл: Математическое моделирование нелинейных динамических систем Петров Лев Федорович.pdf

Учитывая, что для автономной системы период решения Т заранее неизвестен, перейдем к отысканию периодических решений существенно нелинейных динамических систем.
Будем рассматривать систему автономных дифференциальных уравнений вида
)
,...
(
1
n
i
i
x
x
X
dt
dx =
где
)
,...
(
1
n
i
x
x
X
- заданные функции, явным образом не зависящие от времени t,
n
- размерность системы,
n
i
,...,
2
,
1
=
Ставится задача отыскания T- периодического решения автономной системы, в том числе и неизвестного периода T этого решения.
Учтем, что для автономной системы мы можем выбрать начало отсчета времени t таким образом, чтобы выполнялось условие
0
=
n
Y
Тогда для отыскания периодического решения автономной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно использовать тот же подход, что и при отыскании
kT
- периодического решения неавтономной системы. В рассматриваемом варианте постановки задачи искомыми величинами являются период решения T и
)
1
(
−
п
начальное условие
)
,...,
,
(
1 2
1
−
n
Y
Y
Y
. Для определения этих неизвестных величин имеем систему алгебраических уравнений вида:



=
−
=
=
−
0
)
(
1
,...,
2
,
1
,
0
)
(
T
x
n
i
T
x
Y
n
i
i
Как и в предыдущем варианте будем предполагать, что мы можем использовать стандартное математическое обеспечение решения задачи
Коши для системы дифференциальных уравнений на отрезке
]
,
0
[ T
с требуемой точностью. В рассматриваемом варианте постановки задачи численное решение задачи Коши проводится на одном, но заранее неизвестном периоде искомого решения
]
,
0
[ T
Величины
i
Y
являются

искомыми, а
)
(T
x
i
, где
1
,...,
2
,
1
−
=
n
i
, определяются численно при решении задачи Коши на одном периоде T искомого решения. Система алгебраических уравнений для автономной системы, также как и система для неавтономной системы, не распадается на отдельные уравнения. Как и для неавтономных систем, мы не можем записать в явном виде определяемые численно правые части системы алгебраических уравнений, но для реализации предлагаемого алгоритма достаточно возможности вычислять значения правых частей в точке по времени, соответствующей концу искомого периода.
Для отыскания решений системы нелинейных алгебраических уравнений также используется метод Ньютона, реализованный в интерактивной форме.

n
i
x
t
t
t
t
X
t
dt
t
d
j
n
i
n
j
j
i
,...,
2
,
1
,
)
),
(
),...,
(
),
(
(
)
(
)
(
2 1
1
=
∂
∂
=
∑
=
ϕ
ϕ
ϕ
δϕ
δϕ
Она является линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений с
kT
- периодическими коэффициентами, строится аналитически по заданным в исходной системе функциям
)
(t
X
i
и включает известное на этом этапе периодическое решение
)
(t
i
ϕ
)
,...,
2
,
1
(
n
i
=
Согласно теореме Флоке нормированная при
0
=
t
фундаментальная матрица решений системы в вариациях имеет вид:
,
)
(
)
(
t
e
t
t
M
Λ
Φ
=
где
)
(t
Φ
- кусочно-гладкая
kT
- периодическая матрица, причем
E
=
Φ )
0
(
, где
E
- единичная матрица размерности
n
,
Λ
- постоянная матрица. Собственные значения
j
λ
матрицы
Λ
являются характеристическими показателями системы.
По теореме Ляпунова периодическое решение асимптотически устойчиво при
∞
→
t
, если все характеристические показатели
j
λ
системы в вариациях для данного периодического решения имеют отрицательные вещественные части. Учтем тот факт, что характеристические показатели
j
λ
можно выразить через мультипликаторы
j
ρ
- собственные значения матрицы монодромии
)
(kT
M
:
[
]
i
n
i
kT
Ln
kT
j
j
j
j
π
ρ
ρ
ρ
λ
2
)
arg(
|
|
ln
1 1
+
+
=
=
Здесь
i
- мнимая единица.
Отсюда следует:
kT
j
j
/
|
|
ln
)
Re(
ρ
λ
=
и
0
)
Re(
<
j
λ
при
1
|
|
<
j
ρ
,
n
j
,...,
2
,
1
=

Отсюда получаем, что исследуемое периодическое решение будет асимптотически устойчиво, если модули всех его мультипликаторов будут меньше 1.
Рассмотрим устойчивость периодических решений автономной динамической системы вида
)
,...
(
1
n
i
i
x
x
X
dt
dx =
где
)
,...
(
1
n
i
x
x
X
- заданные функции, явным образом не зависящие от времени t,
n
- размерность системы,
n
i
,...,
2
,
1
=
Анализ устойчивости периодических решений автономных динамических систем можно провести на основании теоремы Андронова-Витта: Пусть T- периодическое решение
)
(t
i
ϕ
,
n
i
,...,
2
,
1
=
автономной системы не сводится к тождественной постоянной, то есть
0
≠
i
ϕ
тождественно, причем уравнение в вариациях для этого решения имеют один простой нулевой характеристический показатель, а все остальные характеристические показатели обладают отрицательными действительными частями. Тогда решение
)
(t
i
ϕ
устойчиво в смысле Ляпунова при
∞
→
t
Уравнения в вариациях для автономной динамической системы имеет вид:
n
i
x
t
t
t
X
t
dt
t
d
j
n
i
n
j
j
i
,...,
2
,
1
,
))
(
),...,
(
),
(
(
)
(
)
(
2 1
1
=
∂
∂
=
∑
=
ϕ
ϕ
ϕ
δϕ
δϕ
Если автономная система имеет нетривиальное периодическое решение
)
(t
i
ϕ
,
n
i
,...,
2
,
1
=
, то соответствующая система в вариациях является линейной периодической системой. Для этой системы по крайней мере один из мультипликаторов
1
=
ρ
. Соответственно, по крайней мере один из характеристических показателей системы в вариациях равен нулю.

Таким образом, анализ устойчивости периодических решений автономной системы сводится к аналогичной задаче для неавтономной системы. Кроме того, модуль одного из ее мультипликаторов равен единице.
3.4. Новые нелинейные эффекты в существенно нелинейных
динамических системах.
Нелинейные динамические системы имеют ряд принципиальных особенностей. С одной стороны, учет нелинейности значительно усложняет модель и методы исследования. С другой стороны, и это главное, учет нелинейности позволяет значительно приблизить модель к моделируемому процессу или явлению и избежать принципиальных несоответствий и ограниченности области применения, присущих линейным моделям.
Перечислим наиболее существенные особенности нелинейных динамических систем:
1)
В нелинейных системах принцип суперпозиции не выполняется (в этом главное отличие свойств нелинейных систем от свойств линейных).
Например, результат (отклик) одновременного действия двух внешних воздействий не равен сумме результатов (откликов), вызываемых порознь каждым из этих воздействий. Изменение масштаба воздействия не приводит к пропорциональному изменению масштаба отклика;
2) возможность существования нескольких положений равновесия;
3) неизохронность собственных колебаний, то есть зависимость частоты таких колебаний от амплитуды;
4) возможность существования нескольких устойчивых и неустойчивых динамических режимов при одних и тех же параметрах системы и (или) внешнего воздействия;
5) возникновение супер- и субгармонических колебаний;
6) возможность существования устойчивых автоколебаний с ограниченной амплитудой;
7) возможность мягкого и жесткого самовозбуждения автоколебаний;

8) проявление эффектов захватывания;
9) проявление эффектов синхронизации;
10) взаимодействие различных видов колебаний в нелинейных системах;
11)
Взаимодействие динамических процессов, относящихся к различным подсистемам динамической системы с несколькими степенями свободы;
12) бифуркации решений при изменении параметра системы и (или) внешнего воздействия;
13) зарождение новых решений или переход от неустойчивых состояний к устойчивым, потеря устойчивости при изменении параметров системы и
(или) внешнего воздействия;
14) возможность реализации катастроф – скачкообразных изменений при плавном изменении условий.
15) существование в нелинейных моделях как относительно простых решений, свойственных линейным моделям, так и сложнейших устойчивых и неустойчивых решений;
16) возможность существования хаотических решений в детерминированных моделях;
17) возможность существования странного аттрактора;
18) самоорганизация в динамических системах.
3.5. Синхронизация в нелинейных динамических системах.
Эффект синхронизации динамических систем – глобальное свойство таких систем разного масштаба – от простейших механических до социально-экономических. При моделировании этот эффект обнаруживается при нелинейной постановке задачи. Рассматривается несколько динамических систем (не менее двух). При отсутствии взаимодействия эти системы ведут себя независимо, их динамические свойства проявляются индивидуально. При наличии даже весьма слабых связей между динамическими системами движение этих систем становится

взаимосвязанным, согласованным.
Устанавливается единая
(или соизмеримая) частота колебаний. Выделяется два варианта. А) определенные частотные соотношения устанавливайся в результате взаимодействия объектов, рассматриваемых как равноправные; Б) один из объектов читается настолько мощным, что он навязывает свой ритм движения (этот ритм считается заранее заданным и неизменным) другим автоколебательным объектам. Последнее иногда называется внешней синхронизацией.
Приведем некоторые примеры синхронизации. По-видимому, первое наблюдение этого эффекта было сделано в ХVII веке Гюйгенсом, который обнаружил, что двое маятниковых часов, если их подвесить к легкой балке, начинали ходить точно в такт. Позднее, в XIX веке, Рэлей обнаружил, что две органные трубы с малой отстройкой и с расположенными рядом отверстиями звучат в унисон, причем иногда трубы могут заставить почти полностью замолчать одна другую, т. е. происходит взаим¬на синхронизация двух автоколебательных систем при установлении противофазных или близких к ним колебаний. В начале ХХ века эффект синхронизации был открыт в электрических цепях и в некоторых электромеханических устройствах.
Тенденцией вращающихся твердых тел к взаимной синхронизации могут быть объяс¬нены целочисленные соотношения, наблюдающиеся между угловыми скоростями вращений и обращений небесных тел. Классическим примером такой закономерности является дви¬жение Луны, которая всегда обращена к Земле одной стороной. Эффекты синхронизации и захватывания наблюдаются и в поведении биологических объектов и сообществ. По- видимому, проявлением эффекта синхронизации является так называемый
«эффект толпы», когда сообщество людей под действием объединяющего фактора (связь) ведет себя не так, как ведут себя отдельные, не связанные фактором и ситуацией, люди в тех же условиях.

«Бурные, продолжительные аплодисменты, переходящие в овацию» - этой процедурой заканчивалась речь лидеров нашей страны в эпоху развитого социализма. Овацией, по-видимому, назывались синхронные хлопки в ладошки слушателей. Из хаоса отдельных хлопков в ладоши зарождалось синхронизированное упорядоченное периодическое движение - овация.
Кремлевский дворец съездов, где, как правило, происходило действие, вмещает несколько тысяч человек. Большинство из присутствующих в консерваториях не обучались. И, тем не менее, овация всегда случалась. Не получалась, а именно случалась. Возможно, аплодисменты начинали специально назначенные люди. Но синхронные хлопки в ладошки среди той публики организовать искусственно невозможно – стабильно проявлялся эффект самосинхронизации аплодисментов нескольких тысяч человек. Все желающие могут посмотреть запись этого натурного эксперимента по синхронизации биологических объектов в кадрах кинохроники середины - конца ХХ века. В этом примере присутствует сдерживающий фактор – все присутствующие достаточно дисциплинированы. Аналог этого в простых моделях – диссипативные воздействия, в результате действия которых затухают случайные отклонения. А в альтернативном натурном эксперименте – поведении зрителей, например, рок-концертов, нет этого сдерживающего диссипативного фактора – внутренней дисциплины. В результате поведение зрителей, хотя и объединенных общей связью и общим ритмом музыки, является хаотичным, и из этого хаоса не зарождается глобальное упорядоченное синхронизированное периодическое движение – все самовыражаются относительно независимо. Впрочем, быть может и на музыкальных концертах присутствуют элементы локальной синхронизации – музыка является значительным фактором связи.
Одним из интересных проявлений эффекта синхронизации в социально- экономических системах является феномен моды, рассматриваемой как синхронизированное отношение потребителей к товару или услуге. В современных условиях связующим элементом для образования «модной»

синхронизации является реклама и (или) средства массовой информации.
Однако мода зародилась гораздо раньше, чем технические средства массовой информации – телевидение, радио, газеты. Из этого можно заключить, что возникновение моды в социально-экономической среде возможно при достаточно низком уровне связей между элементами среды. В современных условиях эффект моды является мощным экономическим фактором для отраслей экономики, производящих модный товар или услугу. И эти отрасли вкладывают часть прибыли в установление связей, формирующих «модную» синхронизацию – оплачивают прямую и косвенную рекламу, более тонкие средства формирования позитивного отношения потребителей к своему товару (услуге). Параллельно в обществе существует синхронизация на гораздо более низком, никем не спонсируемом уровне связей – массовые увлечения на некоммерческой основе.
В экономике к эффекту синхронизации можно отнести глобальность экономических кризисов, явление взаимосвязи хозяйственных механизмов различных экономических объектов и государств, влияние лидирующего сектора экономики на взаимосвязанные отрасли, влияние сильной валюты на связанные с ней более слабые валютные системы. Связи являются естественным свойством нормально функционирующей экономической системы, поэтому и синхронизация экономических систем - нормальное и часто наблюдаемое явление. Искусственный разрыв экономических связей исключает из факторов экономического развития мощный ускоритель, основанный на эффекте синхронизации.
Синхронизация представляет собой весьма общую закономерность поведения взаимно связанных материальных объектов самой различной природы. Понимание этого факта способ¬ствовало развитию общей теории синхронизации динамических систем. Синхронизацию можно рассматривать как одно из проявлений тенденции материальных форм к самоорга¬низации, т. е. к упорядоченности. Эта тенденция противоположна тенденции к