Файл: Вариант 7 н айти область определения функции и изобразить её на плоскости Д ля заданной функции область определяется следующим неравенством, или..doc

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.02.2024

Просмотров: 19

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
. Уравнением параболоида будет , уравнением плоскости - , уравнением круга - . Областью интегрирования будет область . Следовательно,





. Ответ: .

  1. Найти объём тела, ограниченного указанными поверхностями: .

Т ело расположено между двумя концентрическими сферами с центрами в начале координат радиуса 1 и 7, конусом (сверху), и двумя плоскостями и . Перейдём к сферической системе координат: . Якобиан преобразования равен . Уравнение малой сферы будет , большой сферы - , На плоскости будет или ., а на плоскости будет
или . Уравнение конуса переходит в уравнение . Таким образом, тело занимает следующую область: . Объём тела равен: . Или . . Ответ: .

  1. Найти массу пластинки:

Пластинка занимает область D, и
зображённую на рисунке. Область неудобна для интегрирования в декартовой системе координат. Поэтому перейдём к эллиптической системе координат: . Уравнением меньшего эллипса будет: . Аналогично, для большего эллипса получим: . Якобиан преобразования равен . На прямой линии имеем . Область, занимаемая пластинкой, есть . Тогда . Ответ: .

  1. Найти массу тела: .

Т
ело представляет часть шара, «вырезанную» цилиндрической поверхностью
Цилиндрпересекается с поверхностью сферы на высоте (см. рисунок). Область интегрирования: . Интегрирование в декартовой системе координат неудобно. Перейдём к цилиндрической системе координат: . Таким образом, тело занимает следующую область: . При этом плотность тела равна . Масса тела равна: . Или . Ответ: .



  1. R
    Вычислить криволинейный интеграл по формуле Грина: .

П
D
реобразуем криволинейный интеграл по замкнутому контуру в двойной по формуле Грина: . Область интегрирования изображена на рисунке. Для заданного интеграла получаем: . Действительно, в полярных координатах якобиан преобразования равен . Следовательно, .

Ответ:
.

  1. Вычислить массу дуги кривой (L) при заданной плотности :

.

М
ассу дуги вычисляем с помощью криволинейного интеграла первого рода: . В данном примере линия и плотность заданы в полярных координатах, где . Следовательно,

. Ответ: .


  1. Вычислить работу силы при перемещении вдоль линии от точки M к точке N: .

Работу вычисляем по формуле: . Линия находится в пересечении цилиндрической поверхности и плоскости (см. рисунок). Перейдём к параметрическому заданию линии: . Найдём значение параметра t, при котором достигаются точки M и N; ; . Тогда

.

Ответ: Работа равна .

  1. Найти производную функции в точке по направлению внешней нормали к поверхности , заданной уравнением , или по направлению вектора : .

Производная по направлению находится по формуле: , где - координаты единичного вектора данного направления. Найдём частные производные функции в заданной точке: .

Следовательно, . Найдём координаты вектора , где :

. Таким образом, . Найдём единичный вектор нормали

Смотрите также файлы