Файл: Вариант 7 н айти область определения функции и изобразить её на плоскости Д ля заданной функции область определяется следующим неравенством, или..doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.02.2024
Просмотров: 18
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
: 
. Так как координаты x и z вектора 
положительны, то нормаль является внешней (см. рисунок). Тогда производная по заданному направлению равна: 
. Ответ: 
.
Наибольшую скорость характеризует градиент поля:
.
Вычислим координаты градиента:
, 
, 
. Таким образом, 
.
Величина скорости есть модуль градиегнта:
.
Ответ: Наибольшая скорость изменения поля в заданной точке равна
.
По заданному скалярному полю
построим поле его градиентов: 
. Дивергенция (расходимость) вектора 
определяется формулой: 
. Для градиента получаем: 
. Ротор вектора
вычисляется как символический определитель третьего порядка:
. Для поля градиентов : 
.
Уравнение векторных линий поля определяется системой дифференциальных уравнений: 
. Для заданного поля 
:
. Из равенства 
следует 
или 
. Рассмотрим равенство 
. Исключая отсюда 
, получим 
.
Итак, уравнения векторных линий поля градиентов задаётся как семейство кривых от пересечения следующих поверхностей:
. Ответ: 
, 
, урвнения векторных линий поля градиентов: .
З
апишем уравнение плоскости в отрезках:
или 
и изобразим её на чертеже (см. рис.). Найдём нормальный вектор: 
. Нормируем нормальный вектор: 
. Поток векторного поля находится по формуле 
, где 
- проекция вектора поля на нормаль к поверхности: 
. Поверхностный интеграл сведём к двойному интегралу по области D, являющейся проекцией Р на координатную плоскость ХОУ: 
. При этом 
. Из уравнения поверхности 
. Тогда 
.
Ответ:
.
18…19. Тело Т лежит в 1-ом октанте и ограничено плоскостями координат и поверхностью Q, заданной уравнением
. Вычислить:
а) поток поля вектора через поверхность, ограничивающую тело Т (воспользоваться формулой Остроградского);
в) циркуляцию поля вектора вдоль линии пересечения поверхности Q с плоскостями координат в направлении от точки пересечения Q с осью ОХ к точке пересечения Q с осью OY (воспользоваться формулой Стокса):
.
Решение.
а) Линии пересечения поверхности с координатными плоскостями.
С плоскостью XOY
с плоскостью XOZ 
с плоскостью YOZ 
(см.рисунок). Поток поля 
через поверхность, ограниченную этими линиями находим по формуле Гаусса-Остроградского:
. Находим дивергенцию: 
. Тогда 
в) Циркуляцию поля вектора вдоль линии 
вычислим по формуле Стокса: 
. Вычислим ротор данного поля:
. Найдём вектор 
: 
(это внешняя нормаль, так как 
). Вычислим скалярное произведение: 
. Таким образом, циркуляция векторного поля равна:
. Ответ: 
.
Вычислим ротор вектора :
. Следовательно, поле вектора является потенциальным. Восстановим потенциал поля: 
( за точку M0 взята точка
M0(1, 1, 1)). Найдём работу по перемещению точки:
.
Ответ:
.
. Так как координаты x и z вектора положительны, то нормаль является внешней (см. рисунок). Тогда производная по заданному направлению равна: . Ответ: .-
Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля
в заданной точке М: 
.
Наибольшую скорость характеризует градиент поля:
.Вычислим координаты градиента:
, , . Таким образом, .Величина скорости есть модуль градиегнта:
.Ответ: Наибольшая скорость изменения поля в заданной точке равна
.-
Вычислить расходимость и вихрь в произвольной точке М, а также найти уравнения векторных линий поля градиента скалярного поля : 
.
По заданному скалярному полю
построим поле его градиентов: . Дивергенция (расходимость) вектора определяется формулой: . Для градиента получаем:
. Ротор вектора
вычисляется как символический определитель третьего порядка: . Для поля градиентов : . Уравнение векторных линий поля
определяется системой дифференциальных уравнений: . Для заданного поля : . Из равенства следует или . Рассмотрим равенство . Исключая отсюда , получим .Итак, уравнения векторных линий поля градиентов задаётся как семейство кривых от пересечения следующих поверхностей:
. Ответ: , , урвнения векторных линий поля градиентов: .-
Найти поток векторного поля
через часть плоскости Р, расположенную в 1-ом октанте (нормаль образует острый угол с осью OZ): 
.
З
апишем уравнение плоскости в отрезках:
или и изобразим её на чертеже (см. рис.). Найдём нормальный вектор: . Нормируем нормальный вектор: . Поток векторного поля находится по формуле , где - проекция вектора поля на нормаль к поверхности: . Поверхностный интеграл сведём к двойному интегралу по области D, являющейся проекцией Р на координатную плоскость ХОУ: . При этом . Из уравнения поверхности . Тогда . Ответ:
.18…19. Тело Т лежит в 1-ом октанте и ограничено плоскостями координат и поверхностью Q, заданной уравнением
. Вычислить: а) поток поля вектора
через поверхность, ограничивающую тело Т (воспользоваться формулой Остроградского);в) циркуляцию поля вектора
вдоль линии пересечения поверхности Q с плоскостями координат в направлении от точки пересечения Q с осью ОХ к точке пересечения Q с осью OY (воспользоваться формулой Стокса):
.Решение.
а) Линии пересечения поверхности с координатными плоскостями.
С плоскостью XOY
с плоскостью XOZ с плоскостью YOZ (см.рисунок). Поток поля через поверхность, ограниченную этими линиями находим по формуле Гаусса-Остроградского: . Находим дивергенцию: . Тогда в) Циркуляцию поля вектора
вдоль линии вычислим по формуле Стокса: . Вычислим ротор данного поля: . Найдём вектор : (это внешняя нормаль, так как ). Вычислим скалярное произведение: . Таким образом, циркуляция векторного поля равна: . Ответ:
.
-
Убедиться, что поле вектора потенциально, найти потенциал поля и вычислить работу при перемещении точки единичной массы из точки А в точку В: 
.
Вычислим ротор вектора
: . Следовательно, поле вектора является потенциальным. Восстановим потенциал поля: ( за точку M0 взята точка M0(1, 1, 1)). Найдём работу по перемещению точки:
. Ответ:
.