ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.02.2024
Просмотров: 188
Скачиваний: 1
УДК539.43:620.17
О ДИНАМИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ ПРИ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ
Р.И.Богданов, С.В.Варнавин, GH Нагорных
Синергетический подход к описаниюобразования и распада структур [1—3] оказывается полезнымпри интерпретации структурных превращений в процессе механических испытаний материалов [4,5].
Для металлов и сплавов с ростом пластической деформации характер на иерархия структур возрастающей плотности дислокаций: однородная структура, затем колебания плотности или клубковая структура, затем блочная структура с возрастающей разориентацией. Эволюция структур завершается появлением трещин. При этом вблизи трещин эволюция дислокационных структур повторяется [4], т.е. проявляется автомодель ность поведения плотности дислокаций. Каждый тип структур возникает при некотором критическом значении плотности медленных дислокаций. При значениях этой плотности порядка 1012-1013 см“2материал разру шается [6].
Для описания эффектов упрочнения и пластичности,а также геометрии разрушений при циклическом кручении металлов и сплавов авторами была предложена система уравнений [7]
х±= G±- а±х±-bx±xM, |
(1) |
|
-*"М—^*6 -*М“ |
*М+SV(хкр — |
, |
где |
х6, хм —плотности |
быстрых (БД) и медленных (МД) дислокаций, |
х± |
—составляющие дгб |
при кручении, соответствующие противополож |
ным направлениям деформации:xq =x_ +х+; G±, а±, ам, xKp,S - неотри цательные параметры поликристалла.
Вработе [7] анализировалось частное решение
х±= const*; хм = const, |
(2) |
являющееся стационаромточечнойчасти системы |
(1). Анализ заключался |
в редукции (1) к спектральной задаче для линейного уравнения в частных производных; вычисление спектра определяло устойчивость решения (2). Однако анализ решения (2) не исчерпывает описания всего многообразия дислокационных структур,встречающихся в экспериментах.
Представляет интерес анализ переходного процесса плотностей дисло каций из начального состояния (t - 0) к бесконечным временам (t > 1), где действует в устойчивом случае асимптотика выхода (экспоненциаль ного затухания) на стационар (2).
Рассмотрим переходный процесс, в котором решение (хм) коллапси рует за конечное время в сингулярное. Такие процессы можно связать
сдинамикой возникновения дислокационных границ или плоских трещин. Кроме того, проанализируем новые стационарные (асимптотические)
состояния системы (1), для которых спектральный анализ дает неустой чивость решения (2). Полагаем, что решения в этих случаях моделируют
171
периодически повторяющиеся полосы скольжения и блочно-зеренную
структуру. |
|
|
Нестационарный автомодельный закон стока с возникновением плоских |
||
границ.Построим автомодельное решение управления |
|
|
д |
д |
(3) |
и = -S — и |
Эх |
|
Эх |
|
|
и определяет частное решение системы (I),еслиположить |
|
|
а М(*М) _ |
» |
|
гдехб= х_ +х+; х+ = G+/(bxM+ я+);х_ = G-/(bxM+а_)- решения,отве чающие стационарным точкам (2) первых двух уравнений системы (1). Таким образом, вычисляем асимптотику коллапсирующего решения на конечном промежутке времени.
Частное автомодельное решение уравнения (3). Оператор в правой части (3) переводит квадратичные полиномы отхв себя,
поэтому представимрешение в виде |
(4) |
и = сх2 + ах + Э, |
где c(t), a(t\ b(t) —неизвестные функции времени. Подстановка (4) и (3) даетпосле приведения подобныхпри мономахх2,х1,х°:
с = -6Sc2, а = -6Sac, Ь = -S(2cb +а). |
(5) |
Из первых двух уравнений (5) следует,чтоа=с- const. |
Тогда третье |
уравнение —линейное уравнение первой степени с непостоянными коэффи
циентами —интегрируется методом вариации постоянных. Окончательное решение имеетвид
r |
const\ 2 |
(6) |
(х |
+ —— \ + £о с1'3, с = с0/(1+ 6Sc0t), |
где to —вещественный параметр, х —толщина границы на критической плотности хкр. Из (6) следует, что при t0 = —1/6 Sc0 >0 наступаеткол
лапс при толщине Хо = const/2,причем решение |
и(х0, t) = |
to[c(0J^3 |
разрывно в точке t0. |
|
(3), то при |
Если интерпретировать решение (6) в качестве решения |
||
t ->/0 °н°сводится к± I fo12/35 (х - Хо). |
м(х) = м(-х) - 0, х <х. |
|
Действительно, /~и(х, t)dx= ± 211012/3,где |
||
Знаксоответствуетt <t0,з н а к t >t0.
При S > 0 из t0 > 0 следует с0 < 0, т.е. м(хо,0) <0.Такимобразом, при х= х0, t = 0 плотность медленных дислокаций хм <хкр. При t -+ t0,
t < t0 слойилиграница. [х,х] приобретает надкритичную плотность, т.е. является источником дислокаций. Плотность дислокаций в этом слое растет и может превысить критическую, характерную для образования последующей структуры, например для возникновения малоугловой или большеугловой границы или плоской трещины шириной х0. Решение
(6) при этом показывает инверсию плотностей внутри и вне [х,х]. Асимптотика плотностей быстрых дислокаций.
Рассмотрим закон стока дислокаций x±t хм в момент коллапса t = t0. 172
Первые два уравнения системы (1) даютасимптотикух±: |
|
х± = -bux±, t -+ tо . |
(У) |
Из (7) следует |
(8) |
х± = const*(х)exp(-bfudt). |
|
Но согласно (6) |
|
fudt = ---In 11+ 6 S c0t I (x - x0)2+ — (1 +65c002/3. |
(9) |
При t -+10 второе слагаемое в (9) стремится к нулюи поведениех± (8)оп ределяется первым слагаемым (9), имеющим отрицательный знак при t Е [0,2 t0]. При х= х0 плотности быстрых дислокаций х±минимальны. Найденное решение (6) удовлетворяет (1),если положить
ам(*м)= ь(х- |
+ *+)• |
(10) |
Следовательно, |
в окрестности точки коллапса коэффициент стока |
|
ам (*м) как функция отхимеет вид ’’опрокинутой” гауссовой |
кривой с |
|
ярко выраженным минимумом при толщине плоской границы*=х0.При -►о ширина этой кривой стремится к нулю, что можно интерпретиро вать как малоугловые или большеугловые дислокационные границы. Периодические дислокационные структуры. Уравнения (1) определяют
стационарные решения х±как функции отхм:
*± = С±КЬхм+а±) |
(11) |
(при условии,чтохм =хм(х),х 6R1).Подстановка хм(х)в третье уравне ние (1) приводит к уравнениювида
О= q(u) —SVuVu. |
(12) |
Таким образом, для построения асимптотических состояний, отличных от (2),необходимо построить подходящие решения (12).
Консервативные решения (11) в одномерном слу
чае. |
Обозначив р(и) = ди/дх,получим |
(13) |
||
О= q(u) - sp2 -pp'Su. |
||||
Умножая (13) на к,имеем |
|
|||
0 = uq (и) - ~ |
~4~(u2P2)i |
|
||
откуда |
2 |
du |
|
|
fuq(u)du |
|
|||
1 |
, |
(14) |
||
г |
р2 |
= |
~ • ?*«** |
|
где постоянная интегрирования включена в правуючасть (14).
Таким образом, нас интересует решение с нулевой энергией динами ческой системы с гамильтонианом из (14).
Критические значения потенциала. Положим |
|
fuq(u)du = Ф+/ tq(f)tff. |
(15) |
о |
|
173
Тогда критические точки потенциала в (14) находятсяизуравнения
Ф-JL j tVCOtf. |
|
|
|
|
|
(16) |
|
2 |
о |
|
|
|
|
|
|
Действительно,дифференцируя потенциал по и,получаем |
|
|
|||||
uq(u)u2 —2иfuq(u)du= О, |
|
|
|
|
|
|
|
u2q(u)= 2fuq(u)du= 2Ф+ 2/*f<7(f)df= |
|
|
|
|
|||
= + |
о |
|
|
|
|
|
|
г -1 “!2яХШ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 О |
|
|
(16) через и0, то критиче |
|||
откуда следует (16). Если обозначить решение |
|||||||
ское значение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
Я(“о)= (*'о)1{-;/Ч'1‘?’( 0 |
о |
t?«)df= ^ 1 |
J |
. |
(17) |
||
|
2о |
|
2о |
|
|
||
Следовательно: 1) еслиы0»и0 - критические точки потенциала (14), то
/° fVtt)<#=0. |
(18) |
“о |
|
Сдругой стороны,если и0 —критическая,точка,и 0 удовлетворяет (18). Тогда и о - критическая точка гамильтониана (14).
Если 2) и0пи0критические точки потенциала,то на отрезке [м0»“о] лежит ноль производной q'(S)= 0, f € [ц0, tT0];
3) в общем положении нулевая линия уровня гамильтониана бифурци-
рует при |
|
2 о tVffW; <7(«) = 0; |
(19) |
4) компактная изолированная ветвь нулевой лини уровня рождается из
вырожденного состояния равновесия в коразмерности 1 |
|
q(u0)= q(u0)“О, Ф= V°tV«W \ |
(20) |
2о |
|
5) асимптотика периода Т движения и = и(х) по нулевой линии уровня
(точнее, по компактной односвязной компоненте) при и -+ и0 стремится в величине
limT[H(u)= 0\ *2ir/Vk'(“o)l/^ “- “о
Таким образом, условие периодичности плотности дислокаций на протя женности кристалла (период делит нацело размер по оси х кристалла на плоскости скольжения) при малом числе параметров оставляет при каж дом Фконечное число периодических мод. Сверхвысокие по частоте моды появляются при большем числе параметров. Соответственно растет число мод,удовлетворяющих условию периодичности.
Отметим также,что значение м„,при котором
b[ ^ Z + 1 ^Г а7 " |
= |
является бифуркационным (это следует из (19)).
174
Локализованные решения для трехмерного случая. Пусть в (12)
_ _ |
д |
ди д |
ди |
■д |
ди |
. |
(21) |
VuVu= —и— + |
и —+ —и |
дz |
|||||
|
дх |
дх Ъу |
Ъу |
дz |
|
|
|
Полагая и =Х{х)Y(y)Z(z),найдем Х(х) и У(у) из условий |
|||||||
д |
дХ |
э |
дУ |
ХГ2. |
|
(22) |
|
— X— = XX2; —у— |
|
||||||
дх |
дх |
ду |
ду |
|
|
|
|
Всилу (14) имеем |
|
|
|
|
|
||
L(xy m±-+± X2 |
|
|
|
|
(23) |
||
2{Хх) х2 |
+ 4 * |
|
|
|
|
ф.>.0.получаем локали |
|
(и аналогичное выражение для Y' ).При X< |
|||||||
зованное нах G |
[а, Ь],где Ъ> а > О, Ь-а <2 \Л-4Ф/Х,решение вида |
||||||
Х(х) |
/* - а, |
х Е [а,(а + Ь)/2) |
|
Vb - х, |
хЕ [(a+b)/2,b) . |
||
|
Полагая q(u)= q0u2, получим
(q- XS)Z2-S— Z — = 0, dz dz
откуда
1 |
|
|
2 |
Sz2 |
4S |
(24)
(25)
(26)
Таким образом,при q —X,S< 0, Ф>0имеемлокализованный множи тель Z (z). Следовательно, в окрестности локального максимума q(и)
Фо)= ф'(ио)= 0, q"(u0) < 0
в трехмерном кристалле появляются асимптотические состояния в виде зе рен. Итак, при выполнении условий (20) бифуркации коразмерности 1, помимо периодических мод, в трехмерном случае появляется зернистая структура: блоки или зерна,заполненные дислокациями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Данилов ЮЛ., Кадомцев Б.Б. Что такое синергетика? // Нелинейныволны. М.:Наука.1983,.С.5-16.
2.Пригожин И.Отсуществующего квозникающему.М.:Мир.1985.328 с.
3.ХакенГ.Синергетика.М.:Мир,1985.420с.
4.Иванова В.С.Механика и синергетика усталостного разрушения //Физ.-хим.ме ханикаматериалов.1986.N>1.С.62-68.
5. Панин В.И.,Лихачев ВА.,Гриняев Ю.В.Структурные уровни деформации твер дыхтел.Новосибирск:Наука,1985.226 с.
6.Усталость и хрупкость металлических материалов //В.С.Иванова,С.Е.Гуревич, И.М.Кольев и др.М.:Наука,1968.213 с.
7.Крупкин П.Л.,Куров НЕ.,Нагорных С.Н.Осинергетическомподходе к пробле мам пластичности и разрушения // Структура дислокаций имеханические свойства металлов и сплавов: Тез. докл. Всесоюз. семинара, март 1987 г. Свердловск- ИФМУНЦАНСССР,1987.С.172-173. 175