ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.02.2024
Просмотров: 159
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
mA (x). Таким образом,
х
М.
Эта функция также называется функцией принадлежности.
Поскольку в дальнейшем мы будем рассматривать булевы бинарные функции как частный случай таких функций принадлежности, в данной работе мы заменим приведенное выше определение на следующее. Пусть Е - множество, счетное или нет, и х - элемент Е. Тогда нечеткое подмножество А множества Е определяется как множество упорядоченных пар
{ (x, mA (x)) }, " x Î E
где mA (x) - характеристическая функция принадлежности, принимающая свои значения во вполне упорядоченном множестве М, которая указывает степень или уровень принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М будет называться множеством принадлежностей.
Если М = {0, 1}, то "нечеткое подмножество" А будет рассматриваться как "ненечеткое" или просто "обычное" подмножество.
Таким образом, понятие нечеткого подмножества связано с понятием множества и позволяет изучать нестрого определенные понятия используя математические структуры.
Рассмотрим несколько примеров:
) нечеткое подмножество чисел х, приблизительно равных данному действительному числу n, где n Î R (R - множество действительных чисел);
) нечеткое подмножество целых чисел, очень близких к 0;
) пусть а - действительное число и х - небольшое положительное приращение а; тогда числа а + х образуют нечеткое подмножество во множестве действительных чисел;
) пусть Н - элемент решетки; элементы, ближайшие к Н, по отношению порядка образуют нечеткое подмножество в множестве всех элементов решетки.
Определим следующие операции.
Пусть Е - множество, М - множество принадлежностей, А и В - два нечетких подмножества Е.
. Включение.
Будем говорить, что множество А включено в В или А содержится в В, если "хÎЕ и mА (х) £mВ (х). Это обозначается следующим образом: АÌВ. Строгое включение соответствует случаю, когда все неравенства строгие, и обозначается АÌÌВ.
. Равенство.
Нечеткие подмножества А и В равны (обозначение: А=В), если "хÎЕ и mА (х) =mВ (х). Если найдется, по крайней мере, один элемент хÎЕ, что это равенство не выполняется, нечеткие подмножества А и В не равны.
. Дополнение.
Нечеткое подмножество
называется дополнением нечеткого подмножества A, если "хÎЕ и 
(х) =1-
mА (х).
. Пересечением нечетких подмножеств A и B называется нечеткое подмножество АÇВ, функция принадлежности которого определяется следующим образом: "хÎЕ, mАÇВ (х) =min (mА (х),mВ (х)).
. Объединением двух нечетких подмножеств A и B называется нечеткое подмножество АÈВ, функция принадлежности которого определяется следующим образом:
"хÎЕ, mАÈВ (х) =mах (mА (х),mВ (х)).
. Дизъюнктивной суммой нечетких подмножеств А и В называется нечеткое подмножество АÅВ, определяемое следующим образом:
АÅВ=
.
. Разностью нечетких подмножеств А и В называется нечеткое подмножество А-В, определяемое следующим образом: А-В=
.
. Алгебраическим произведением нечетких подмножеств A и B называется нечеткое подмножество А
·В, функция принадлежности которого определяется следующим образом:
"хÎЕ, mА·В (х) =m А (х) ×m В (х).
. Алгебраической суммой двух нечетких подмножеств А и В называется нечеткое подмножество
, функция принадлежности которого определяется следующим образом:
"хÎЕ,
=m А (х) +m В (х) - m А (х) ×m В (х).
. Симметричная разность. По определению симметричная разность двух множеств А и В - это множество
С = АDВ = (А\В) È (В\А).
Пример. Проиллюстрируем основные операции над нечеткими подмножествами на примере подмножеств А={ (х1 | 0.2), (х2 | 0.7), (х3 | 1), (х4 | 0), (х5 | 0.5) } и В={ (х1 | 0.5), (х2 | 0.3), (х3
| 1), (х4 | 0.1), (х5 | 0.5) }, определенных на множестве Е={х1, х2, х3, х4, х5}.
АÇВ={ (х1 | 0.2), (х2 | 0.3), (х3 | 1), (х4 | 0), (х5 | 0.5) }
АÈВ={ (х1 | 0.5), (х2 | 0.7), (х3 | 1), (х4 | 0.1), (х5 | 0.5) }
={ (х1 | 0.8), (х2 | 0.3), (х3 | 0), (х4 | 1), (х5 | 0.5) }
={ (х1 | 0.5), (х2 | 0.7), (х3 | 1), (х4 | 0.9), (х5 | 0.5) }
А-В=АÇ
х
М.Эта функция также называется функцией принадлежности.
Поскольку в дальнейшем мы будем рассматривать булевы бинарные функции как частный случай таких функций принадлежности, в данной работе мы заменим приведенное выше определение на следующее. Пусть Е - множество, счетное или нет, и х - элемент Е. Тогда нечеткое подмножество А множества Е определяется как множество упорядоченных пар
{ (x, mA (x)) }, " x Î E
где mA (x) - характеристическая функция принадлежности, принимающая свои значения во вполне упорядоченном множестве М, которая указывает степень или уровень принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М будет называться множеством принадлежностей.
Если М = {0, 1}, то "нечеткое подмножество" А будет рассматриваться как "ненечеткое" или просто "обычное" подмножество.
Таким образом, понятие нечеткого подмножества связано с понятием множества и позволяет изучать нестрого определенные понятия используя математические структуры.
Рассмотрим несколько примеров:
) нечеткое подмножество чисел х, приблизительно равных данному действительному числу n, где n Î R (R - множество действительных чисел);
) нечеткое подмножество целых чисел, очень близких к 0;
) пусть а - действительное число и х - небольшое положительное приращение а; тогда числа а + х образуют нечеткое подмножество во множестве действительных чисел;
) пусть Н - элемент решетки; элементы, ближайшие к Н, по отношению порядка образуют нечеткое подмножество в множестве всех элементов решетки.
Определим следующие операции.
Пусть Е - множество, М - множество принадлежностей, А и В - два нечетких подмножества Е.
. Включение.
Будем говорить, что множество А включено в В или А содержится в В, если "хÎЕ и mА (х) £mВ (х). Это обозначается следующим образом: АÌВ. Строгое включение соответствует случаю, когда все неравенства строгие, и обозначается АÌÌВ.
. Равенство.
Нечеткие подмножества А и В равны (обозначение: А=В), если "хÎЕ и mА (х) =mВ (х). Если найдется, по крайней мере, один элемент хÎЕ, что это равенство не выполняется, нечеткие подмножества А и В не равны.
. Дополнение.
Нечеткое подмножество
называется дополнением нечеткого подмножества A, если "хÎЕ и (х) =1-
mА (х).
. Пересечением нечетких подмножеств A и B называется нечеткое подмножество АÇВ, функция принадлежности которого определяется следующим образом: "хÎЕ, mАÇВ (х) =min (mА (х),mВ (х)).
. Объединением двух нечетких подмножеств A и B называется нечеткое подмножество АÈВ, функция принадлежности которого определяется следующим образом:
"хÎЕ, mАÈВ (х) =mах (mА (х),mВ (х)).
. Дизъюнктивной суммой нечетких подмножеств А и В называется нечеткое подмножество АÅВ, определяемое следующим образом:
АÅВ=
.. Разностью нечетких подмножеств А и В называется нечеткое подмножество А-В, определяемое следующим образом: А-В=
.. Алгебраическим произведением нечетких подмножеств A и B называется нечеткое подмножество А
·В, функция принадлежности которого определяется следующим образом:
"хÎЕ, mА·В (х) =m А (х) ×m В (х).
. Алгебраической суммой двух нечетких подмножеств А и В называется нечеткое подмножество
, функция принадлежности которого определяется следующим образом:"хÎЕ,
=m А (х) +m В (х) - m А (х) ×m В (х).. Симметричная разность. По определению симметричная разность двух множеств А и В - это множество
С = АDВ = (А\В) È (В\А).
Пример. Проиллюстрируем основные операции над нечеткими подмножествами на примере подмножеств А={ (х1 | 0.2), (х2 | 0.7), (х3 | 1), (х4 | 0), (х5 | 0.5) } и В={ (х1 | 0.5), (х2 | 0.3), (х3
| 1), (х4 | 0.1), (х5 | 0.5) }, определенных на множестве Е={х1, х2, х3, х4, х5}.
АÇВ={ (х1 | 0.2), (х2 | 0.3), (х3 | 1), (х4 | 0), (х5 | 0.5) }
АÈВ={ (х1 | 0.5), (х2 | 0.7), (х3 | 1), (х4 | 0.1), (х5 | 0.5) }
={ (х1 | 0.8), (х2 | 0.3), (х3 | 0), (х4 | 1), (х5 | 0.5) } ={ (х1 | 0.5), (х2 | 0.7), (х3 | 1), (х4 | 0.9), (х5 | 0.5) }А-В=АÇ