Файл: Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия.pdf

3.4
Фазовый поток гамильтоновых систем как однопараметрическое семейство канони- ческих преобразований.
Фазовым потоком называется совокупность преобразований {−
→
????
0
, −
→
????
0
} →
{−
→
???? (−
→
????
0
, −
→
????
0
, ????), −
→
???? (−
→
????
0
, −
→
????
0
, ????)} фазового пространства.
Теорема: фазовый поток
−
→
???? = −
→
???? (−
→
????
0
, −
→
????
0
, ????),
−
→
???? = −
→
???? (−
→
????
0
, −
→
????
0
, ????)
гамильтоновой системы
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
˙
????
????
=
????ℋ
????????
????
,
????
0
????
= ????
????
(????
0
)
˙
????
????
= −
????ℋ
????????
????
,
????
0
????
= ????
????
(????
0
)
— унивалентное каноническое преобразование.
Доказательство
Пусть система определена функциями Лагранжа ????(−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????) и Гамиль- тона ℋ(−
→
???? , −
→
???? , ????). Возьмем произвольное решение уравнений Гамильтона
(−
→
???? , −
→
???? ) и проварьируем его так, чтобы начальный конец был закреплен
(????
0
(????) ≡ ????
0
= ????????????????????) и чтобы
????
0
????
(????) =
????????(−
→
????
0
(????), ˙
−
→
????
0
(????), ????
0
???? ˙
????
????
Для действия по Гамильтону имеем
????(−
→
????
0
, −
→
????
0
, ????) =
????
ˆ
????
0
????(−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????)????????
Для вариации действия, так как начальный конец закреплен, получим
???????? =
∑︁
????
????
????????
????
− ???????????? −
∑︁
????
0
????
????????
0
????
85

Отсюда
∑︁
????
0
????
????????
0
????
=
∑︁
????
????
????????
????
− ???????????? − ????????(−
→
????
0
, −
→
????
0
, ????)
и преобразование каноническое по критерию каноничности, где ????
0
≡ 0,
???? = 1, производящая функция — действие по Гамильтону.
Теорема доказана.
3.5
Уравнение Гамильтона-Якоби
Найдем свободное унивалентное каноническое преобразование, для ко- торого гамильтониан в новых переменных равен нулю. При такой по- становке задачи критерий каноничности в свободных переменных имеет вид
∑︁
̃︀
????
????
????
̃︀
????
????
=
∑︁
????
????
????????
????
− ???????????? − ????????(−
→
???? , ̃︁
−
→
???? , ????)
Связь между каноническим преобразованием и производящей функцией
????
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
̃︀
????
????
=−
????????
????
̃︀
????
????
????????
????
=
????????
????????
????
(3.5)
и выражение для функции Гамильтона в свободных переменных:
̃︀
ℋ = ????ℋ +
????????
????????
Подставляя эти уравнения в критерий каноничности и учитывая, что
̃︀
ℋ = 0, а ???? = 1, получим
????????
????????
+ ????
(︂
−
→
???? ,
????????
????−
→
????
, ????
)︂
= 0
— уравнение Гамильтона-Якоби.
86

Так как гамильтониан в новых переменных в рассматриваемой задаче равен нулю, то общее решение уравнений Гамильтона
̃︁
−
→
???? = ̃︁
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? , ????) = ???????????????????? = ????
????
̃︁
−
→
???? = ̃︁
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? , ????) = ???????????????????? = −????
????
Преобразуем систему (3.5) с учетом вышесказанного:
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
̃︀
????
????
= −????
????
=−
????????(−
→
???? , −
→
???? , ????)
????????
????
????
????
=
????????(−
→
???? , −
→
???? , ????)
????????
????
(3.6)
Подстановка полученного общего решения в новых переменных в систе- му (3.6) дает общее решение уравнений Гамильтона в старых переменных
−
→
???? = −
→
???? (−
→
???? ,
−
→
???? , ????),
−
→
???? = −
→
???? (−
→
???? ,
−
→
???? , ????)
3.6
Полный интеграл уравнения Гамильтона-
Якоби и его использование в задаче инте- грирования уравнений движения гамиль- тоновой системы. Случаи разделения пе- ременных.
Будем искать производящую функцию уравнения Гамильтона-Якоби в виде полного интеграла. Решение ???? = ????(−
→
???? , −
→
???? , ????) — полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, если
1. S удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби
2. det
(︁
????
2
????
????????
????
????????
????
)︁
̸= 0
Одинм из методов нахождения производящей функции в виде полного интеграла является метод разделения переменных. Для этого пол- ный интеграл ищут в виде
87

???? = ????
0
(????, −
→
???? ) + ????
1
(−
→
????
1
, −
→
???? ) + . . . + ????
????
(−
→
????
????
, −
→
???? )
Рассмотрим пример. Пусть
ℋ = (????
2 1
+ ????
2 1
)(????
2 2
+ ????
2 2
)????
????
Из системы (3.6) выразим обобщенный импульс и подставим его в урав- нение Гамильтона-Якоби:
????????
????????
+
[︃
(︂ ????????
????????
1
)︂
2
+ ????
2 1
]︃ [︃
(︂ ????????
????????
2
)︂
2
+ ????
2
]︃
????
????
= 0
Будем искать ???? в виде
???? = ????
0
(????, −
→
???? ) + ????
1
(????
1
, −
→
???? ) + ????
2
(????
2
, −
→
???? )
Получим
????
−????
????????
0
????????
+
[︃
(︂ ????????
1
????????
1
)︂
2
+ ????
2 1
]︃ [︃
(︂ ????????
2
????????
2
)︂
2
+ ????
2
]︃
????
????
= 0
Во всем выражении только первый множитель второго слагаемого зави- сит от ????
1
, поэтому
(︂ ????????
????????
1
)︂
2
+ ????
2 1
= ????
1
= ????????????????????,
откуда
????
1
=
ˆ
√︁
????
1
− ????
2 1
????????
1
Аналогично
????
2
=
ˆ
√︁
????
2
− ????
2 2
????????
2
и
88

????
0
= −????
1
????
2
????
????
,
тогда
???? = −????
1
????
2
????
????
+
ˆ
√︁
????
1
− ????
2 1
????????
1
+
ˆ
√︁
????
2
− ????
2 2
????????
2
Из системы (3.6)
????
1
=
????????
????????
1
= −????
2
????
????
+
ˆ
????????
1 2
√︀????
1
− ????
2 1
????
2
=
????????
????????
2
= −????
1
????
????
+
ˆ
????????
2 2
√︀????
2
− ????
2 2
????
1
=
????????
????????
1
=
√︁
????
1
− ????
2 1
????
2
=
????????
????????
2
=
√︁
????
2
− ????
2 2
Из последних четырех уравнений находятся −
→
???? (−
→
???? ,
−
→
???? , ????) и −
→
???? (−
→
???? ,
−
→
???? , ????).
89