Файл: Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия.pdf

1.4.2
Устойчивость линейных систем с постоянной мат- рицей. Критерий Рауса-Гурвица.
Теорема об устойчивости линейной системы с постоянной мат- рицей: линейная система с постоянной матрицей
˙
−
→
???? = ????−
→
????
асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда вещественные части корней характеристического уравнения системы
???????????? (???? − ????????) = 0
отрицательны:
????????????
????
< 0 ∀???? ∈ [1, ????]
Доказательство
Из теории линейных систем дифференциальных уравнений известно,
что произвольная компонента вектора решения −
→
???? линейной системы состоит из суммы функций следующего вида: ????
????
????
????
????????????(????
????
????), если корни
????
????
= ????
????
+ ????????
????
не являюются кратными. Если же среди корней есть крат- ные, то в решении появляются слагаемые вида
(????
0
+ ????
1
???? + . . . + ????
????
????
????
)????
????
????
????
????????????(????
????
????)
Если ????
????
< 0, то все такие слагаемые стремятся к нулю при ???? → ∞, а значит решения линейной системы ограничены. По теореме об устойчи- вости линейной однородной системы, исходная система устойчива, а в силу экспоненциального затухания решений — и асимптотически устой- чивой.
Теорема доказана.
Таким образом, чтобы установить асимптотическую устойчивость ли- нейной системы, достаточно убедиться, что все корни ее характеристи- ческого уравнения
????????????(???? − ????????) ≡ ????
0
+ ????
1
???? + . . . + ????
????
????
????
= 0 12

обладают отрицательными вещественными частями. Полиномы с таким свойством называют устойчивыми.
Несложно показать, что устойчивый полином имеет все коэффициенты одного знака. Это следует из разложения полинома на множители и усло- вия отрицательности действительных частей его корней.
Критерий Рауса-Гурвица: для устойчивости полинома
???? (????) = ????
0
+ ????
1
???? + . . . + ????
????
????
????
,
????
0
> 0
необходимо и достаточно, чтобы матрица Гурвица
???? =
⎛
⎜
⎜
⎝
????
1
????
0 0
0
????
3
????
2
????
1 0
0
. . . . . . . . . . ????
????
⎞
⎟
⎟
⎠
была положительно определена.
Критерий Льенара-Шипара: для устойчивости полинома

˙
−
→
???? =
−
→
???? (−
→
???? )
(положение равновесия которой −
→
???? ≡
−
→
0 )
−
→
???? (−
→
???? ) непрерывно дифферен- цируема в нуле, а ее вторые производные существуют и ограничены в некоторой окрестности положения равновесия. Тогда из асимптоти- ческой устойчивости системы ˙
−
→
???? = ????−
→
???? , где
???? =
????
−
→
????
????−
→
????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
−
→
???? =
−
→
0
,
будет следовать асимптотическая устойчивость положения равнове- сия −
→
???? =
−
→
0 исходной системы. Если же линейная часть ˙
−
→
???? = ????−
→
????
исходной системы неустойчива, то и сама система неустойчива.
Доказательство
1. Лемма Гронуолла: если для положительных ????(????), ???? (????) и ???? имеет место неравенство
????(????) ≤ ???? +
1
ˆ
0
???? (???? )????(???? )????????,
то справедлива оценка сверху:
????(????) ≤ exp
⎛
⎝
????
ˆ
0
???? (???? )????????
⎞
⎠
Докажем записанную лемму. Из исходного неравенства получаем
????(????)
???? +
????
´
0
???? (???? )????(???? )????????
≤ 1
Домножив полученное неравенство на ???? (????) и интегрируя обе части, по- лучим
14

????
ˆ
0
???? (???? )????(???? )
???? +
????
´
0
???? (????
′
)????(????
′
)????????
′
≤
????
ˆ
0
???? (???? )????????,
откуда ln
⎡
⎣
???? +
????
ˆ
0
???? (???? )????(???? )????????
⎤
⎦
− ln ???? ≤
????
ˆ
0
???? (???? )????????
и из исходного неравенства
????(????) ≤ ???? +
????
ˆ
0
???? (???? )????(???? )???????? ≤ ???? exp
⎛
⎝
????
ˆ
0
???? (???? )????????
⎞
⎠
,
что доказывает лемму.
2. Из условия теоремы (для производных) следует, что система предста- вима в виде
˙
−
→
???? = ????−
→
???? +
−
→
???? (−
→
???? ),
‖
−
→
???? (−
→
???? )‖ ≤ ????‖−
→
???? ‖
2
,
???? = ????????????????????
Поскольку линейная часть системы асимптотически устойчива, то все корни характеристического уравнения det (???? − ????????) = 0
удовлетворяют условию Re ????
????
< 0. Обозначим
2ℎ = min
????
| Re ????
????
|
и выполним замену переменных
−
→
???? → ????
−ℎ????
−
→
????
Система в новых переменных приобретает вид
˙
−
→
???? ????
−ℎ????
− ℎ−
→
???? ????
−ℎ????
= ????−
→
???? ????
−ℎ????
+
−
→
????
(︀
−
→
???? ????
−ℎ????
)︀ ,
15

Откуда
˙
−
→
???? = (???? + ℎ????)
⏟
⏞
????
−
→
???? + ????
ℎ????
−
→
????
(︀
−
→
???? ????
−ℎ????
)︀
Очевдино, что линейная часть этой системы по-прежнему устойчива. За- пишем эту систему в эквивалентной форме
−
→
???? (????) = ????
????????
−
→
????
0
+
????
ˆ
0
????
????(????−???? )
????
ℎ????
−
→
????
[︀
−
→
???? (???? )????
−ℎ????
]︀ ????????
и оценим −
→
???? (????) по норме:
‖−
→
???? (????)‖ ≤ ‖????
????????
‖ · ‖−
→
????
0
‖ +
????
ˆ
0
‖????
????(????−???? )
‖????
ℎ????
‖
−
→
????
[︀
−
→
???? (???? )????
−ℎ????
]︀ ????????
Поскольку линейная часть системы устойчива, то ее фундаментальная матрица решений ограничена:
‖????
????????
‖ ≤ ????
и написанное неравенство можно переписать в виде
‖−
→
???? (????)‖ ≤ ???? ‖−
→
????
0
‖ + ???? ????
????
ˆ
0
????
−ℎ????
‖−
→
???? (???? )‖
2
???????? ≤
≤ ???? ‖−
→
????
0
‖ + ???? ????
????
ˆ
0
????
−ℎ????
‖−
→
???? (???? )‖????????
Последний переход верен до тех пор, пока ‖
−−→
????(???? )‖ ≤ 1.
Используя лемму Гронуолла, получаем
‖−
→
???? (????)‖ ≤ ???? exp
⎡
⎣
???? ????
????
ˆ
0
????
−ℎ????
????????
⎤
⎦
‖−
→
????
0
‖ ≤ ????‖−
→
????
0
‖
16

Так как рассамтривается окрестность нулевого положения равновесия,
то считаем ‖−
→
????
0
‖ <
1
????
. Тогда ‖−
→
???? (???? )‖
2
< ‖−
→
???? (???? )‖ при любом ???? и из нера- венства ‖−
→
???? (????)‖ ≤ ????‖−
→
????
0
‖ следует устойчивость положения равновесия в переменной −
→
???? . Переходя к переменной −
→
???? , имеем
‖−
→
???? (????)‖ = ‖−
→
???? (????)‖????
−ℎ???? ????→∞
−−−→ 0,
что и означает асимптотическую устойчивость положения равновесия в переменой −
→
???? .
Теорема доказана.
Отметим, что если система ˙
−
→
???? = ????−
→
???? устойчива, но не асимптотически,
то полученной теоремой пользоваться нельзя.
Теорема об устойчивости по линейному приближению — основная теоре- ма прямого метода Ляпунова.
1.5
Теоремы прямого метода Ляпунова для автономных систем.
Будем исследовать автономные системы вида ˙
−
→
???? =
−
→
???? (−
→
???? ). Пусть неко- торая функция ???? (−
→
???? ), называемая функцией Ляпунова, непрерывно дифференцируема в ????-окрестности положения равновесия −
→
???? =
−
→
0 .
Теорема прямого метода Ляпунова об устойчивости: если суще- ствует функция Ляпунова ???? (−
→
???? ) такая, что
1.
???? (
−
→
0 ) = 0 и ???? (−
→
???? ) > 0 при −
→
???? ̸=
−
→
0 2.
˙
???? =
????
∑︁
????=1
????????
????????
????
????
????
≤ 0,
то положение равновесия −
→
???? =
−
→
0 устойчиво.
Доказательство
Рассмотрим сферу ‖−
→
???? ‖ = ????
1
, причем ????
1
возьмем так, что 0 < ????
1
< ????.
Функция ???? (−
→
???? ) непрерывно дифференцируема в ????-окрестности положе- ния равновесия, а значит она непрерывна в этой окрестности, а значит,
17

непрерывна и в ????
1
-окрестности положения равновесия. Сфера — компакт,
поэтому по теореме Вейерштрасса ???? (????) ограничена на сфере и достигает на ней своих верхней и нижней граней. Пусть
????
*
= min
‖−
→
???? ‖=????
???? (−
→
???? )
???? (−
→
???? ) — непрерывна, тогда, взяв в определении непрерывности ????
1
= ????
*
,
для положения равновесия −
→
???? =
−
→
0 получим
∃????(???? < ????) : ∀−
→
???? : ‖−
→
???? ‖ < ???? ⇒ |???? (−
→
???? ) − ???? (
−
→
0 )| = ???? (−
→
???? ) < ????
*
Рассмотрим произвольное решение −
→
???? (????) исходной системы с начальным условием ‖−
→
???? (????
0
)‖ < ????. Покажем от противного, что такая траектория не покинет ????
1
-окрестности. Пусть в какой-то момент времени ????
1
> ????
0
‖−
→
???? (????
1
)‖ = ????
1
. В силу невозрастания производной функции Ляпунова по времени и учитывая, что ????
*
— точная нижняя грань функции Ляпунова на сфере, имеем:
????
*
> ???? (−
→
???? (????
0
)) ≥ ???? (−
→
???? (????
1
)) ≥ ????
*
,
что невозможно. Тогда положение равновесия −
→
???? =
−
→
0 устойчиво по опре- делению.
Теорема доказана.
Отметим, что первое условие в теореме прямого метода Ляпунова об устойчивости можно заменить на «???? (−
→
???? ) имеет минимум в положении равновесия», при этом доказательство теоремы не изменится.
Общего метода нахождения функции Ляпунова не существует, но ес- ли в системе есть первые интегралы (????
????
), то чаще всего ее ищут в виде линейной комбинации первых интегралов и их квадратов:
???? (−
→
???? ) =
∑︁
????
????
????
????
+
∑︁
????
????
????
2
????
Теорема Барбашина-Красовского об условиях асимптотической устойчивости и неустойчивости: если в некоторой окрестности по- ложения равновесия −
→
???? =
−
→
0 существует функция Ляпунова ???? (−
→
???? ) та- кая, что
18

˙
???? =
????
∑︁
????=1
????????
????????
????
????
????
{︃
= 0, −
→
???? ∈ ????
< 0, −
→
???? ̸∈ ????
,
где ???? — некоторое множество, выбранное так, что единственной це- лой траекторией исследуемой автономной системы, лежащей в ???? , яв- ляется −
→
???? ≡
−
→
0 , то а) если ???? (−
→
???? ) имеет минимум в положении равновесия −
→
???? =
−
→
0 , то это положение равновесия асимптотически устойчиво;
б) если ???? (−
→
???? ) знаконеопределена в окрестности −
→
???? =
−
→
0 , то положение равновесия −
→
???? =
−
→
0 неустойчиво.
Доказательство
Доказательство условия а)
˙
???? (−
→
???? ) ≤ 0, поэтому положения равновесия устойчиво по теореме прямого метода Ляпунова об устойчивости. По определению устойчивости
∀???? > 0 ∃???? > 0 : ∀−
→
???? (????) : ‖−
→
???? (????
0
)‖ < ???? ⇒ ‖−
→
???? (????)‖ < ???? ∀???? ∈ [????
0
, ∞)
Покажем, что это положение равновесия асимптотически устойчиво, то есть, помимо устойчивости, выполняется
∃∆ < ???? : ∀−
→
???? (????) : ‖−
→
???? (????
0
)‖ < ∆ ⇒ lim
????→∞
−
→
???? (????) =
−
→
0
Предположим противное: положение равновесия устойчиво, но
∀∆ < ???? ∃−
→
???? (????) : ‖−
→
???? (????
0
)‖ < ∆ ⇒ lim
????→∞
−
→
???? (????) ̸=
−
→
0
Рассмотрим произвольную ∆
1
-окрестность (0 < ∆
1
< ????) и пусть для некоторой траектории −
→
????
1
(????) условие асимптотической устойчивости не выполняется: lim
????→∞
−
→
????
1
(????) = −
→
????
*
. В силу устойчивости положения равно- весия, траектория −
→
????
1
(????) ограничена. Тогда бесконечная последователь- ность {−
→
????
1
(????
????
)} (???? ∈ N) также ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса выделим сходящуюся подпоследовательность
{−
→
????
????
} = {−
→
????
1
(????
????????
)} : lim
????→∞
−
→
????
????
= −
→
????
*
19

Функция ???? (−
→
????
1
) не возрастает (так как у нее неположительная произ- водная) и ограничена, поэтому, по теореме Вейерштрасса, существует предел lim
????→∞
???? (−
→
????
????
) = ???? (−
→
????
*
) = ????
*
Рассмотрим траекторию −
→
???? (−
→
????
*
, ????) (−
→
????
0
= −
→
????
*
). Производная функции Ля- пунова неположительна, поэтому найдется такой момент времени ???? , что
???? [−
→
???? (−
→
????
*
, ???? )] < ????
*
Рассмотрим траектории −
→
???? (−
→
????
????
, ????).
Напомним известную теорему о пределах: если ???? < ???? и lim
????→∞
????
????
= ????, то
∃???? : ????
????
< ???? ∀???? > ????
В нашем случае ???? = ???? [−
→
???? (−
→
????
*
, ???? )], ???? = ????
*
и lim
????→∞
???? [−
→
???? (−
→
????
????
, ????)] = ???? [−
→
???? (−
→
????
*
, ???? )],
поэтому
∃???? : ???? [−
→
???? (−
→
????
????
, ????)] < ????
*
∀???? > ????
Последнее утверждение приводит к противоречию, поскольку −
→
???? (−
→
????
????
, ????) —
часть траектории −
→
????
1
(????), для которой lim
????→∞
???? (−
→
????
1
(????)) = ????
*
В силу произвольности выбора ∆
1
-окрестности, асимптотическая устой- чивость положения равновесия доказана
Доказательство условия б)
Рассмотрим множество ???? = {−
→
???? | ???? (−
→
???? ) < 0}. ???? (−
→
???? ) знаконеопределе- на в окрестности положения равновесия −
→
???? =
−
→
0 , поэтому, очевидно, ????
непусто.
Рассмотрим траекторию −
→
???? (−
→
????
0
, ????), −
→
????
0
∈ ????. Зафиксируем произвольное
???? > 0 и покажем, что рассматриваемая траектория покинет ????-окрестность положения равновесия.
Заметим, что, так как ???? (−
→
???? ) < 0 при −
→
???? ∈ ???? и ˙
???? (−
→
???? ) < 0, то траектория
−
→
???? (−
→
????
0
, ????) не пересекает границу множества ????.
20

Допустим теперь, что данная траектория не пересекает ????-окрестность положения равновесия и остается в ???? ∩ ????
????
(
−
→
0 ). ???? (−
→
???? ) ограничена на за- мкнутом множестве ???? ∩ ????
????
(
−
→
0 ) как непрерывная функция, поэтому
∃????
*
=
inf
????∈????∩????
????
(
−
→
0 )
???? (−
→
???? )
Рассмотрим область
???? = ????
????
(
−
→
0 ) ∩ ???? ∩ {−
→
???? | ???? (−
→
???? ) < ???? (−
→
????
0
)}
В этой области существует
???? = | sup
????∈????
˙
???? (−
→
???? )|,
так как ???? — ограниченное множество, а производная ограничена в си- лу непрерывности на ограниченном множестве функции Ляпунова и ее производной. ???? ̸= 0. Действительно, ???? = 0 только в области ???? , но ???? не содержит целых траекторий кроме нулевой. Поэтому начальный момент времени можно выбрать так, что ни одна точка из ???? не будет лежать в
???? , так как через конечное время все траектории покинут ???? . Так как ????
— супремум, причем на множестве ???? функция Ляпунова отрицательна,
то
???? (−
→
???? ) < ???? (−
→
????
0
) − ????????
— неограниченная функция. Это противоречит тому, что существует ин- фимум функции Ляпунова.
Теорема доказана.
Рассмотрим очевидные следствия из теоремы Барбашина-Красовского.
Теорема прямого метода Ляпунова об асимптотической устой- чиовсти: если существует функция Ляпунова ???? (−
→
???? ) такая, что
1.
???? (
−
→
0 ) = 0 и ???? (−
→
???? ) > 0 при −
→
???? ̸=
−
→
0 2.
˙
???? =
????
∑︁
????=1
????????
????????
????
????
????
{︃
= 0, −
→
???? =
−
→
0
< 0, −
→
???? ̸=
−
→
0
,
21