Файл: Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия.pdf

????
′
(???? + ???????? ) =
????
′
2
(???? +???????? )
ˆ
????
′
1
(???? +???????? )
Φ
[︁
−
→
????
′
(???? + ???????? ), ˙
−
→
????
′
(???? + ???????? ), ????
′
(???? + ???????? )
]︁
????????
′
(???? + ???????? )
Разложим −
→
????
′
(???? + ???????? ) и ????
′
(???? + ???????? ) по степеням ????????
−
→
????
′
(???? + ???????? ) = −
→
????
′
(???? ) +
????−
→
????
′
????????
???????? + . . .
????
′
(???? + ???????? ) = ????
′
(???? ) +
????????
′
????????
???????? + . . .
и выполним в полученном интеграле замену переменнных
−
→
????
′
(???? + ???????? ) → −
→
????
′
(???? ),
????
′
(???? + ???????? ) → ????
′
(???? )
Переходя к группе первого продолжения и учитывая, что по теореме единственности
????−
→
????
′
????????
= −
→
???? (????
′
, −
→
????
′
),
????????
′
????????
= ????(????
′
, −
→
????
′
),
получим
????
′
=
????
′
2
(???? )
ˆ
????
′
1
(???? )
Φ
[︁
−
→
????
′
+ −
→
???? ???????? + . . . , ˙
−
→
????
′
+
(︁ ˙
−
→
???? − ˙
???? ˙
−
→
????
)︁
???????? + . . . , ????
′
(???? ) + ???????????? + . . .
]︁
×
×????(????
′
(???? ) + ???????????? + . . .),
где ????
′
= ????
′
(???? + ???????? ). Используя ряд Ли, а затем раскладывая получивше- еся выражение по степеням ???????? , получаем
????
′
=
????
′
2
(???? )
ˆ
????
′
1
(???? )
[︂
Φ + ????????
(1)
???? Φ + . . .
]︂
????(????
′
(???? ) + ???????????? + . . .) =
=
????
′
2
(???? )
ˆ
????
′
1
(???? )
Φ????????
′
+ ????????
????
′
2
(???? )
ˆ
????
′
1
(???? )
[︂
(1)
???? Φ +
????????
????????
′
Φ
]︂
????????
′
+ . . .
63

Если рассматриваемый функционал — интегральный инвариант, то при действии на него группы с каноническим параметром ???? , функционал,
очевидно, не должен от него зависеть, так как исходный функционал от него не зависит. Тогда
????????
′
(???? + ???????? )
????????
= lim
???????? →0
????
′
(???? + ???????? ) − ????
′
(???? )
????????
=
????
′
2
(???? )
ˆ
????
′
1
(???? )
[︂
(1)
???? Φ +
????????
????????
′
Φ
]︂
????????
′
= 0,
откуда получаем, что функционал — интегральный инвариант группы,
если
(1)
???? Φ +
????????
????????
′
Φ = 0 2.7
Теорема Эмми Нётер.
Теорема Эмми Нётер: если существует группа Ли
−
→
????
′
= −
→
???? + ???? −
→
???? (????, −
→
???? ) + . . .
????
′
= ???? + ???? ????(????, −
→
???? ) + . . . ,

(1)
???? ???? +
????????
????????
′
???? = 0
Раскрывая оператор группы, получим
????
????????
????????
+
∑︁
????
????
????????
????????
????
+
∑︁ (︁
˙
????
????
− ˙
???? ˙
????
????
)︁
????????
???? ˙
????
????
+ ˙
???????? = 0
Вспомним выражение для гамильтониана
ℋ =
[︁∑︁
????
????
˙
????
????
− ????
]︁
˙
−
→
???? = ˙
−
→
???? (−
→
???? ,−
→
???? ,????)
,
и возьмем от него полную производную по времени
????ℋ
????????
=
????ℋ
????????
+
∑︁
⎛
⎜
⎜
⎝
????ℋ
????????
????
˙
????
????
⏟ ⏞
????ℋ
????????????
+
????ℋ
????????
????
˙
????
????
⏟ ⏞
−
????ℋ
????????????
⎞
⎟
⎟
⎠
=
????ℋ
????????
+ {ℋ, ℋ} =
????ℋ
????????
=
=
⎡
⎢
⎢
⎣
∑︁
????
????
???? ˙
????
????
????????
−
????????
????????
−
∑︁
????????
???? ˙
????
????
⏟ ⏞
????
????
???? ˙
????
????
????????
⎤
⎥
⎥
⎦
˙
−
→
???? = ˙
−
→
???? (−
→
???? ,−
→
???? ,????)
= −
????????
????????
Из уравнений Лагранжа (напомним, что канонические уравнения Га- мильтона справедливы только для систем с потенциальными силами)
????????
????????
????
=
????
????????
????????
???? ˙
????
????
= ˙
????
????
Теперь условие инвариантности можно записать в виде
−???? ˙
ℋ +
∑︁
????
????
˙
????
????
+
∑︁
˙
????
????
????
????
−
∑︁ ˙
???? ˙
????
????
????
????
+ ˙
???????? =
= −???? ˙
ℋ +
∑︁
????
????
˙
????
????
+
∑︁
˙
????
????
????
????
− ℋ ˙
????,
откуда
65

????
????????
(︁∑︁
????
????
????
????
− ????ℋ
)︁
= 0,
то есть
∑︁
????
????
????
????
− ????ℋ = ????????????????????
Теорема доказана.
Группа, по отношению к которой действие по Гамильтону — инте- гральный инвариант, называется группой симметрии системы.
Используя теорему Эмми Нётер, можно найти первые интегралы си- стемы. Например, взяв ???? = −1, −
→
???? =
−
→
0 , можно получить закон сохране- ния полной механической энергии консервативной системы.
2.8
Интегральные инварианты Пуанкаре-Ка- ртана и Пуанкаре.
Рассмотрим (2????+1)-мерное расширенное фазовое пространство (−
→
???? , −
→
???? , ????)
и выберем на нем произвольный контур (замкнутую кривую)
????
1
= {−
→
????
1
(????), −
→
????
1
(????), ????
1
(????)}, ???? ∈ [0, 1], ????
1
(???? = 0) = ????
1
(???? = 1)
Из каждой точки кривой ????
1
, как из начальной, проведем соответству- ющий прямой путь. Он однозначно определяется из канонических урав- нений Гамильтона при заданной начальной точке. Совокупность таких путей задает трубку прямых путей. На этой трубке произвольно вы- берем второй контур
????
2
= {−
→
????
2
(????), −
→
????
2
(????), ????
2
(????)}, ???? ∈ [0, 1], ????
2
(???? = 0) = ????
2
(???? = 1),
охватывающий контур и имеющий с каждой образующей лишь одну об- щую точку. Считаем параметры ????, параметризующие контуры, согла- сованными, то есть при каждом значении ???? соответствующие точки контуров ????
1
и ????
2
расположены на одном и том же прямом пути. Запи- шем вариацию действия по Гамильтону для этого семейства и учтем, что все пути исследуемого семейства — прямые:
66

????????(????) =
[︁∑︁
????
????
????????
????
− ℋ????????
]︁
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
2
????
1
+
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
????????
????
???????? =
=
[︁∑︁
????
????
????????
????
− ℋ????????
]︁
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
2
????
1
Проинтегрируем полученное выражение по ???? в пределах от 0 до 1. Учи- тывая, что на каждом из контуров при ???? = 0 и ???? = 1 задаются одни и те же точки, получим
1
ˆ
0
????????(????) =
1
ˆ
0
????
′
(????)???????? = ????(1) − ????(0) = 0 1
ˆ
0
∑︁
????
????2
(????)????????
????2
(????) − ℋ????????
2
(????) −
1
ˆ
0
∑︁
????
????1
(????)????????
????1
(????) + ℋ????????
1
(????) = 0
˛
????
1
∑︁
????
????
????????
????
− ℋ???????? =
˛
????
2
∑︁
????
????
????????
????
− ℋ????????
Интегральное выражение
????
ПК
=
˛
????
∑︁
????
????
????????
????
− ℋ????????
носит название интегрального инварианта Пуанкаре-Картана.
Если контуры изохронные, то есть образованы сечениями трубки плоскостями ???? = ????????????????????, то ???????? = 0 и инвариант Пуанкаре-Картана перехо- дит в универсальный интегральный инвариант Пуанкаре:
????
П
=
˛
????
∑︁
????
????
????????
????
,
где ???? означает изохронный контур.
67

Универсальность означает инвариантность для любой гамильтоновой си- стемы (гамильтониан не входит в выражение для интеграла), то есть значение этого интегрального инварианта одинаково для любой гамиль- тоновой системы, если рассматривается одна и та же трубка прямых путей.
2.9
Теорема Лиувилля о сохранении фазово- го объема. Сохранение фазового объема гамильтоновой системы.
Рассмотрим автономную систему обыкновенных дифференциальных урав- нений
˙
−
→
???? =
−
→
???? (−
→
???? ),
общее решение которой
−
→
???? = −
→
???? (−
→
????
0
, ????)
Рассмотрим некоторую замкнутую область в фазовом пространстве и пусть каждая точка области есть неоторое начальное положение ис- следуемой системы при ???? = 0. Обозначив эту область за ????
0
, вычислим ее фазовый объем
????
0
=
˙
????
0
????????
10
. . . ????????
????0
Пусть через малый промежуток времени ???? область ????
0
перешла в согла- сованную с ????
0
область ????
????
. Запишем выражение для фазового объема области ????
????
и перейдем к переменным области ????
0
через якобиан преоб- разования:
????
????
=
˙
????
1
????????
1
. . . ????????
????
=
˙
????
0
⃒
⃒
⃒
⃒
????−
→
????
????−
→
????
0
⃒
⃒
⃒
⃒
????????
10
. . . ????????
????0
Так как рассматриваемый промежуток времени мал, то разложим реше- ние −
→
???? по степеням ????:
68

−
→
???? = −
→
????
0
+ ????
−
→
???? (−
→
????
0
) + . . .
Для якобиана получаем
⃒
⃒
⃒
⃒
????−
→
????
????−
→
????
0
⃒
⃒
⃒
⃒
= det
(︃
???? + ????
????
−
→
???? (−
→
????
0
)
????−
→
????
0
+ . . .
)︃
Из курса линейной алгебры известно, что если ???? → 0, то det(???? + ????????) = 1 + ???? tr???? + . . . ,
где tr???? — след матрицы ????, то есть сумма ее диагональных элементов.
Теперь якобиан преобразования принимает вид
⃒
⃒
⃒
⃒
????−
→
????
????−
→
????
0
⃒
⃒
⃒
⃒
= 1 + ????
∑︁
????????
????
(−
→
????
0
)
????????
????0
+ . . . = 1 + ???? div
−
→
???? (−
→
????
0
) + . . .
Подставим преобразованный якобиан в выражение для фазового объема
????
????
= ????
0
+ ????
˙
????
0
div
−
→
???? (−
→
????
0
)????????
10
. . . ????????
????0
и возьмем производную по времени при ???? = 0:
˙
????
????
⃒
⃒
⃒
????=0
=
˙
????
0
div
−
→
???? (−
→
????
0
)????????
10
. . . ????????
????0
Автономная система не зависит явно от времени, поэтому полученное выражение справедливо при любом ????. Если же система не является ав- тономной, то момент времени ???? = 0 можно заменить на произвольный момент времени ????
0
и провести рассуждения, аналогичные рассуждени- ям выше, сделав замену ???? → ???? − ????
0
. Поэтому для произвольной системы обыкновенных дифференциальных уравнений имеем
˙
????
????
=
˙
????
????
div
−
→
???? (−
→
???? )????????
1
. . . ????????
????
69

Отсюда непосредственно следует
Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема: фазовый объ- ем автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений на произвольной области ее решений сохраняется тогда и только то- гда, когда div
−
→
???? (−
→
???? ) = 0
Для гамильтоновой системы
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
˙
????
????
=
????ℋ
????????
????
˙
????
????
= −
????ℋ
????????
????
−
→
???? =
(︂
−
→
????
−
→
????
)︂
,
тогда, так как функция Гамильтона считается достаточно гладкой, ее смешанные производные равны и div
−
→
???? =
∑︁
????
2
ℋ
????????
????
????????
????
−
????
2
ℋ
????????
????
????????
????
= 0,
откуда следует сохранение фазового объема гамильтоновой системы на области ее решений по только что доказанной теореме.
2.10
Обратные теоремы теории интегральных инвариантов.
Теорема 1: пусть в произвольной системе дифференциальных уравне- ний
{︃
˙
????
????
= ????
????
(−
→
???? , −
→
???? , ????)
˙
????
????
= ????
????
(−
→
???? , −
→
???? , ????)
имеет место интегральный инвариант Пуанкаре:
70

????
П
=
˛
????
∑︁
????
????
????????
????
= inv
Тогда эта система гамильтонова, то есть
∃ ℋ :
????
????
=
????ℋ
????????
????
,
????
????
= −
????ℋ
????????
????
Доказательство
Так как контур ???? есть результат переноса точек начального контура
????
0
под действием исследуемой системы уравнений, то можно выразить переменные на этом контуре через переменные на начальном контуре и перейти от интегрирования по контуру ???? к интегрированию по контуру
????
0
:
????
П
=
˛
????
∑︁
????
????
????????
????
=
˛
????
0
∑︁
????
????
(−
→
????
0
, −
→
????
0
, ????)????????
????
(−
→
????
0
, −
→
????
0
, ????)
Возьмем производную по времени от полученного выражения в началь- ный момент времени:
˙
????
П
=
˛
????
0
∑︁
˙
????
????
????????
????
+ ????
????
???? ˙
????
????
=
˛
????
0
∑︁
????
????
????????
????
+ ????
????
????????
????
Но
????(????
????
????
????
) = ????
????
????????
????
+ ????
????
????????
????
,
поэтому
????
????
????????
????
= −????
????
????????
????
+ ????(????
????
????
????
),
откуда, учитывая, что интеграл по контуру от полного дифференциала равен нулю, получим
˙
????
П
=
˛
????
0
∑︁
????
????
????????
????
− ????
????
????????
????
= 0 71

Равенство нулю следует из того, что ????
П
— инвариант. Так как ????
0
—
произвольный контур, то равенство нулю возможно только если подын- тегральная функция — полная производная некоторой функции. Обо- значим эту функцию за −ℋ. Тогда
∑︁
????
????
????????
????
− ????
????
????????
????
= −????ℋ(−
→
???? , −
→
???? , ????) = −
∑︁
????ℋ
????????
????
????????
????
+
????ℋ
????????
????
????????
????
В полном дифференциале не участвует производная по времени, так как рассматриваемые контуры изохронные, то есть на каждом выбранном контуре ???? = ????????????????????. Из последнего соотношения следует
????
????
=
????ℋ
????????
????
,
????
????
= −
????ℋ
????????
????
Теорема доказана.
Теорема 2: пусть в произвольной системе дифференциальных уравне- ний
{︃
˙
????
????
= ????
????
(−
→
???? , −
→
???? , ????)
˙
????
????
= ????
????
(−
→
???? , −
→
???? , ????)
имеет место интегральный инвариант типа Пуанкаре-Картана:
???? =
˛
????
∑︁
????
????
????????
????
− Φ(−
→
???? , −
→
???? , ????)???????? = inv
Тогда эта система гамильтонова, причем
Φ = ℋ + ˙
????(????),
где ????(????) — произвольная функция.
Доказательство
???? — интегральный инвариант типа Пуанкаре-Картана, то есть он имеет место для любых контуров, согласованных с начальным контуром, поэто- му он имеет место и для изохронных контуров (если начальный контур изохронный). Но на изохронном контуре ???????? = 0, поэтому имеет место
72