Файл: 1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами умножение на число, сложение, умножение матриц.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.04.2024
Просмотров: 81
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.
О пределение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов.
Матрицы широко применяются для описания экономических объектов и процессов. Элементами матрицы могут быть числа, буквы (символы) и другие объекты.
Матрицы обозначают прописными (заглавными) буквами A, B, C, …, элементы матрицы – строчными буквами с двойной индексацией aij, где i - номер строки, j - номер столбца:
Виды матриц:
1) Матрица-строка: ;
2) Матрица-столбец: ; 3) Нулевая матрица: ;
4) Квадратная матрица – если (например n = 2): ;
5) Диагональная матрица (напр. 3-го порядка, где любые числа ): ;
6) Единичная матрица (например, 3-го порядка)
Операции над матрицами
-
Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы A на число называется матрица ,элементы которой для
Пример. Вычислить , если . Р е ш е н и е: .
Если , то (нулевая матрица того же размера).
-
Сложение матриц.
Суммой матриц и одинакового размера называется матрица , элементы которой
для
Пример. Вычислить С = А + В, если . Р е ш е н и е: .
-
Вычитание матриц.
Разность матриц одинакового размера определяется как .
-
Умножение матриц.
Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй (условие согласованности). Тогда произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы :
, где
Пример. Вычислить произведение матриц , где , .
Р е ш е н и е.
Найдем размер матрицы произведения , следовательно, умножение возможно.
= .
Свойства операций сложения и умножения матриц
-
. 5) . -
. 6) . -
. 7) . -
.
8) (в общем случае). Кроме того, если существует, то может вообще не существовать.
9) , где - единичная квадратная матрица.
10) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. если , то не следует, что или .
Пример. , , но .
-
Возведение в степень.
Целой положительной степенью квадратной матрицы называют произведение матриц, равных , т.е. .
-
Транспонирование матриц.
Транспонирование матрицы есть переход матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.
, ,
т.е. если имеет размер , то
имеет размер .
Свойства операции транспонирования.
-
. 3) . -
. 4) .
2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.
Определители и их свойства
Понятие определителя - число, характеризующее квадратную матрицу , необходимо для решения систем линейных алгебраических уравнений.
Определитель матрицы обозначают , , .
1) Определителем матицы 1-го порядка , называется элемент : ;
2) Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:
. Произведения называются членами определителя 2-го порядка.
Пример. Вычислить определитель матрицы . Р е ш е н и е. .
3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:
.
Данная формула получила название правила треугольников или правило Сарруса.
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться следующей схемой, показывающей произведения каких элементов берутся со знаком “+”, а каких со знаком “-“:
П
ример. Вычислить определитель . Р е ш е н и е. .
4) Определитель квадратной матрицы -го порядка (определитель -го порядка).
Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка. Зачеркнем элемент матрицы, стоящий на пересечении