Файл: 1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами умножение на число, сложение, умножение матриц.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.04.2024
Просмотров: 77
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
-й строки и -го столбца. В результате получается матрица порядка . Пусть дана матрица n-го порядка:
.
Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы -го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием -й строки и -го столбца.
Н апример минором матрицы 3-го порядка будет:
Определение. Алгебраическим дополнением элемента матрицы -го порядка называется минор, взятый со знаком :
.
Пример. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы
.
Р е ш е н и е:
Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
(разложение по элементам -й строки; ).
(разложение по элементам -го столбца; ).
Пример. Вычислить определитель разложением по элементам
а) 1-й строки; б) 1-го столбца.
Р е ш е н и е. а) , б) .
Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки (столбца) в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель всех элементов.
10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , где , а и - матрицы -го порядка.
Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисления для определителей высоких порядков. При этом с помощью свойств 1-9 желательно преобразовать исходную матрицу таким образом, чтобы она имела строку (столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом вычислить определитель, разложенный по этой строке (столбцу).
3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.
Для каждого числа существует обратное число такое, что произведение . Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.
Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:
.
Только квадратная матрица может иметь обратную, однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.
Определение. Матрица является невырожденной (неособенной), если , в противном случае при матрица называется вырожденной (особенной).
Теорема(необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной (неособенной) и вычисляется по формуле
,
где - присоединенная матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы, т.е. .
Необходимость. Пусть матрица
имеет обратную , т.е. . По свойству 10 определителей имеем: , т.е. и .
Достаточность. Пусть . Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка , называемую присоединенной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы , транспонированной к . Тогда элементы произведения матриц определяются по правилу умножения матриц. Поэтому матрица В является диагональной, элементы ее главной диагонали равны определителю исходной матрицы. А произведение на равно той же матрице В: .
Единственность обратной матрицы. Предположим, что существуют еще матрицы и такие, что и , где матрица получена по формуле и выполняются равенства и . Тогда, умножая на слева первое из них, получаем: , откуда , т.е. . Аналогично, умножая второе равенство на справа, получаем . Единственность доказана.
Алгоритм вычисления обратной матрицы.
Пример. Найти матрицу, обратную данной: .
Р е ш е н и е.
1) Определитель матрицы
.
Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы -го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием -й строки и -го столбца.
Н апример минором матрицы 3-го порядка будет:
Определение. Алгебраическим дополнением элемента матрицы -го порядка называется минор, взятый со знаком :
.
Пример. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы
.
Р е ш е н и е:
, | , | , | | | |
, | , | , | | | |
Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
(разложение по элементам -й строки; ).
(разложение по элементам -го столбца; ).
Пример. Вычислить определитель разложением по элементам
а) 1-й строки; б) 1-го столбца.
Р е ш е н и е. а) , б) .
Свойства определителей
-
Если какая-либо строка (столбца) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0. -
Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число ,то ее определитель умножится на это число .
Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки (столбца) в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель всех элементов.
-
При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: . -
При перестановки двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный. -
Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0. -
Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0. -
Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0. -
Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число. -
Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа .
10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , где , а и - матрицы -го порядка.
Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисления для определителей высоких порядков. При этом с помощью свойств 1-9 желательно преобразовать исходную матрицу таким образом, чтобы она имела строку (столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом вычислить определитель, разложенный по этой строке (столбцу).
3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.
Обратная матрица
Для каждого числа существует обратное число такое, что произведение . Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.
Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:
.
Только квадратная матрица может иметь обратную, однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.
Определение. Матрица является невырожденной (неособенной), если , в противном случае при матрица называется вырожденной (особенной).
Теорема(необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной (неособенной) и вычисляется по формуле
,
где - присоединенная матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы, т.е. .
Необходимость. Пусть матрица
имеет обратную , т.е. . По свойству 10 определителей имеем: , т.е. и .
Достаточность. Пусть . Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка , называемую присоединенной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы , транспонированной к . Тогда элементы произведения матриц определяются по правилу умножения матриц. Поэтому матрица В является диагональной, элементы ее главной диагонали равны определителю исходной матрицы. А произведение на равно той же матрице В: .
Единственность обратной матрицы. Предположим, что существуют еще матрицы и такие, что и , где матрица получена по формуле и выполняются равенства и . Тогда, умножая на слева первое из них, получаем: , откуда , т.е. . Аналогично, умножая второе равенство на справа, получаем . Единственность доказана.
Алгоритм вычисления обратной матрицы.
-
Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица - вырожденная и обратной матрицы не существует. Если , то матрица невырожденная и обратная матрица существует. -
Находим матрицу , транспонированную к . -
Находим алгебраические дополнения элементов и составляем из них присоединенную матрицу . -
Составляем обратную матрицу по формуле . -
Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения: .
Пример. Найти матрицу, обратную данной: .
Р е ш е н и е.
1) Определитель матрицы