Файл: Автоматизация_Staroverov1.doc

Для десятичной системы счисления й — 10 и а_г — 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Так как цифры, состоящие из единиц и нулей, могут воспри­ниматься как десятичные или двоичные числа, то при их совмест­ном применении обычно указывается основание системы счисле­ния, например (1100)₂—двоичная система, (1100)_1о—деся­тичная.

В цифровых ЭВМ широко применяются системы, отличные от десятичной: двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Двоичная система счисления. Для этой системы й = 2, и здесь допускается существование только двух цифр, т. е. а_г — 0 или 1.

Любое число, выраженное в двоичной системе, представляется в виде суммы произведения степеней основания два, умноженных на двоичную цифру данного разряда. Например, число 101,01

можно записать так: 101,01 = 1 Х2² + 0x2^і + 1 Х2° + 0х2^-1 +

+ 1 х2 ², что соответствует числу в десятичной системе: 4 +

+ 1 + 0,25 = 5,25.

В большинстве современных цифровых ЭВМ двоичную систему счисления используют для представления чисел в машине и вы­полнения над ними арифметических операций.

Двоичная система счисления по сравнению с десятичной поз­воляет упростить схемы и конструкции арифметического и запо­минающего устройства, повысить надежность ЭВМ. Цифра каж­дого разряда двоичного числа представляется состояниями «вклю- чено-выключено» таких элементов, как транзисторы, диоды, маг­нитные сердечники, которые надежно работают в состояниях «включено-выключено».

К недостаткам двоичной системы относится необходимость перевода по специальной программе исходных цифровых данных в двоичную систему счисления, а результатов решения — в деся­тичную. .

Восьмеричная система счисления. Эта система имеет основа­ние d = 8. Для изображения чисел используются цифры: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.

Восьмеричную систему счисления используют в ЭВМ как вспомогательную при подготовке задач к решению (в процессе программирования), при проверке работы машины и отладке про­граммы. Эта система дает более короткую запись числа по сравне­нию с двоичной системой. Восьмеричная система счисления позво­ляет просто перейти к двоичной системе.

Шестнадцатеричная система счисления. Эта система имеет основание d = 16. Для изображения чисел используется 16 зна­ков: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; А; В; С; D; Е; F; причем знаки А ... F изображают десятичные числа 10; 11; 12; 13; 14 и 15. Шестнадцатеричное число (1D4F)₁₆ будет соответствовать десятич­ному 7503, так как (1D4F)₁₈ — 1 ХІ6³ + 13Х 16^а + 4Х16¹ + -f 15X16» = (7503)_1О .

Шестнадцатеричная система счисления позволяет более ком­пактно записывать двоичные цифры по сравнению с их записью в восьмеричной системе счисления. Она находит применение в устройствах ввода и вывода и устройствах изображения порядков чисел некоторых ЭВМ.

Двоично-десятичная система счисления. Представление числа в двоично-десятичной системе осуществляется следующим обра­зом. За основу берут десятичную запись числа, а затем каждую ее цифру (от 0 до 9) записывают в виде четырехразрядного двоич­ного числа, называемого тетрадой, т. е. для изображения каждой цис}юы десятичной системы применяют не один знак, а четыре.

Например, десятичное число 647,59 будет соответствовать двоично-десятичному числу 0110 0100 0111, 0101 1001.

Двоично-десятичная система счисления используется как про­межуточная система счисления и для кодирования входных и вы­ходных чисел.

2. ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА ОДНОЙ СИСТЕМЫ

СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ

Обмен информацией между устройствами ЭВМ произ­водится в основном числами, представленными в двоичной системе счисления. Однако пользователю информация выдается числами в десятичной системе счисления, а адресация команд представля­ется в восьмеричной системе счисления. Отсюда возникает необ­ходимость в процессе работы ЭВМ переводить числа из одной си­стемы в другую. Для этого пользуются следующим общим пра­вилом.

Чтобы перевести целое число из любой системы счисления в другую, необходимо последовательно де­лить это число на основание новой системы до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя. Число в новой системе следует записывать в виде остатков деления, начиная с послед­него, т. е. справа налево.

Например, переведем десятичное число 1987 в двоичную си­стему счисления:

1

Число 1987 десятичной системы в двоичной системе составит 11111000011, т. е. (1987)₁₀ = (11111000011)_а.

При переходе от к а к о й-л ибо системы к де­сятичной число представляют в виде суммы степеней осно­вания с соответствующими коэффициентами, а затем подсчитывают значение суммы.

Например, переведем восьмеричное число 123 в десятичное! (123)₈ = 1 х8^а + 2x8^і + 3x8° = 64 + 16 + 3 = 83, т. е. (123)₈ = (83)₁₀.

Для перевода дробной части числа из любой системы в другую надо провести последовательное умножение этой дроби и получающихся дробных частей произ­ведения на основание новой системы счисления. Дробная часть числа в новой системе формируется в виде целых частей получаю­щихся произведений, начиная с первого. Процесс умножения продолжают до тех пор, пока не будет вычислено число с заданной точностью.

Например, переведем десятичную дробь 0,65625 в двоичную систему счисления:

1. 25000 3-є произведение

^х 2

0. 50000 4-е произведение

^х 2

0. 00000 5-е произведение

Так как дробная часть 5-го произведения состоит из одних нулей, то дальнейшее умножение является излишним. Это озна­чает, что заданная десятичная дробь переводится в двоичную систему без погрешности, т. е. (0,65625)₁₀ = (0,10101)_й.

Перевод из восьмеричной и шестнадцатеричной систем исчис­ления в двоичную и обратно не сложен. Это объясняется тем, что их основания (й — 8 и А = 16) соответствуют целым степеням двух (2® = 8 и 2⁴ — 16).

Для перевода восьмеричных или шестнад­цатеричных. чисел в двоичную систему счис­ления достаточно каждую их цифру заменить соответственно трех- или четырехразрядным двоичным числом.

Например, переведем восьмеричное число (571)₈ и шестнадца­теричное число (179)_1в в двоичную систему счисления.

В обоих случаях получаем одинаковый результат, т. е. (571)₈ —

(179)_1в = (101111001)*.

Для перевода числа из двоично-десятичной си­стемы счисления в десятичную необходимо каждую тетраду числа, представленную в двоично-десятичной системе счисления, заменить цифрой, представленной в десятич­ной системе счисления.

Например, запишем число (0010 0001 1000, 0110 0001 ОПОЬ—ю в десятичной системе счисления, т. е.

(0010 0001 1000, ₄0110 0001 0110)₂_ш = (218,625)10.

3. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ В ЭВМ.

МАШИННЫЕ КОДЫ

Существуют две основные формы представления чисел в вычислительной машине: естественная (с фиксированной запя­той) и нормальная (с плавающей запятой). В зависимости от этого ЭВМ также подразделяются на две группы: вычислительные ма­шины, работающие с числами с фиксированной запятой, и ма­шины, работающие с числами с плавающей запятой.

Естественная форма записи. Число представляют в виде последовательности двоичных цифр, разделенных запятой на це­лую и дробную части. Запятая фиксируется перед старшим циф­ровым разрядом. Это обеспечивает гарантию того, что в процессе умножения произведение никогда не может получи-т-ся больше единицы. Каждую двоичную цифру записывают в строго опреде­ленном разряде. Специальный разряд отводят для представления знака числа. Если это число положительное, то в знаковом разряде записывается нуль, если отрицательное число—единица.

В современных ЭВМ (типа СМ) запятую фиксируют справа от самого младшего разряда и таким образом все числа представля­ют целыми.

В разрядной сетке ЭВМ, работающих с числами с фиксирован­ной запятой, для представления числа помимо знакового разряда выделяют п двоичных разрядов. «Вес» каждого разряда изменяется от минимального значения (2~^п) до максимального (—2~'). Сле­довательно, числа могут быть представлены от минимального отрицательного числа (А_шш)_а = 1,11 ... 1 до максимального по­ложительного (А_тах)_а = 0,11 ... 1. Для представления чисел с фиксированной запятой, которые не укладываются в диапазоне от А_юШ до А_Шах» используют масштабные коэффициенты. С их помощью исходные, промежуточные и конечные результаты умно­жения на масштабные коэффициенты должны находиться в задан­ном диапазоне.

Подбор масштабных коэффициентов обычно представляет собой трудоемкую работу и определяется квалификацией математика- программиста, что является недостатком естественной формы пред­ставления чисел.

Нормальная форма представления чисел. В ЭВМ, работающей с числами с плавающей запятой, числа представляются в виде двух групп цифр: мантиссы и порядка числа. Здесь число А может быть записано в форме

А = а X йр, '

где а — цифровая часть числа (мантисса); р — целое положи­тельное или отрицательное число, называемое порядком', й — ос­нование системы счисления.

Число 123,45 в десятичной системе может быть записано так! 123,45 = 0,12345X 10³= 0,012345х10⁴ и т. д. Числа 0,12345 и

0. 012345 — это мантиссы; 10 — основание десятичной системы счисления; числа 3 и 4 — порядки.

Для ввода числа в нормальной форме в ЭВМ оно записывается следующим образом: +0,12345 + 3 или +0,012345 + 4. Отрица­тельный знак у порядка возникает при представлении в нормаль­ной форме дробей. Число 0,00321 = 0,321 x10”® или +321—2.

Числа, представленные в такой форме, могут быть нормализо­ваны, т. е. приведены к виду, когда первая цифра после запятой отлична от нуля. Нормализация представления чисел позволяет сохранить в разрядной сетке большое количество значащих цифр, что повышает точность вычислений.

В зависимости от типа ЭВМ все вводимые в нее данные (сиг­налы) соответственно кодируются. Кодом называется способ вы­ражения информации системой цифр, символов, отметок или сиг­налов. Для представления числовых значений применяются пря­мой, обратный и дополнительный коды.

Прямой код основан на представлении чисел в виде их абсо­лютного значения с кодом соответствующего знака: плюса или ми­нуса. Число А в прямом коде обозначается [А ]_пр. Прямой код двоичного числа совпадает по изображению с записью самого числа, но в разряде знака ставится 1, если число отрицательное. Например, запишем двоичные числа +0,1101 и —0,1101 в пря­мом коде. Если А = +0,1101, то [А ]_пр = 0,1101; если А =

• —0,1101, то Ш_пр = 1,1101.

Прямой код в ЭВМ используется для представления положи­тельных чисел при их сложении в арифметических устройствах, для записи положительных и отрицательных чисел в памяти, а также в устройствах ввода-вывода.

Число А в обратном коде обозначается [А ]_оСр. Если двоич­ное число А является положительным (Л > 0), то обратный код этого числа совпадает с прямым кодом, т. е. [А ]_0(5р = [А 1™ = А. Если А < 0, то обратный код получают следующим образом. В знаковом разряде записывается единица, а в разрядах мантиссы единицы заменяют на нули, а нули на единицы. Например, если А = —1,1010101, то [Л]_обр = 1,0101010.

Обратный код используется для замены вычитания сложением.

Число А в дополнительном коде обозначается [А ]_доп. До­полнительный код положительного числа совпадает с его прямым кодом, т. е. при А > 0 [А ]_доп = [A lup = А. Для отрицательного числа дополнительный код получается по следующему правилу. В знаковом разряде записывается единица, а в разряде мантиссы нули заменяются единицами, а единицы — нулями (аналогично тому, как это выполняется в обратном коде), после чего к млад­шему разряду прибавляется единица.