Файл: Модели организации и планирования производства.docx

Определим объемы выпуска каждого вида продукции, при которых доход от реализации будет максимальным.

Обозначим переменные:

х1 – объемы выпуска шайбы, х2 – гайки, х3 - болты (тонн).

Целевая функция:

F=90x1+140x2+200х3  max

Условия ограничений:

0,5*23х1+0,8*23х2+1,1*23 ≤ 300+2*23 – для сырья

0,4*23х1+0,6*23х2+23 ≤ 250+2*23 – для оборудования

0,5*23х1+0,7*23х2+0,9*23 ≤ 200+5*23 – для электроэнергии

Количество тонн не может быть отрицательным, поэтому х1≥ 0; х2≥ 0; х3≥0.

Таким образом получаем математическую модель задачи:

F=90x1+140x2+200х3  max

11,5х1+18,4х2+25,3х3 ≤ 346

9,2х1+13,8х2+23х3 ≤ 296

11,5х1+16,1х2+20,7х3 ≤ 315

х2 ≤ 5/23

х1 ≤ 23

х1≥ 0; х2≥ 0; х3≥0.

Далее переходим к нахождению неизвестных х1, х2, х3 симплекс-методом.

Запишем ограничения в каноническом виде:

11,5х1 + 18,4х2+ 25,3х3+ х4= 346

9,2х1 + 13,8х2+ 23х3+ х5= 296

11,5х1 + 16,1х2 + 20,7х3+ х6= 315

Х2+х7=0,217

Х1+х8=23

Выразим базисные неизвестные и целевую функцию Z через свободные неизвестные:

Z=0-(90х1+140х2+200х3+0х4+0х5+0х6+0х7+0х8)  min

11,5х1+18,4х2+25,3х3+х4=346

9,2х1 + 13,8х2+ 23х3+х5=296

11,5х1 + 16,1х2 + 20,7х3+х6=315

Х2+х7=0,217

Х1+х8=23

Общее решение системы запишется в виде:

Z=0-(90х1+140х2+200х3+0х4+0х5+0х6+0х7+0х8)  min

Х4=346 - (11,5х1+18,4х2+25,3х3)

Х5=296 - (9,2х1 + 13,8х2+ 23х3)

Х6=315 - (11,5х1 + 16,1х2 + 20,7х3)

Х7=0,217-х2

Х8=23-х1

Составим симплекс таблицу:

базис	bi	х1	х2	х3	Di = bi/разрешающий
z	0	-90	-140	-200	-200/0=0
х4	346	11,5	18,4	25,3	346/25,3=13,67588933
х5	296	9,2	13,8	23	296/23=12,86956522
х6	315	11,5	16,1	20,7	315/20,7=15,2173913
х7	0,217	0	1	0
х8	23	1	0	0

---

Текущий план неоптимальный, так как в целевой функции находятся отрицательные коэффициенты.

Выбираем в строке ????, не считая свободного члена любое положительное число – генеральный столбец.

В столбце ???????? среди положительных чисел, не считая строки ????, выбрать то, для которого отношение к нему свободного члена будет минимально.

- разрешающий элемент

Пересчет симплекс-таблицы. Вместо переменной х5 в базис войдет х3. Запишем на месте генерального элемента 1/23. Все элементы генеральной строки делятся на генеральный элемент, за исключением самого генерального элемента. Все элементы генерального столбца, кроме генерального элемента, делятся на генеральный элемент и берутся с противоположным знаком. Все остальные элементы пересчитываются по правилу прямоугольника.























Получаем новую симплекс-таблицу:

базис	bi	х1	х2	х5	Di = bi/разрешающий
z	2573,91304	-10	-20	8,69565	2573,91304/-20= -128,6955
х4	20,4	1,38	3,22	-1,1	20,4/3,22=6,3354
х3	12,86956	0,4	0,6	0,04347	12,86956/0,6=21,43
х6	48,6	3,22	3,68	-0,9	48,6/3,68=13,2065
х7	0,217	0	1	0
х8	23	1	0	0	23/1=23

---

Текущий опорный план неоптимальный. Генеральным столбцом выберем столбец х2, так как это наибольший элемент по модулю. Генеральной строкой будет х4.

- разрешающий элемент

Пересчет симплекс-таблицы. Вместо переменной х4 в базис войдет х2. Запишем на месте генерального элемента 1/3,22. Остальные элементы:

базис	bi	х1	Х4	х5	Di = bi/разрешающий
z	2700,62111	-1,42857	6,21118	1,86335	2700,62111/-1,42857= = -1890,43666
х2	6,3354	0,42857	0,31055	-0,34161	6,3354/0,42857 = 14,7826
х3	9,06832	0,14285	-0,18633	0,24844	9,06832/0,14285 = 63,47826
х6	25,28571	1,64285	-1,14285	0,35714	25,28571/1,64285 = 15,3913
х7	15,36459	-0,42857	0,31055	0,34161
х8	23	1	0	0

---

Текущий опорный план неоптимальный. Генеральным столбцом выберем столбец х1, так как здесь остается отрицательное значение. Генеральная строка х4.

- разрешающий элемент

Пересчет симплекс-таблицы. Вместо переменной х1 в базис войдет х2. Запишем на месте генерального элемента 1/0,42857. Остальные элементы:

базис	bi	х2	х4	х5
z	2721,73913	3,33333	7,24637	0,72463
х1	14,7826	2,33333	0,72463	-0,7971
х3	6,95652	-0,33333	-0,28985	0,36231
х6	1,00003	-3,83333	-2,33333	1,66666
х7	-21,69999	1	0	0
х8	8,21735	2,33334	-0,72461	0,79709

---

В строке целевой функции нет отрицательных элементов, значит план оптимален.

Найдем введенные переменные х1, х2, х3:

Х1 = 14,7826

Х2 = 0

Х3 = 6,95652

Z(max) = Z (14,7826; 0; 6,95652) = 2721,73913

Ответ: 14,7826 – объемы выпуска шайбы в тоннах, не предусмотрен выпуск гаек, 6,9565 – объемы выпуска болтов в тоннах. Доход от реализации будет равен, при учете максимального дохода 2721,7391 у.е.

Кейс-задание №3

Составьте и решите задачу двойственную к кейс-заданию №1. Интерпретируйте результаты. Проверьте выполнение теорем двойственности.

	Сырье	Оборудование	Электроэнергия	Прибыль (у.е./т)
Шайбы	11,5	9,2	11,5	90
Гайки	18,4	13,8	16,1	140
Ограничения по ресурсам	346	296	315

Пусть х1 – объемы потребления сырья, х2 - оборудования, х3 – электроэнергии.

Z=346х1 + 296х2 + 315х3 → min
11,5х1 + 9,2х2 + 11,5х3 ≥ 90
18,4х1 + 13,8х2+ 16,1х3 ≥ 140
х1≥0, х2≥0, х3≥0

Запишем математическую модель двойственной задачи и решим м-методом.

Введём искусственные неизвестные:

λ1 = 90 – (11,5х1+9,2х2+11,5х3)

λ2 = 140 – (18,4х1+13,8х2+16,1х3)

Сложим левые и правые части равенств λ1 и λ2 и обозначим сумму буквой S:

( 1 )……… S = 230 – (29,9х1+23х2+27,6х3)

Умножим обе части равенства ( 1 ) на достаточно большое положительное число М и получим:

( 2 )……… MS = 230М – (29,9Мх1+23Мх2+27,6Мх3)

Запишем функцию Z в стандартном виде:

( 3 )……… Z = 0 – (-346х1-296х2-315х3)

Сложим равенства ( 2 ) и ( 3 ) и найдём выражение минимизируемой функции G для М-задачи:

G = 230М – ((29,9М-346)х1+(23М-296)х2+(27,6М-315)х3)

Составим симплекс-таблицу М-задачи:

Базис	bi	Х1	Х2	Х3	Min
Z	230М	29,9М-346	23М-296	27,6М-315
λ1	90	11,5	9,2	11,5	90/11,5 = 7,83
λ2	140	18,4	13,8	16,1	140/18,4 = 7,6

---