Файл: Е. Г. Крушель, А. Э. Панфилов осваиваем mathcad.pdf

рентабельны. Мы понимаем, что задача не всегда имеет решение: может оказаться, что окружность и прямая вовсе не пересекаются. На рис. 4.1 по- казаны два случая: а) – решение существует, б) – решение не существует.
Рис. 4.1. Графическая иллюстрация к поста ке задачи:
(а) решение задачи существует; (б) решения отсутствуют. нов
Кроме того, ясно, что если решение существует, то могут быть либо точки пересечения, либо окружности).
ние этапа 1
ольной форме, получить от- вет неотрицательно.
), при л- нени чных решения (пря- мая
2
одна (если прямая касается завершено.
Выполне
15.4. Выполнение этапа 2 «Составление словесного описания
алгоритма»
(без компьютера).
Словесное описание алгоритма
:
1. Составить уравнение окружности с параметрами (радиус окруж- ности r, координаты ее центра c (абсцисса) и c (ордината)).
1
2
2. Составить уравнение прямой линии с параметрами a и b.
3. Составить систему уравнений для точек пересечения (эти точки должны удовлетворять как уравнению окружности, так и уравнению прямой, см. рис. 4.1-а).
4. Решить эту систему уравнений в симв в виде координат двух точек пересечения.
5. Проанализировать решение. По смыслу задачи (рис. 4.1-б) в реше- ние элемент казывающие чт должны войти ы, по
, о решение может не су- ществовать. Зная уравнение окружности, догадываемся, что эти элементы будут входить в формулу под корнем, извлечение которого возможно только в том случае, если подкоренное выражение
6. Находим соотношение между параметрами задачи (a, b, r, c
1
, c
2
ажение будет положительным. При выпо которых подкоренное выр и этого соотношения задача будет иметь 2 разли ть в двух точках). линия пересечет окружнос
134

7. Находим соотношение между параметрами задачи (a, b, r, c
1
, c
2
), при т равно 0. При выполнении этог соотношения задача будет иметь одно решение (прямая линия кос- нетс
)
Порядок действий следует пунктам 1, 2, 3 алгоритма, разработанного на этапе 2.
15.5.1. Выполнение пунктов 1, 2 алгоритма
: составление уравне-
ний окружности и прямой линии.
Из курса математики известно урав- нение прямой Y = a
⋅X + b (параметр a характеризует наклон прямой по отношению к абсциссе X, а параметр b показывает, на какой отметке прямая линия пересекает ординату Y при X = 0). Также из курса мате- матики известно уравнение окружности (X–c
1
)
2
+ (Y–c
2
)
2
= r
2
(параметры
c
1
и c
2
– координаты центра окружности, параметр r – ее радиус).
15.5.2. Выполнение пункта 3 алгоритма
: составление системы
уравнений для точек пересечения
(эти точки должны удовлетворять как уравнению окружности, так и уравнению прямой, см. рис. 4.1-
Составля выражения
(аналогично п но записать с ис
M>
), укаж олбцов (columns) 1. В появившуюся
«заг зуя
жир
которых подкоренное выражение буде о я окружности в одной точке).
8. Находим соотношение между параметрами задачи (a, b, r, c
1
, c
2
), при которых подкоренное выражение будет отрицательным. При выпол- нении этого соотношения задача не будет иметь решений (прямая линия не пересекает окружность).
Выполнение этапа 2
завершено.
5.5. Выполнение этапа 3 «Формализация задачи» (на компьютере
1
а).
ем вектор, компонентами которого будут эти римеру 2 п. 14.4.1). Помним, что уравнения нуж пользованием жирного знака равенства +<=>.
Образуйте «заготовку» для ввода вектора уравнений (можно через
Мен е) с помощью клавиш <Ctrl>+<
ю Insert – Matrix, лучше (быстре е число строк (rows) 2, число ст ит отовку» для вектора введите строки системы уравнений, исполь
). Должно получиться:
ный
знак равенства (<Ctrl>+<=>
⎡⎢
Y
a X
⋅
−
−
(
b)
0
⎤
X
c 1
−
(
)
2
Y c 2
−
(
)
2
+
r
2
−
0
⎢
⎣
⎥
⎥
⎦
(4.1) точку.
Здес
ч
) 1, при этом каретка смещается на 0.5 меж-
Набор c
1
и c
2
–
через так называемую КОСМЕТИЧЕСКУЮ
ь цифры 1 и 2 – не индексы, а просто запись идентификатора в фор- ме, принятой в научной литературе: вместо c1 записываем c
1
для красо- ты. Набираем так: с (то ка
строчного интервала. НЕ НУЖНО ПУТАТЬ с индексом, который наби- рается с помощью квадратной скобки [.
Напоминание
: для набора показателя степени используйте клавиши <
Shift
>+<6> (кла- виша 6 – в верхнем ряду, где
^
).
Выполнение этапа 3
завершено.
135

15.6. Выполнение этапа 4 «Решение» (на компьютере)
15.6.1. Выполнение пункта 4 алгоритма
:решение системы урав-
нений, определяющих координаты точек пересечения
, получение от- вета дите, будет огромным. Мы видим, что он пред
2
×2. в символьном виде (в виде формул для расчета координат двух точек пересечения по заданным параметрам прямой (a, b) и окружности (c
1
, c
2
, r
)).
После этого делайте так, как в примере 2 п. 14.4.1 описания сим- вольных вычислений. Кратко:
ƒ
Охватите синим контуром ф-лу (4.1);
ƒ
Введите символьный знак равенства клавишами <Ctrl>+
+<точка>
;
ƒ
В слот введите через запятые запрос на решение и перечень ис- комых переменных solve,X,Y и щелкните левой кнопкой мыши где- нибудь вне формулы.
Ответ, который Вы уви ставлен в форме матрицы размера
136

Первый столбец ответа выглядит так: второй столбец ответа выглядит так:
(4.2 а)
13 7
(4.2 б)

«Расшифруем» ответ Mathcad. Верхняя строка даст абсциссу (эле- мент матрицы с индексами 0,0) и ординату (элемент матрицы с индекса- ми 0,1) первой точки пересечения, а вторая – то же для второй точки
(элементы матрицы с индексами 1,0 и 1,1):
1
,
1 0
,
1 1
,
0 0
,
0
Элемент
Элемент
Элемент
Элемент
Нужно привыкнуть, что нумерация элементов массива в Mathcad сле- дует американскому стилю (не с 1, а с нуля!).
Просмотрите полученный ответ. А теперь представьте, сколько ошибок в выкладках Вы сделали бы, если бы выводили такое выражение вручную!
15.6.2. Выполнение пункта 5 алгоритма:
анализ решения.
1) Подготовительные операции. Скопируйте ответ (только ответ!) целиком: охватите его синим контуром, затем используйте иконку «ко- пия» или лучше (быстрее) нажмите <Ctrl>+. Копия будет передана в буфер для хранения и для последующего использования.
Присвойте скопированной матрице какой-либо идентификатор (на- пример, Z – прописная литера), нажмите <двоеточие> и в появившийся слот введите копию из буфера (либо иконкой «извлечь из буфера», либо нажмите <Ctrl>+). Получится (формула приведена не полностью, из- за своего большого размера):
Z
1 2 a
2 1
+
(
)
⋅
2
− a
⋅ b
⋅
2 c 2
⋅
a
⋅
+
2 c 1
⋅
+
2 2
− a
⋅ b
⋅ c 1
⋅
2 c 2
⋅
a
⋅ c 1
⋅
a
2
c 1 2
⋅
−
+
+
⎛
⎝
⋅
+
⎡
⎢
⎢
⎣
⋅
1 2 a
2 1
+
(
)
⋅
2
− a
⋅ b
⋅
2 c 2
⋅
a
⋅
+
2 c 1
⋅
2 2
− a
⋅ b
⋅ c 1
⋅
2 c 2
⋅
a
⋅ c 1
⋅
a
2
c 1 2
⋅
−
+
+
⎛
⎝
⋅
−
+
⎡
⎢
⎢
⎣
⋅
⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
:=
(4.3)
Итак, мы заготовили матрицу, в которой записан ответ задачи: коор- динаты точек пересечения окружности и прямой линии.
2) Нахождение фрагментов формул, по которым можно устано-
вить, имеется ли решение
. Как указывалось в описании алгоритма, по смыслу задачи (рис. 4.1-б) в решение должны войти элементы, показы- вающие, что решение может не существовать. Мы видим, что в каждом из элементов матрицы Z имеется одинаковое выражение в форме квад- ратного корня:
2
− a
⋅ b
⋅ c 1
⋅
2 c 2
⋅
a
⋅ c 1
⋅
+
a
2
c 1 2
⋅
−
a
2
r
2
⋅
+
c 2 2
−
b
2
−
2 c 2
⋅
b
⋅
+
r
2
+
⎛
⎝
⎞
⎠
1 2
(4.4)
…
…
138

139
Из курса элементарной математ
Вы знаете, что извлечен орня возможно только в том случае, когд дкоренное выражение неотрица-
тельно
. Следовательно, для того чт гарантировать наличие ния, нужно, чтобы соотношение параметров задачи (a, b, c
1
, c
2
, r
) было таким, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.
15.6.3. Выполнение п. 6, 7, 8
ритма
: нахождение соотношения
между параметрами задачи (a, b, r, c
1
, c
2
)
, при которых подкоренное выражение будет:
ƒ
Положительным. При выполнении этого соотношения задача бу- дет иметь 2 различных решения (прямая линия пересечет окружность в
двух
точках).
ƒ
Нулевым. При выполнении этого соотношения задача будет иметь
2 различных решения
(будут получены 2 варианта прямых линий, каж- дая из которых будет касаться окружности в одной точке на противопо- ложных концах диаметра окружности).
ƒ
Отрицательным. При выполнении этого соотношения задача не
будет иметь
решения (прямая линия не пересечет окружность).
1) Предварительные замечания.Мы видим, что граница между об- ластью параметров, в которой отсутствует решение, и областью, в кото- рой прямая линия пересекает окружность в двух точках, проходит через соотношение, в котором подкоренное выражение равно 0.
ики а по обы ие к реше
алго
2
− a
⋅ b
⋅ c 1
⋅
2 c 2
⋅
a
⋅ c 1
⋅
+
a
2
c 1 2
⋅
−
a
2
r
2
⋅
+
c 2 2
−
b
2
−
2 c 2
⋅
b
⋅
+
r
2
+
⎛
⎝
⎞
⎠
0
(4.5)
Таким образом, решение вопроса о существовании точек пересече- ния прямой линии и окружности свелось к простой задаче: выразить один из параметр (любой) через все другие так, чтобы подкоренное выраже- ние получилось равным нулю.
2) Фо
ла, связывающая один из
аметров
(a, b, r, c
1
, c
2
) задачи
через ост
ые параметры, при которых подкоренное выражение рав-
но
0. Выб один из параметров (на ер, b) и выразим его через ос- тальные (
c
1
, c
2
), с использованием мвольного решения уравнения
подкоренн
ыражение =
0.
Действуем так, как в примере 1 п
.4.1 описания символьных вы- числений.
:
ƒ
Н
формулу (4.5) ОБЯЗАТЕЛЬНО через жирный знак ра- венства (<
>+<=>).
ƒ
Введите символьный знак раве а клавишами <Ctrl> +
+ <точка>
ƒ
В
т введите через запятые на решение и перечень ис- комы
solve,b и щелкните ой кнопкой мыши где-нибудь вне формулы). ов
рму
альн
ерем
a, r,
ое в
Кратко аберите
Ctrl
; сло еменных
пар
прим си
. 14
нств запрос лев х пер

Должно получиться так:
(4.6)
3) От
веты
и
. Из геом в слот и извлеките копию из буфера (луч- ше всего – клавишами <Ctrl>+<V>).
Получится: а) Условия, при которых прямая линия касается окружност
етр то таких прямых ли ических соображений ясно, ч ний будет две: одна коснется окружности «сверху», а другая – «снизу», на противопо- ложном конце диаметра, проходящего через первую точку касания.
Введите идентификатор функции b1(a, c
1
, c
2
,
r) для обозначения функ- циональной зависимости параметра b от других параметров (a, c
1
, c
2
, r
),
нажмите двоеточие и в появившийся слот введите копию первого элемента вектора-решения (это будет условием касания прямой линии окружности «сверху»). Копию делайте так: охватите нужную часть фор- мулы синим контуром, нажмите <Ctrl>+<C> (т. е. скопируйте ее в бу- фер), затем установите курсор b1 a c 1
,
c 2
,
r
,
(
)
a
− c 1
⋅
c 2
+
a
2
r
2
⋅
r
2
+
(
)
1 2
+
:=
(4.7)
Затем введите другой идентификатор функции b2(a, c
1
, c
2
,
на- жмите и двоеточие и в появившийся слот введите копию второ мента вектора-решения (это будет условием касания прямой ли руж
r
) , го эле- нии ок- ности «снизу»).
Получится: b2 a c 1
,
c 2
,
r
,
(
)
a
− c 1
⋅
c 2
+
a
2
r
2
⋅
r
2
+
(
)
1 2
−
:=
(4.8)
Функции b1(a, c
1
, c
2
, r
) и b2(a, c
1
, c
2
, r
) отличаются знаком перед корнем.
Таким обра зом, ответом на вопрос о касании окружности прямой линией будет:
ЕСЛИ [b = b1(a, c
1
, c
2
, r)] ИЛИ [b = b2(a, c
1
, c
2
, r)] ТО прямая касается
окружности.
(4.9)
140

б) Условия, при которых прямая линия не пересекает окружность.
Параметр b в уравнении прямой линии показывает, на какой отметке пря- мая линия пересекает ординату, когда абсцисса равна нулю, см. п. 15.5.
Значения b1(a, c
1
, c
2
, r
) и b2(a, c
1
, c
2
, r
) определяют граничные значения этой отметки: если прямая линия пересекает ординату выше отметки
b1
(a
, ответом на вопрос об отсутствии пересечения ок- руж
, c
1
, c
2
, r
) или ниже отметки b2(a, c
1
, c
2
, r
), то она проходит выше или ниже окружности, не пересекая ее.
Таким образом ности и прямой будет:
ЕСЛИ [b > b1(a, c
1
, c
2
, r)] ИЛИ [b < b2(a, c
1
, c
2
, r)] ТО пересечение от-
сутствует.
(4.10) в) Условия, при которых прямая линия пересекает окружность в
двух точках.
Если прямая линия пересекает ординату ниже отметки b1(a,
c
1
, c
2
, r
) и выше отметки b2(a, c
1
, c
2
, r
), то она проходит через точки внут- ри и пересекает ее в двух точках.
Таким образом, ответом на вопрос об отсутствии пересечения ок- ружности и прямой будет:
ЕСЛИ [b < b1(a, c
1
,c
2
, r)] И [b > b2(a, c
1
,c
2
, r)] ТО пересечение в двух
точках .
(4.11)
Выполнение этапа 4
завершено.
15.7. Выполнение этапа 5 «Графическое построение и проверка»
(на компьютере)
ЗНО! Если задаться значениями парамет- ров первую точку. Обе эти касательные будут пара
15.7.1. Идея проверки правильности вычислений.
Представим себе, какой результат мы ожидали бы увидеть на графике, показывающем ок- ружность и касающиеся ее прямые. ТАКОЕ ПРЕДЧУВСТВИЕ
РЕЗУЛЬТАТА ВСЕГДА ПОЛЕ
(a, c
1
, c
2
, r
), а затем вычислить b1(a, c
1
, c
2
, r
), то прямая линия a
⋅ x +
b1
(a, c
1
, c
2
, r
) коснется окружности в одной из точек. Если при тех же па- раметрах (a, c
1
, c
2
, r
) вычислить b2(a, c
1
, c
2
, r
), то прямая линия a
⋅x +
b2
(a, c
1
, c
2
, r
) коснется окружности в точке на противоположном конце диаметра, проходящего через ллельными (т. к. у них одинаковый угол наклона, определяемый па- раметром a).
15.7.2. Реализация идеи.
С
1) начала проверим, правильно ли мы определили координаты то-
чек касания
. Мы уже выполнили необходимые расчеты: координаты на- ходятся в массиве Z (формула (4.3)), осталось только обозначить ответ
как функцию
переменной b. Для этого просто подправьте (не набирайте
снова
!) формулу (4.3): запишите слева Z(b) вместо Z.
141