Файл: Техническая эксплуатацияавтомобилейтеоретические и практические аспекты.pdf

Г Л А В А 2
ОПИСАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ОТРАЖАЮЩИХ
ПРОЦЕССЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ
АВТОМОБИЛЕЙ
Общие принципы описания случайных величин
Процессы, происходящие в природе и технике, можно разде- лить на две большие группы:
процессы, описываемые функциональными зависимостями,
когда имеется жесткая связь между аргументом и функцией (на- пример, всем известный закон Ома);
случайные или вероятностные процессы, когда функция отражает аргумент с некоторой вероятностью (можно напомнить, что вероят- ность события — это отношение числа случаев, благоприятствую- щих наблюдению события, к общему числу возможных случаев).
В практике ТЭА в большинстве случаев приходится иметь дело с вероятностными процессами. Например, диаметр цилиндров дви- гателя вследствие износа увеличивается неодинаково по мере нара- ботки, тем более для разных двигателей той же модели (рис.
Во многих случаях достаточно знать не функцию (регрессию)
у =
числовые характеристики совокупности случайных ве- личин
И Т.Д.
Предельный диаметр
Номинальный допуск на диаметр
Наработка двигателя х
Рис. 2.1. Возможные изменения диаметра цилиндров двигателя по мере его работы
52
Основными числовыми характеристиками случайных величин являются математическое ожидание
и среднее
отклонение
где п — число анализируемых случайных величин
р, — вероят- ность наблюдения случайной величины
Если анализируется не вся генеральная совокупность случай- ных величин, а только некоторая выборка из этой совокупности,
то в качестве меры рассеяния случайной величины используют оценку среднего
отклонения
5 =
Более наглядной характеристикой рассеянности (разброса)
случайных величин является коэффициент вариации
v =
(2.1)
В некоторых случаях математическое ожидание должно рассчи- тываться как среднее гармоническое значение
У —
Y
Поясним область применения этой формулы примером.

абсолютно верным, а результат, полученный как среднее арифметичес- кое значение путевых расходов, ошибочный.
Если рассчитывать по формуле среднего гармонического значения, то
= •
= 24-
20 30
Таким образом, математическое ожидание случайных величин с удельной размерностью нужно рассчитывать как среднее гармо- ническое значение. Примерами таких величин, дополнительно к рассмотренному, являются удельный расход топлива двигателем
(г/л. с.
удельный расход краски при окрашивании (г/м
2
) и
Наиболее полно случайная величина описывается законом рас- пределения вероятностей. Распределение вероятностей может быть представлено таблицей, графиком или формулой. Существенное значение для распределения вероятностей имеет характер случай- ной величины, которая может быть дискретной (число пассажи- ров в автобусе может быть только целым) или непрерывной (на- работка между очередными проколами колеса).
На рис. 2.2, а показано распределение вероятностей дис- кретной случайной величины (например, расхода запасных ча- стей со склада в течение дня).
Если попытаться аналогично изобразить распределение веро- ятностей непрерывной случайной величины (например, наработ- ки до отказа детали), то возникнет противоречие: конкретное значение
— это точка на непрерывной шкале и вероятность отказа именно в этот момент времени очень мала. О реальных ве- личинах вероятности отказа можно говорить, только если рас- сматривать некоторый интервал наработки Ах. Чем уже интервал,
тем меньше вероятность, но отношение
= f ( x ) будет ко- нечной величиной, характеризующей определенное значение х.
Это отношение называют плотностью вероятности. Плотность ве- роятности, представленная в виде графика (рис. 2.2, б), также позволяет судить о том, насколько часто или редко может наблю- даться то или иное значение случайной величины х.
На практике часто важно знать вероятность того, что случайная величина равна или меньше некоторого значения,
Р(х
Для закона распределения дискретной случайной величины
Р(х
X
2.2, в), для непрерывной случайной ве- личины Р(х
=
Если
0, то Р(х
=
=
=
В таком виде закон распределения вероятностей называют интегральным законом (рис. 2.2, г), а плотность распре-
54
Законы распределения вероятностей
Р(х)
а
1
Законы распределения вероятностей
Рис. 2.2. Законы распределения вероятностей значений дискретной (а и в)
и непрерывной (б и г) случайных величин деления вероятностей часто называют дифференциальным законом
распределения вероятностей. Закон распределения вероятностей дис- кретной случайной величины по рис. 2.2, в могут называть кумуля-
тивной кривой
2.2. Виды законов распределения вероятностей
Формы кривых распределения могут быть разнообразны, что зависит от особенностей рассматриваемой случайной величины и процесса, в котором рождается эта величина. Главным фактором здесь является степень наличия последействия. Процесс не имеет последействия, если состояние в будущем не зависит от того, как система пришла в настоящее состояние. Например, наработка до прокола колеса и ресурс коленчатого вала являются случайными величинами, но их распределения вероятностей различны. Если мы сегодня установили на двигатель новый коленчатый вал, то завтра он еще новый и даже через месяц работы автомобиля ко- ленчатый вал можно считать новым. Если мы сегодня установили
55

F(x)
Рис. 2.3. Экспоненциальный закон распределения вероятностей новую камеру в колесо, то никаких особых гарантий отсутствия прокола завтра, потому что камера новая, нет.
В этих примерах наработка камеры до прокола является случай- ной величиной, рождаемой без последействия, а ре- сурс коленчатого вала рождается процессом с хорошо выражен- ным последействием.
В математике известны многие законы распределения вероят- ностей случайных величин, из них в практике ТЭА достаточно широко используются пять законов [1, 10, 16, 20 — 22, 28, 29].
Экспоненциальный закон — закон, описывающий непрерыв- ные случайные величины, рождаемые процессом без последей- ствия. Закон выражается формулами
=
1 - где параметром распределения является здесь ма- тематическое ожидание случайной величины.
Для случайных величин, распределенных по экспоненциаль- ному закону, коэффициент вариации равен единице, т.е.
Формы кривых показаны на рис. 2.3.
Следует отметить, что в окружающей нас действительности очень многие явления можно отнести к процессам без последей- ствия, поэтому наше интуитивное представление часто соответ- ствует экспоненциальному закону (например, человек привыкает к опасности, потому что вначале прирост вероятности события большой, а со временем прирост уменьшается).
Случаи применения экспоненциального закона в практике ТЭА:
наработка на отказ автомобиля при выходе из строя различных деталей;
наработка на отказ (моменты возникновения потребности в замене) конкретной детали для группы одновременно работаю- щих автомобилей;
периодичность внезапных отказов деталей из-за аварии и т. п.
(например, прокол колеса);
56
время простоя автомобиля в ремонте при дефиците запасных частей.
Нормальный закон — описывает непрерывные случайные ве- личины, рождаемые процессом с хорошо выраженным последей- ствием. По предельной теореме Ляпунова, если случайная вели- чина является суммой многих случайных величин, то она хорошо описывается нормальным законом. Отсюда можно считать, что если на процесс влияет много различных факторов, то рождаемая этим процессом случайная величина будет распределена по нор- мальному закону
=
1
где
— математическое ожидание случайной величины;
сред- нее отклонение.
Интегральная функция
=
не имеет аналитиче- ского выражения, поэтому для ее построения пользуются таблич- ными значениями функции где z — квантиль (ус- аргумент, позволяющий определять значения вероятно- стей для любых совокупностей нормально распределенных слу- чайных величин). Следует отметить, что в разных литературных источниках квантиль может обозначаться различными буквами.
Формы кривых распределения показаны на рис. 2.4.
Характерной особенностью нормального закона является то,
что кривая плотности вероятности симметрична относительно математического ожидания, а кривая интегральной вероятности зеркально симметрична относительно вероятности 0,5. Поскольку с вероятностью 0,997 нормально распределенная случайная вели-
Рис. 2.4. Нормальный закон распределения вероятностей
57

чина укладывается в интервал х ± За, а в реальных условиях от- рицательных величин, как правило, не бывает, то математичес- кое ожидание не может быть меньше 30, значит, нормально рас- пределенные случайные величины имеют коэффициент вариации v 0,333. По этому условию выбирают вид закона распределения анализируемых случайных величин.
Нормальный закон распределения вероятностей в практике ТЭА
применяется при расчетах:
ресурса нормально изнашиваемых деталей;
времени простоя автомобиля в ТО и Р;
трудоемкости ТО и Р;
пробега автомобилей по календарным периодам;
расхода эксплуатационных материалов и т.п.
Закон Вейбулла — описывает непрерывные случайные вели- чины:
где а и b — параметры (эмпирические коэффициенты).
В зависимости от соотношения значений эмпирических коэф- фициентов формы кривых могут быть различны (рис. 2.5). Кривая может быть симметричной, близко совпадающей с нормальным законом, и несимметричной.
Чаще всего закон Вейбулла используют при коэффициенте ва- риации 0,4 v 0,9.
Закон Вейбулла в практике ТЭА применяется при расчетах:
ресурса деталей, разрушающихся из-за усталости;
наработки до отказа крепежных деталей;
простоев автомобиля в текущем ремонте и
Числовые характеристики случайной величины, распределен- ной по закону Вейбулла, особым образом связаны с его парамет- рами а и б.
Рис. 2.5. Закон Вейбулла
58
а Ь х а Ь х
Рис. 2.6. Закон равновероятного распределения
Закон равновероятного распределения — описывает непрерыв- ные случайные величины, которые достоверно встречаются на некотором интервале от а до и вероятность наблюдения случай- ной величины в этом интервале постоянна (рис. 2.6).
Например, если автобусы идут по маршруту с интервалом мин, то время ожидания автобуса человеком, пришедшим на остановочный пункт в случайный момент времени, будет нахо- диться в интервале мин и распределено по закону равной вероятности.
Описывается этот закон следующим образом:
f(x) = 0 при х меньше а;
=
1
при
а х
Ь-а
= 0 при х больше а;
F(x)
при а х
Закон равновероятного распределения в практике ТЭА приме- няется при расчетах:
времени простоя отказавшего технологического оборудования до прихода мастера по ремонту, если заявка в течение смены обя- зательно выполняется;
времени ожидания маршрутного транспортного средства и
Закон Пуассона — этот закон описывает дискретные случай- ные величины и является приближенным выражением более об- щего закона Бернулли. По формуле, предложенной Пуассоном,
можно определять вероятность попадания в выборку п
где объем партии объектов с определенным свойством, напри- мер, бракованных. При этом должно выполняться условие, что вероятность наблюдения бракованных изделий в партии должна быть не более
59

Распределение выражается формулой
х
где параметр распределения является математическим ожиданием случайной величины а =
Закон Пуассона в практике ТЭА применяется при определе- нии:
числа отказов для группы одновременно работающих автомо- билей в течение заданного промежутка времени (или наработки);
числа аварий или дорожно-транспортных происшествий;
числа дефектных изделий, попадающих в выборку из партии изделий;
числа клиентов, обращающихся на пункт обслуживания в еди- ницу времени;
количества запасных частей, забираемых со склада и
Контрольные вопросы
Что дает более полное представление о разбросе случайной величи- ны: среднее отклонение или ее коэффициент вариации?
2. В чем разница между средним арифметическим и средним гармони- ческим значением случайной величины?
3. Почему плотность распределения вероятностей случайной величи- ны называют дифференциальным законом распределения? Может ли этот закон описывать дискретные случайные величины?
4. Какими законами распределения описывается наработка на отказ автомобиля и наработка до предельного износа коленчатого вала?
5. Почему нормальным законом описываются значения ресурса нор- мально изнашиваемых деталей автомобиля?
6. Каким законом распределения может быть описан ресурс детали,
если его среднее значение в два раза больше среднего отклонения?
7. Каким законом распределения обычно описывается ресурс пру- жин, отказывающих из-за усталостных трещин?
8. Если известно, что в маршрутном автобусе в среднем находится
40 пассажиров, то с какой вероятностью число пассажиров будет равно
10? По какой формуле это можно подсчитать?
9. В чем разница закона распределения, представленного как F(x)
Г Л А В А 3
ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ АВТОМОБИЛЯ
КАК СЛОЖНОЙ СИСТЕМЫ
Общие представления о сложных системах
Под сложной системой понимают объект, выполняющий за- данные функции и который может быть расчленен на элементы,
каждый из которых также выполняет определенные функции и находится во взаимодействии с другими элементами. Элементы сложной системы могут иметь разнообразные выходные парамет- ры, которые с позиции надежности можно разбить на три группы
(типа):
— параметры, изменение которых с выходом за установлен- ные уровни показателей приводит к потере работоспособности элемента и системы;
— параметры, участвующие в формировании выходных па- раметров всей системы, но по которым трудно судить об отказе элемента;
— параметры, влияющие на работоспособность других эле- ментов системы аналогично изменению внешних условий работы всей системы.
Для большей наглядности возможных типов выходных пара- метров систему из двух элементов (на примере двигателя) можно представить структурной схемой (рис.
В представленной на рис. 3.1 схеме для системы
—
это пропускная способность топливного жиклера (если жиклер забит и топливо не поступает, то система питания отказывает и отказывает двигатель),
— это износ топливного жиклера (топ- ливная экономичность автомобиля ухудшается),
— образова- ние богатой смеси (двигатель перегревается и затрудняет работу системы охлаждения). В свою очередь, плохая работа системы ох- лаждения приводит к перегреву двигателя и образованию паровых пробок в системе питания — это для элемента № 2, плохая работа термостата затягивает прогрев двигателя, что приводит к снижению топливной экономичности автомобиля — это об- рыв ремня приводит к отказу системы охлаждения и отказу авто- мобиля — это Х\ для элемента № 2.
В реальных сложных системах элементы могут иметь или все три типа выходных параметров, или меньше (один или два). Во
61