Файл: Лекция 11 постоянный ток.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.03.2024

Просмотров: 175

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИЛекция №11 ПОСТОЯННЫЙ ток§1.1. Законы КирхгофаРассмотрим простую электрическую цепь с одной ЭДС и несколь­кими сопротивлениями, соединёнными параллельно. Будем считать, что величины ЭДС и сопротивлений нам известны. Все элементы цепи со- сдинсны параллельно, поэтому на­пряжение на каждом элементе оди­наково и равно Е, но токи разные они обратно пропорциональны величинам сопротивлений соответ­ствующих ветвей и определяются по закону Ома:Результирующий ток /, протекающий в ветви с ЭДС, будет равен сумме токов всех ветвей без ЭДС, то естьI — Iy+I2+I3 + 1п. (2)Если подставить выражение (I) в (2), то можно получить: ] = 2 3 4& (3) Коэффициент пропорциональности между током и ЭДС называется проводимостью и измеряется в сименсах [См]. Итак, мы получили важ­ную формулу, позволяющую определить результирующее эквива­лентное сопротивление схемы с параллельным соединением проводни­ков:1 1 1 11 п 1 /лч-£1 + g3 + + 8п— + — + — + + Т-Т‘ "*■ Лэ-—(4)/?] Т?2 Rn Ъ g3 В частном случае, когда в цепи два сопротивления, выражение (4)можно переписать: 1 1/?2 Аэ 1 r}r23 g, Я]+Я2 (5) Это выражение следует запомнить, потому что в электротехнике часто приходится преобразовывать цепь с двумя параллельно включен­ными сопротивлениями.Отметим полезную информацию, которая содержится в выраже­нии (4). Если вы правильно подсчитали результирующее (эквивалент­ное) сопротивление схемы параллельно соединённых проводников, то величина результирующего сопротивления должна быть меньше вели­чины самого маленького сопротивления цепи. Теперь вернёмся к выра­жению (2). Это выражение называется первым законом Кирхгофа, и формулируется следующим образом: Алгебраическая сумма токов в узле равняется нулю.Алгебраическая сумма означает, что следует учитывать знаки, например если входящие в узел fj токи берутся со знаком плюс, то выходящие ! должны быть взяты со знаком минус. Или наобо­рот. Запишем первый закон Кирхгофа для узла, Л h приведённого на рисунке 1.3:Рис. 1.3 “ Лз + Л “ Л = 0 • (6)Рассмотрим простейшую цепь с последова­тельным соединением проводников, приведённую на рисунке 1.4. В представленной схеме известны все сопротивления и ЭДС. Через все сопротивления проходит один и тот же ток. Результирующее или сум­марное сопротивление схемы равняется сумме всех сопротивлений:7?э — /?| + 4" Ry 4-.... 4- Rn (7)По закону Ома, ЭДС в результирующей цепи равняется произве­дению силы тока на результирующее сопротивление. Проделав неслож­ные преобразования можно получить:E-R3-1-(R} +R2+Ry 4-.... + /?n)Z = (/1 + (72 4-(/3 + 4-(/w (8)где (7, - I • Л], U2 -I R2, и т.д. В результате мы получили второй за­кон Кирхгофа, который формулируется следующим образом: алгебраи­ческая сумма напряжений для любого замкнутого контура равняет­ся алгебраической сумме ЗДС контура:сункс 1.5, преобразование схемы производят в следующем порядке. Сначала преобразуют сопротивления, соединённые параллельно (Ry и/?4), а затем производят преобразования для сопротивлений, со­единённых последовательно, то сеть: Ry+R4 R3+R4Эго правило иногда называют ’’правилом разброса”, так как общий ток ветвей 3 и 4 разбрасывается по ветвям с коэффициентами пропорцио­нальности R4/(Ry 4-Л4) и Ry/(Ry 4-7?4). § 1.2. Примеры использования законов Кирхгофа (методы расче­тов)Для определения токов в электрической схеме использовать пра­последовательно соединённых со­противлений можно нс всегда. Например, для цепи представ­ленной на рис. 1.6, это мешают сделать ЭДС Е} ,Е2 и Е3. В та­ких случаях для определения то­ков используют первый и второй законы Кирхгофа. Число уравне­ний, необходимых для определе­ния токов, равно числу ветвей. Число независимых уравнений,которых можно записать по первому закону Кирхгофа, равно Y-1, где Yчисло узлов в схеме. Остальные недостающие уравнения, которые нужны для завершения системы, записывают по второму закону Кирх­гофа. Рассмотрим в качестве примера схему, представленную на рисун­ке 1.6, предполагая, что все сопротивления и ЭДС нам известны.Схема имеет три ветви, следовательно, необходимо записать три уравнения. Записываем одно уравнение по первому закону Кирхгофа.Например, для второго узла: (13)ZI-Z2-Z3=O. Два недостающих уравнения записываем по второму закону Кирх­гофа для первого и второго контуров соответственно:I\R\ + I^R-) — Ei + Е-)2 “ . (14)—Z2/?2 + 3^3 ^3Запишем уравнения (13) и (14) в виде системы уравнений, предва­рительно правильно сгруппировав коэффициенты при неизвестных, в результате получаем формальное решение:(15)Рассмотрим пример с числовыми данными.Пример 1: Дана схема с тремя ЭДС и шестью сопротивлениями. Определить все токи в схеме (рис. 1.7), если:Л, = 10 Ом, Т?2 = 12 Ом, = 15 Ом, Л4 = 20 Ом, = 10 Ом,Л6 = 8 Ом, £j=50B, £2=30 В, £3=15В.Схема имеет шесть ветвей, следовательно, необходимо соста­вить шесть уравнений. Три уравне­ния (Y-l=3) по первому закону Кирхгофа (1-ЗК) и три уравнения по второму закону Кирхгофа (2- ЗК). Для узлов 1, 2 и 3 соотвстст-fZl-Z3-Z4=0;Z4 + Z5-Z6=0; (16)/2 + А + /6 - 0.Для контуров I, II и 111 используем 2-ЗК:/17?1 + — I5R5 Е\ ’* ААз “4^4 — 6^6 = ( 1 ?)“А^А + А^А + А>А> А*Перепишем в матричном виде и подставим числовые значения. В результате получаем: ч 0 -1 -1 0 0 > ч 0 -1 -1 0 0> ' 0 ' ' 0 > 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 1 1 -1 0 0 Л - 0 10 10 0 к 0-А 10 = 010 10 10 020 0-10 10 , в = 0 — 050 ,(18) 0 0 R. -R. 0 0 0 15 -20 0 -8 -15 0- я. 0 0 /?5 *4 д- 12 0 0 10 «> ч , [ 30 , 1=А' в= л Л Л л Ц)' 2,329-2,0751,1211,209-0,254ч 0,955 , § 1.3. Матрично-топологический методКогда ветвей и узлов в схеме много, решение методом Кирхгофа становится утомительным, потому что приходится составлять алгебраи­ческие уравнения высокого порядка. Поэтому в электротехнике суще­ствуют методы, позволяющие понизить порядок системы линейных ал­гебраических уравнений. Такие методы называются матрично- топологическими. Топологические методы особенно удобны для ис­пользования компьютерных вычислений.Рассмотрим использование матрично топологического метода для схемы, приведённой на рисунке 1.8 а.Прежде всего, рисуют ненаправленный (неориентированный) топо­логический граф схемы. Рисуются ветви схемы без элементов. Причем, рисуются только тс ветви схемы, элементы которых имеют конечное сопротивление. Например, для рис. 1.8,6 приведен граф схемы, пред­ставленной на Рис. 1.8 а, на котором видно восемь ветвей и четыре узла.Затем задают направления токов, и граф становится направленным (ориентированным). Следующим этапом составляют узловую матрицу, задавшись базовым узлом. Базовый узел это узел, потенциал которого равен некой постоянной величине, в частности нулю. Пусть, например, четвертый узел будв! базовым узлом. Тогда сформируем узловую мат­рицу А по следующему правилу: если ток ветви подтекает к узлу, то ставим -1, если ток ветви оттекает от узла, то ставим 1, если ветвь не имеет связи с узлом, то ставим 0. Для схемы, изображённой на Рис. 1.9, узловая топологическая матрица 3 будет следующей: Ветви  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21

1 2 3 4 5 6 Г-1 о 1 । о (Р Д= 0 0 0-1-1 1 РиС , 3 0 -I -| 0 0 -1;УзлыСоставим теперь матрицу контуров В по следующему правилу: если ветвь нс входит в контур, то ставим 0, если ветвь входит в контур, то ставим 1 в случае совпадения направления обхода контура с направ­лением тока, и ставим -1 в противном случае. Для схемы, изображённой на Рис. 1.9, контурная топологическая матрица будет иметь вид:Ветви12 3 4 5 6I Г 1 0 0 1—1 0>11 в = 0 0 1-10-1111 ч 0 -1 0 0 I I;КонтурыЕсли узловая и контурная матрицы составлены правильно, то их произведения должны равняться нулевой матрице:0 0 0 А В АГ = А Вг =0 0 00 0 0,Важными являются также диагональные матрицы сопротивлений t//ag(R) и проводимостей diag(u), а также матрицы ЭДС и источников тока.Диагональная матрица сопротивлений состоит только из диаго­нальных элементов, элементами которой являются величины сопротив­лений ветвей. То есть первый диагональный элемент это результи­рующее сопротивление первой ветви, второй диагональный элемент это результирующее сопротивление агорой ветви и так далее.Диагональная матрица проводимостей матрица образная диаго­нальной матрице сопротивлений rfiag(g) = Jtog(R)"1.Топологическая матрица ЭДС это столбцевая матрица, количест­во элементов которой равно количеству ветвей схемы без источников тока. Элементы матрицы ЭДС формируется по следующему правилу: если ЭДС в ветви отсутствует, то ставим 0, если направление ЭДС сов­падает с направлением тока в ветви, то ставим ЭДС с положительным знаком, в противном случае ставим ЭДС с отрицательным знаком.Топологическая матрица источников тока является столбцевой матрицей, количество элементов которой равно количеству ветвей схе­мы без источников тока. Элементы матрицы источников тока формиру­ются также как матрица ЭДС: если источник тока соединён параллельно z-той ветви с током и направление источника тока совпадает с на­правлением тока lj, то в этом случае ставим величину источника тока с положительным знаком. Если направление источника тока нс совпадает с направлением тока в ветви 7,, то ставим величину источника тока с отрицательным знаком. И, наконец, если источник тока отсутствует, то ставим нуль. Ниже приводится пример формирования топологических матриц для схемы, приведенной на рисунке 1.8. '*х у о о о о о т/ Оу 0 0 0 0 'X 0 о— ООО 1 гх 0 0 Оу 0 0 'у ООО ОуО 'х 0 0 0 0 0 —1 / '*Х 0 0 0 0 о40 W 0 0 0 000^000 = (М)У»|/> = j 0 0 0 7/0 0 0 0 0 0 7/ 0 , 0 0 0 0 0 'у, Лекция № 2 § 1.4. Метод контурных токовПрежде чем продолжить рассмотрение матрично топологического метода, рассмотрим метод контурных токов. Суть метода заключается в уменьшении размерности матрицы СЛАУ для определения токов. Рас­смотрим, например, схему, приведённую на рисунке 1.10 примера 1.Выберем произвольное направление токов в ветвях. Будем считать, что в первом контуре течёт только ток Jx и будем называть его контурным током. Аналогично во втором кон­туре, полагаем, что течёт ток J2. И, наконец, в третьем контуре будем считать, что течёт ток Составля­ем уравнения для контурных токов по второму закон Кирхгофа:J\ (R\ + Т?4 + R>)— — Е\

I 0-1О 1 I о оо о^0 ЛОО о о о о ЛО о ло о 'о оо О'! О О Л оО О О Л;Матрицу вектора правых частей тоже можно записать в виде произве­дения топологических матриц вт я.Е. О 1-1I 1 ОО О I 0>

(27)Проверим результат решения, проделав виртуальную лаборатор­ную работу с помощью программы Electronics Workbench. Измерим то­ки в ветвях, подключив амперметры последовательно с сопротивления­ми. Листинг программы Electronics Workbench, представленный на ри­сунке 1.11, свидетельствует о правильном расчете. § 1.7. Метод узловых потенциалов Рассмотрим еще один метод пони­жения порядка СЛАУ. Прежде всего, обо­значим все узлы на схеме. Зачем выбира­ем базовый узел, потенциал которого ра­вен нулю. Пусть это будет узел 4. То есть потенциал узла 4 равен нулю ц)4 - 0. Для определения потенциалов остальных уз­лов нужно составить уравнения относи­тельно неизвестных потенциалов узлов.Прежде всего, запишем систему уравнений относительно токов по перво­му закону Кирхгофа.-Z3-/4=0 (1уз); 74 + /5-/6-0 (2уз); .Л + А + А,-0 (Зуз)- Теперь запишем токи через неизвестные значения потенциалов и известные значения ЕДС и сопротивлений.- ф|-ф, ф,-ф3-^3 0/?, Я4 R,Л1-^+ДР2 ф2-ф.^0(2 у Л,Фз Ei + Ф1 Фз ^з + Ф? Фз -on V3\ Сгруппируем эти уравнения относительно неизвестных ф|,ф2,ф3 и в ре­ зультате получаем 1 1 1 > 1 1 ф|я, r4 /?3/' 1 1 Е. Е3—Фг Фз - —;/?4 - Я, Я, R. V'+ Л, фэ + 1 + ф3 — ^2 ^3R, Л3Сумма проводимостей ветвей, подходящих к узлу, называется собственной проводимостью узла. Например, для узлов 1, 2 и 3 это будет соответственно: g|!-g| +^4+ЯЗ- — + — + — 1 1 1» Я22 -S5 +8а +8б _'7Г + '7Г + ТЯзз-Яз+Яб+^з- —+ или в матричном виде: g-ф-Ь, fill где g- R>1 Ry 1*4 1Л3 '0,217-0,05 -0,05 -0,0670,375 -0,125 (29) 1*3 -0,067-0,125 -0,275 и b - столбцевая матрица правых частей Ч ! ^3Л, Я3О (30) . ^2 >Решая систему уравнений (29), получаем потенциалы узлов: 1 Ь- ф2 -И, наконец, находим токи во всех ветвях: 2,539 ..-5,098,/ (31) (£| Ф|)/7?,( ^2 — Фз ^2 (ф) Фз Лз (ф|-ф2)/Т?4— ф 2 /(ф2-фз)/^ < 2,329 '-2,0751,1211,209-0,254< 0,955 , (32) Метод узловых потенциалов на основе матрично­топологического метода Решим задачу примера I матрично-топологическим методом. Пре­жде всего, запишем узловую топологическую матрицу учитывая, что базовым узлом является узел 4:Г-1 0 1 1 О О') (33)А= 0 0 0-1-1 10-1-1 0 0 -1J Теперь нам понадобятся диагональная матрица проводимостей, ко­торая равна обратной диагональной матрице сопротивлений и матрица ЭДС.— 0 0 0 0 0 я, 0 — 0 0 0 Я, 0 <0.1 0 0 0 0 0 > Г яд ’ 50 > g = R' = 00 0 —0 0 Я50 0 —0 я. 00 = 0000 0,083 0 00 0.067 00 0 0.050 0 0 0000.1 0000 . Е- II f Ч" с с -15-3000 (34) 0 0 0 0 — 0 0 0 0 0 0.125, 10 J < 0 ; 0 0 0 0 0 —Я6;Приведем произведение матриц, результатом которого будет мат­рица проводимостей узлов: -1 0 1 1 0 0 A-g-Ar = 0 0 0 -1-1 1 0 -1 -1 0 0-1 Д+Д»1Д 1 < Д 11/Л, 0 0 0 0 0 ' '-1 0 0) 0 1/Я2 0 0 0 0 0 0-1 о о 1/тг3 о о о 1 0 -1 0 0 0 1/Л4 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 1/^0 0-10 0 0 0 0 0 1/7^ <0 1-1, 1 _J_ J 'Д R4 Ry111 1*ЛЛ Д I 1 1 IД R2 R(> Ry j '0,217 -0,05 -0,067^-0,05 0,375 -0,125(-0,067 - 0,125 -0.275, '1/Я, 0 0 0 0 0 ' ' F \ '-10110 0> 0 1/Л 0 0 0 0 -Es 0 0 0 111 0 0 1/R, 0 0 0 Е2 0 0 0 ]/R 0 0 0 о -1-1 о 0 -11 \ / 0 0 0 0 1/Л, 0 0 0 0 0 0 0 1//^, <0 > 0>1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21

Следующим шагом будет произведение матриц: b = Ag Е = (35)Теперь можно найти потенциалы узлов, используя следующие со­отношения: (37)' 26,7 D2,539к-5,098, При известных потенциалах узлов находим напряжения на каждой ветви: U- (72#3^4 US Wb - Аг<р + Е - г-10110< 0 0 0 ) <(Р| *Ф2<Фз> + ' к00Ч ° 2 — ( 23,29 '-24,902 16,80824,171-2,539ч 7,637 , . (38) с0-1-11 -1-101 0-1 , И, наконец, находим токи во всех ветвях: ( 2,329 Л C/2//?2 — 2,075 1 3Л — g-U — (/4/Л4 = 1,1211,209 • (39) А ^5/Л5 0,254 <>> < 0,955 ) В завершении задачи рекомендуется проверить баланс мощностей и убедиться, что расчет сделан правильно. В матричной форме баланс мощностей записывается в следующем виде:P/7=Tt R 1 = 161,899 Вт. РЯ=1ЧЕ = Е1 = 161,899 Вт.Проверим наши данные, проделав виртуальную лабораторную ра­боту в Electronics Workbench. Подключив параллельно сопротивлениям вольтметры можно определить напряжения. Разделив показание вольт­метров на соответствующие сопротивления можно найти токи в ветвях.Лекция М> 3 Метод эквивалентных преобразовании Рассмотрим фрагмент электрической цепи, приведённой на рисунке 1.14:Токи в каждой ветви с ЭДС определяются выражениями:Л| к2ккРезультирующий ток будет определяться суммой всех токов в ветвях:+ /2 +/3 +... + /| + '£jk ^^^kSk + • (40)k k-0 k-0 kС другой стороны, мы видим, что ток в эквивалентной ветви определя­ется выражением: Хёк it-0 Рассмотрим некоторые частные случаи:а оРис. 1.15. Преобразование параллельных ветвейДля рисунка 1.15 ветви будут преобразованы по формулам для схем а и б соответственно:+£о-/?1 /?| • 7?э= d , d * = d d* =E\+J\&\9 Лэ - Л • (43)В соответствии с методом эквивалентных преобразований легко получить полезные преобразования, приведённые на рисунках 1.16 и 1.17. Преобразование треугольника в звезду и звезды в треуголь­ник Мы рассматривали преобразование сопротивлений, соединённых последовательно или параллельно. В ряде случаев бывают соединения сопротивлений нс подчиняющиеся ни правилу параллельного соедине­ния, ни последовательного (например, в грехфазных цепях). В таких случаях могут быть полезными правила преобразования треугольника в звезду или наоборот, звезды в треугольник, которые мы приведем без доказательств. Пример 2: Даны сопротивления Ry =15 Ом, соединённые треугольником, треугольником в соединение звездой.Решение: 7?1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом,Преобразовав ь соединение =—ад—=4“ Л1+Л2+/?3 R\Ri -% R>R

ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКАРГР №1 - Расчет линейной цени постоянного тока Рассчитать все токи, методом узловых потенциалов, используя матрично-топологический подход. Рассчитать все токи, методом контурных токов, используя матрич­но-топологический подход. Рассчитать баланс мощностей. Подтвердить расчеты пунктов 1, 2, проделав работу в среде ElectronicsWorkbench. Убрать ветвь с сопротивлением /?х Рассчитать ток в ветви с сопро­тивлением методом эквивалентного генератора. Построить выход­ную характеристику генератора и i рафик зависимости мощности от то­ка Р(1) и сопротивления нагрузки Р(7?и). Сделать выводы по проделанной работе. Таблица №1 Таблица №2 № Ri Rs Е\ J Ом Ом Ом Ом Ом Ом Ом Ом В В В \ 0 10 8 15 20 25 ээ 11 17 150 100 50 1 1 15 10 8 25 22 11 10 8 10 70 20 0 2 20 15 10 5 8 17 17 25 100 10 30 2,5 3 25 20 25 10 17 20 22 10 50 80 40 1,5 4 12 25 11 22 15 10 20 ээ 30 30 60 2 5 11 11 20 12 10 15 8 5 50 60 80 2,5 6 17 22 5 17 20 25 25 12 40 50 70 1 7 5 ээ 8 5 5 5 15 20 40 10 0,5 8 5 17 12 11 12 12 12 20 70 20 150 1,2 9 8 12 17 15 11 8 15 И 80 150 100 0,7 Примечание. Вариант состоит из трёх цифр. Первая цифра соответст­вует строке в таблице №1, вторая цифра соответствует строке в табли­це №2, последняя цифра соответствует номеру схемы. Задание выдастся на 4 недели. Максимальное количество баллов - 100. При задержке за­дания преподаватель имеет право сократить количество баллов (за каж­дую неделю - 15 б).Лекция № 4Пример выполнения расчетно-графичекои работыДанные и схема варианта приведены ниже /?| 7? 2 R3 Т?4 R5 Re Ri Rs Е, Е2 £3 J Ом Ом Ом Ом Ом Ом Ом Ом В В В А 10 12 20 8 5 15 ээЛш л— 11 50 100 150 Рассчитать все токи, методом узловых потенциалов, используя матрично-топологический под­ход. Рассчитать все токи, методом контурных токов, используя мат­рично-топологический подход. Рассчитать баланс мощностей. Подтвердить расчеты пунктов 1, 2, проделав pa6oiy в среде ElectronicsWorkbench. Убрать ветвь с сопротивление 7?s Рассчитать ток в ветви с сопротив­лением методом эквивалентного генератора. Построить выходную характеристику генератора и график зависимости мощности от тока Р(Г) и сопротивления нагрузки • Выполняем первый пункт заданияПриведем ориентированный граф схемы и составим топологиче­ские матрицы: узловую, контурную, диагональную матрицу сопротив­лений, диагональную матрицу проводимостей, столбцевые матрицы ЭДС и источников тока.'-1-1 О О О 1 1 О'0 1 1 0 0 0 0-1 А-О 0-1 0-1 0-1 оО 0 0-1 1-1 о о,узловая топологическая мат­рица. < о 1-1 о о о 1 о А 00011-100 0 10-100 1-1 0 0 0 0 0-1Jузловая контурная матрица,R=(10 12 20 8 5 15 22 11 )\

п п /?s, Rp — — h R\ R+R6 Находим ток короткого замыкания и в четвертой ветви:/ =^2«=1,026А, Л = - ^-—=0,71 ЗАR3 Rr Rr+R4Строим выходную характеристику эквивалентного генератора. U(J) = (7ХХ - RV1. По оси напряжений откладываем напряжение (/хх = 18,666 В, а по оси токов ток короткого замыкания /кз = 1,026А , соединяя отложенные точки, получаем выходную характеристику. С i роим вольтамперную характеристику (ВАХ) сопротивления ветви /?4 =8Ом. Для этого величину сопротивления /?4 -8Ом умножа­ем на произвольную величину тока, например на / = 1 А и получаем точку на плоскости 7, U. Соединяем точку с началом координат (см. рис. 1.36) и получаем ВАХ. Точка пересечения выходной и вольт- амперной характеристик даст нам ток и напряжения сопротивления Я4=8Ом, Z4=O,713A, (/4 =5,702В. Строим зависимостьмощности от сопротивления нагрузки^ХХ^Н ■(/?г+М2‘ Здесь нужно обратить внимание, что максимум мощности приходится на величину нагрузки равной сопротивлению генератора /?н = /?г. С1 роим зависимость мощности от сопротивления нагрузки: Л/н)=/и(хх-Мг)= _ ЛЛхХ + ^ХХ | + ^'хх _/?! 47?;- J 4ЛГ. 1'хх2 ) 4/?, ‘ Максимальная мощность прихо­дится на величину половине тока короткого замыкания: = 4,789Вт.В завершении проверим все вычисления, проделав виртуальную лабо­раторную работу в Electronics Workbench.Лекция № 5 Переменный токТок, изменяющийся во времени называется переменным током. Ток может иметь различные формы, он может быть пилообразным, им­пульсным, синусоидальным. Вее это переменный ток.Электрический ток - это скорость изменения заряда во бре­мени, то есть это производная заряда по времени(1)dtИзмерение емкости. Заряд накапливается на пластинах конденса­тора, и чем больше напряжение, тем больше зарядов на пластинах,q = UC (2)Здесь С - коэффициент пропорциональности, называемый электриче­ской емкостью. Емкость отражает способность проводника накапливать заряды q. И чем больше емкость, тем больше зарядов накапливается на проводнике. Емкость зависит только от геометрических размеров и диэлектриче­ских свойств среды, в которой находится проводник.Поставим выражение (1) в (2),получим ' (3)Таким образом, ток через конденсатор оп­ределяется выражением (3).Допустим, нам нужно определить емкость конденсатора. Доя это­го подключим его к источнику напряжения и пусть напряжение, пода­ваемое на конденсатор, имеет пилообразную форму с периодом Т(см рис. 2.2). На схеме приведено сопротивле­ние R, величина которо­го очень мала. Измерив напряжение на сопротив­лении и разделив его на величину сопротивления, получаем ток в цепи. Бу- Рис. 2,2, Пилообразное напряжение Дем считать, что сопро­тивление R в схеме из­вестно, оно имеет маленькую величину и несущественно влияет на на­пряжение на конденсаторе. Используя формулу (3) можно найти ток Т/4 Т \ 4) (5)Следовательно, на этом интервале ток равен постоянный величине:Результат дифференци­рования по формуле (3) изображен на рисунке 2.3.Величину тока можно определить, измерив напряжение на сопро­тивлении Ri = UR/R = Im. (6)При известном токе и напряжении можно определить величину емкости dtПотокосцепление пропорционально току Т - Li. Чем больше ток, тем больше потокосцепление. Коэффициент пропорциональности L между током и потокосцеплением называется индуктивностью проводника. Индуктивность L зависит от геометрических свойств проводника, его конструктивных особенностей. Так как индуктивность является величи­ной постоянной, то напряжение на индуктивности определяется выра­жением:U{t) = L^-. (9)dtОпределим экспериментально значение индуктивности L при извест-ном входном напряжении (см. рис. 2.4). На схеме приведено сопротив-ление Л, величина которого очень мала. Измерив, напряжение на со-46 L { Т L Т 2противлении и разделив его на величину сопротивления, получаем ток в цепи. Пусть входное напряжение остается прежним, пилообразным (рис. 2.2).Сопротивление схемы, как и прежде, будем считать малым, слабо влияющим на на­пряжение индуктивности.Определим ток из выражения (9)u(t) = di(t) _dt LРис. 2.4 ./ (,0)L 0Будем считать, что величина тока в начальный момент времени(И)После интегрирования напряжения на участке / е (О, Г / 4) получаем максимальный ток, ко­торый можно опреде­лить, измерив напря­жения на сопротивле­нии:Используя последнее выражение можно определить индуктивность, JJmTФазовые соотношения. Рассмотрим, в каком фазовом соотноше­нии находятся ток и напряжение на конденсаторе и на индуктивности при воздействии гармонического напряжения.Пусть ток через индуктивность i(t) = Z„rsin(atf), со — 2 л/'. Опреде­лим напряжение на индуктивности:U(t) - L - Lwlnt cos(cor) = L(&lm sin(co/ + —).dt 2Таким образом, напряжение на индуктивности опережает ток на 90э, или на л/2.Рассмотрим напряжение на конденсаторе£/(/) = Um sin(cor). В этом случае ток через конден­сатор определяется вы­ражением/(/) = С — — CtoUm cos(co/) - CcoI7w sin(co/ + —)dt 2В данном случае ток опережает напряжение на 90*, или на л* / 2. Можно сказать, что напряжение отстает от тока на /т / 2. . Немного о комплексных числах Комплексное число z х + Jу это вектор на плоскости. Он имеет мо- Г5дуль г - \]х“ + у“ и угол наклона 0 к оси х,Комплексное число может пред­ставляться в алгебраическом, триго­нометрическом и показательном ви­дах соответственно:z = х + j у г cos( 0) + j г sin( 0 ) г схр( /0) x = Re(z),y = Im(z)где |г| ?• Jx . Очень важнойявляется формула Эйлера, связывающая тригонометрические и экспо­ненциальные функции. Эти формулы помогают перейти от тригономет­рической формы представления комплексного числа к показательной и наоборот.е cos(0) + Jsin(O). е cos(O)-jsiii(O); Л-Л Л+Лsiii(0) . cos(O) .2J 2 . Синусоидальные токи и напряжения. Метод комплексных ам­плитуд (Символический метод) На рисунке 2.9 представлен график синусоидального напряжение,его ещё называют гармониче­ским напряжением. В аналити­ческом виде гармонические то­ки и напряжения записываются следующим образом к (7) Ufft s>n(w/ + 0) В.Кривая имеет некое макси­мальное значение назы­ваемое амплитудным значени­ем. Кривая сдвинута относи­тельно вертикальной оси на угол 0. Эго значение угла на­зывается фазовым сдвигом. Синусоида имеет период Т это кратчай­шее расстояние между двумя одинаковыми значениями напряжения. В выражениях для напряжения и тока присутствует круговая частота со(рад/сск), которая связана с частотой /(Гц-герц) и периодом Т соот­ношением:У -71co .ТПри определении синусоидальных токов и напряжений в электри­ческих схемах мы будем осуществлять различные алгебраические опе­рации с тригонометрическими функциями. Поэтому следует перейти от тригонометрических функций (/, (г) = 7,п1 sin(cof + 0,)) к комплексным числам (7/н1еуй| =/|), которые существенно упрощают алгебраические операции. Например, для того, чтобы сложить два тока одной частоты и разных фазовых сдвигов нужно проделать нижеследующие операции:,/°i»|(0 ^misinfojt + Oi) V0*^„,2 sin(2)-> f„,2el =(/0. \ /fD/hn\e + ^m2e 2 I6"7(£l + Li )e‘/0W Le^ —> Tm sin(Аналогично осуществляются все другие операции умножение, деление, разность и даже дифференцирование и интегрирование: i(t) Im sin(o)r + 0)<*(') . . /0 . T —> —> = jo)7,dti(t) = lm sin(o)/ + 0)->-> — = -j—e^ = -/—.JO) 0) coМетод замены синусоидальных величин на комплексные назы­вается символическим методом. Этот метод позволяет заменить интегро-дифференциальные уравнения алгебраическими, что позво­ляет существенно упростить решение. На рисунке 2.10 приведено изображение волновой диаграммы напряжений в виде векторов. Ани­мация показывает, что при движение волн напряжения фазовые соот­ношения между векторами не изменяются следовательно токов и на­пряжений можно заменять на комплексные величины вектора между которыми сохраняются фазовые соотношения.Векторная диаграмма напряжений Осцилло1рамма напряженийа бРис. 2.10. а-вектерная диаграмма напряж ении,б-волновая диаграмма напряженийВ действительности все вектора вращаются с частотой со. Запишем вы­ражения для напряжений на элементах схемы в символической форме:di(t) /оUr(t) = L -> jLaImejy = j&LI_ = jXLI>dti j т fl1 <• >meuc(t)=—{i(t)dt -> = -j-^ = -jXcl_,C joC coCUR(t) =i(t)R -+ Tmej°R = IR.Здесь XL = &L, Xc =l/coC индуктивное и емкостное сопротивления со­ответственно. Таким образом, вместо реактивных элементов индуктив­ности и емкости в символическую (комплексную) схему замещения вводятся их реактивные сопротивления: Факт присутствия комплексной единицы j перед индуктив­ным сопротивлением jXL означает, что напряжение на индуктив­ности опережает ток через индуктивность на 90 градусов.Факт присутствия отрицательной комплексной единицы j перед ёмкостным сопротивлением -jXc означает, что напряжение на ёмкости отстаёт от тока через ёмкость на 90 градусов.Если в схеме имеются несколько последовательно соединенных элементов, то их можно заменить результирующим - эквивалентнымсопротивлением: Здесь Z - R + j(XL -Хс)9 Z- Zej\ Z - \Jr2 + %2, <р-arctg( X/R);R = Zcos(X - Zsin((p).В случае параллельного соедине­ния элементов удобнее пользо­ваться проводимостью. Приведем связь между комплексным сопро­тивлением и комплексной прово­димостью, в алгебраической и по­казательной формах: Z-R + jX, Z-Ze™\_ 1 _ 1 _ R . X Z R + jX R2+X2 JR2+X2’ = = . Y = Ye Ze" Z1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   21

Пример. Рассмотрим электрическую цепь с заданными параметрами: е(Г) - 10sin(cor + 45°) В, со= 500рад/с, R = 20 Ом, L = 0,1 Гн, С = 50мФ.Определяем индуктивное и емкостное сопротивления:X

com(z) (112| )2 XL- (|I3| )2 Xc - -5.66Eo:-V(E.I0) IirfS) - 9.81 I (|ll|)2 R + (|l2| )2 R - 9.811u2 :-V(I2 i-XL.10) u2l:-124 XL + V(I2R, 10)ul 12 i XL + I2 R+ V(l 1 R, 10) il 5= V(I1,I) IO i2 : V(I2,1 ) IO i3 t= V(I3, !)■ 10 u3 :-V(-I3 i Xc, 10) |ll|-R-11.327 |I2|-R = 8.242 |l2|-XL-8.242 |l3|-Xc-11.655 . Показания приборов Величины частот, с которыми приходится сталкивать в электротех­нике, достаточно большие, поэтому измеряющие приборы нс успевают реагировать на частоту. Вследствие этого приборы показывают нс ам­плитудное значение, а некоторое усреднённое значение, называемое среднеквадратическим значением или действующим значением. ко­торое определяется соотношением:= .Ы "(')2^ = = го гоlu»i У 1-008(2(0/)^^ _ Ц/п" _ тТ 01 2 ) 2 JTС учетом последних замечаний при переводе тригонометрических величин в комплексные, учитывается величина действующего значения. Например:e(t) -1 Osin(wz + 30°) -> £ = ^-e/3° = 7,07^3()B,■y2/(/)-2sin(co/-60°) —>/v2Рассмотрим пример использования символического метода для ре­шения задач. . Мощность в цепи переменного тока Полная мощность определяется выражениемW * / 5 Т5= I ±EkI_k=P + jQ9S = ylP+Q29к = \Р - активная мощность, Q - реактивная мощность. Знак плюс выбирает- ся, в случае если ЭДС и ток совпадают по направлению (на схему) и минус в противном случае. * - знак комплексного сопряжения.Потребляемая активная и реактивная мощности определяются со­отношениями соответственно:о 7V э М эР= Е Q = Е хтк1к xckJk-к=\ к к А' = 1 Lk к к=\ Ск кР- активная мощность величина положительная. О- реактивная мощ­ность может быть как положительной так и отрицательной величиной. Если преобладает индуктивная составляющая XL > Хс то >0. Если Хс > XL.то Q< 0.Лекция № 6 . Цени с индуктивно связанными элементами Последовательное соединение катушек с индуктивной связью. 6 Рассмотрим цепь с взаим­ной индуктивностью. По катуш­кам протекают токи, направлен­ные в одну сторону. Но провода намотаны в разные стороны. Ус­ловно на рисунке этот факт можно обозначиi ь звездочками или точками. При этом токи соз­дают магнитное поле вокруг проводов. В одном случае они складываются, а в другом они вычитаются. Тогда можно записать уравнение Кирхгофа для последова­тельного контура, учитывая нс идеальность катушек.При согласном соединении, когда токи входят в катушки с одной стороны, di . „ . . di r di . „ _ л di . .L h iRt 4- M h L-) h iR-) -f- Л/ — — c( t) .1 dt 1 dt - dt - dlПри встречном соединении, когда токи входят в катушки с разных сторон..di . „ , . di , di t di . xL h iR\ -M \-iR) -M — - e(t)dl dl dt “ dtВ символической форме это можно записать так.(л, +jxLi +jXm)i_+(r2+jXL2+jXm)l=E:, (Ri+R2+j(XLi+XL2+2XM))l_ = E.При согласном соединении, когда токи входят в катушки с одной стороны.(/?, + jXLi-jXm)I_+(R2 + jXL2-jXM)l_ = E; (Ri+R2+j(XLi+XL2-2XM))l = E.При встречном соединении, когда токи входят в катушки с одной стороны. Здесь Хм - соЛ/, XL - со£.Если ввести обозначения для сопротивлений согласного Zc и встречно­го соответственно“ ^1 + ^2 + J+ L2 + )’ —В - 4- Л2 4- j(XLl 4- XL2 “ 2%у ) ,то можно найти взаимную индукцию।।IZ^-Z^iZc -ZB - 2XW + 2Xy - 4Xу - 4Л/0) -4 M - '-(

Т,118<762’92|>0,27k-'51’416 AI-В '0,509 + 0,996/0,169 + 0,211/ (0,34 + 0,784/ ) 0,855ey66’539\ 7По полученным результатам запишем мгновенное значения токов в ветвяхz, (/) -1,1172 sin(co/ + 62,921)A, z2(/) - 0,27172 sin(со/ + 51,416)А,iy (/) - 0,85572 sin( со/ + 66,539)Л.Использование других методов расчета таких как метод узловых потенциалов, метод контурных токов затрудняется из-за наличия ин­дуктивной связи, поэтому исходную схему упрощают, производя раз­вязку индуктивной связи. Пример развязки индуктивной связи приве­ден на рисунке. Следует обратить внимание на то, что на рисунке нет направлений токов поэтому нет смысла говорить о встречном или со­гласном соединении. В нашем случае схема развяжется как указанно на рисунке. Теперь мож­но использовать любой известный ме­тод расчета. Наиболее рациональным методом расчета в данном случае бу­дет метод узловых потенциалов. Оп­ределим эквивалентные сопротивле­ния ветвей схемы.2\=R-jXM = 20 - 31,416j Ом,Z2 - 2R + j(XL} + XM) - 40 + 94,248j Ом,Z3 - R + j(Xr2 + XM - Xc) - 20 + 25,488j Ом.Перерисуем схему замещения и запишем уравнения для потенциа­лов методом узловых напряжений. Находим проводимости ветвей -i=rb=i’ ь=£- а затем потенциал первого узла:фД^+Ь+Гз)-^.,Ф --13,183 + 24,363/-27,701 е?|18,419 В.Г|+Ь+^зПри известном потенциале можем определить токи во всех ветвяхХ|=(£-Ф,)ь /2-ф,Г2, /^Ф.Гз . Построение векторной диаграммы Дтя построения векторной диаграммы в первую очередь нужно задаться масштабом тока и напряжения. Следующим этапом строится лучевая диаграмма токов, а затем по отношению к ней строится топо­графическая диаграмма напряжений. Учитывая, что ток и напряжение на активном сопротивлении находятся в фазе, векторы напряжения и тока на диаграмме следует откладывать параллельно друг другу, и на­правленными в одну сторону. Напряжение на индуктивности опережает ток индуктивности на 90 градусов, следовательно, вектор напряжения откладывается перпендикулярно вектору тока с опережением (отклады­вается против часовой стрелки). Напряжение на емкости отстает от тока емкости на 90 градусов, следовательно, вектор напряжения откладыва­ется перпендикулярно вектору тока с отставанием (откладывается по часовой стрелке).Приведем пример построения диаграммы для нашей схемы. Oi- кладывасм в масштабе токи и напряжения М1 - А/см, ML,В/см(см. диаграмму). Вычислим необходимые значения напряжений на эле­ментах.£-40'45' -28,28 + >28,28;URX = /,5 = 22,3695;^,=7^, =175;(/Л2=/225 = 10,8225;t/.W2=Z3XM =26,8615;£ЛЗ =/35 = 17,15;UC = I3XC =45,365;(/Л2=/2 25 = 10,8225;= =26,8615;= h*L2 =40,2925;C/M1 = Л*м =8,55.Определим показания вольтметра:Г=|/|5 + /2У%£1-/3Ам|илиV - \E - Z2 25| = 128.28 + /28.28 - (0,169 + /0,211)40| = 29.27B 4n- 33 30 j -1 у#С \ 254 -з\ . / Е ф? f* 20/ ,-U у r l_rq-2 л л т -2 i 10 \ Xj • у/ ^•п / J Jf <5 ч' ЛЛ 1 JXL2 -3 с-3 .5 10 5 D j 1 D 1 5 2 d : 5 3 0 : 5 4 J а Рис. 2.27 . Мощность в цепи переменного тока е взаимной индуктивно­стью Полная мощность, как и прежде, определяется выражением Л I k-\Р - активная мощность, Q - реактивная мощность.Потребляемая активная и реактивная мощности определяются соотно­шениями соответственно:У 9 N э М эР = = ЛДиЛ” ±2/i/i^.wcos^i “Фг)-Здесь токи Це^ ,12е^г ветвей, в которых находится индуктивности. Знак плюс выбирается, когда в цепи согласное включение катушек. В против­ном случае выбирается знак минус.Ниже приводится электрическая схема, собранная в программно- интегрированной среде ElectronicsWorkbench с развязкой индуктивной связи. При развязке индуктивной связи получается отрицательная индук­тивность. В место отрицательной индуктивности можно поставить экви­валентную емкость, которая определяется выражениемС = 1/со2М.Приведем схему рассмотренной задачи собранную в среде Electro­nicsWorkbench.Ниже приводится программа вычисления в программно-интегрированной среде MathCAD.Магнитносвязанные катушки(1.118 62.921Л <0.271 51.416Л <0.855 66.539>com(II)= . com(I2) = . com(I3) =V0.509 0.996/ VO. 169 0.211 J V 0.34 0.784 )S F.-I I S -42.567- 13.7661 P :- ( |ll| )2 R + (112| )2 R-2 + ( |T3| )2 R P -42.567Q:- (|T2| )2 XT.I + (|I3| )2 ( XT.2- Xc) - Xin 2-112| • |l3| cos(arg(I2) - arg(I3)) Q - -13.766 il^V(ll,0.5) i2: V(I2,0.5) i3 := V(I3,0.5)ul ^V(E,20) ul I :-I2 R-2 + 12-j XT.I - I3 j Xm+V(II R,20)u2 -V(I2-R-2,2O) n22:= I2-R-2 + V(I2j XLI,20) u23:= I2R-2+ 12-j-XLI + V(-I3j-Xni.2O)u3 :- V(I3-R,2O) u32 I3 R + V(-I3-j-Xc,20) u33 :- I3-R- I3 j-Xc+ V(I3-j-XL2,20)u34:= I3R - I3-j-Xc + I3J XL2+ V(-I2jXm,2O) il := V(Il,0.5)-3C i2 := V(I2,0.5)-3C i3 := V(T3,0.5)-3CЛекция № 7 §2.11. ТрансформаторЭлектрическая цепь состоит из контуров различного назначения. Может оказаться, что для различных контуров цепи требуется отли­чающиеся по величине напряжения. Для преобразования переменного напряжения и для перераспределения энергии между контурами цепи, широко применяется такое устройство как трансформатор.Функциональные и конструктивные особенности 1рансформаторов весьма разнообразны. Мы рассмотрим линейный трансформатор, в ко­тором отсутствуют нелинейные эффекты. Воздушные трансформаторы являются линейными.Трансформатор состоит из двух или нескольких индуктивно свя­занных катушек. Рассмотрим простой двухобмоточный 1ранс форма тор.Двухобмоточный трансформатор состоит из двух обмоток пер­вичной и вторичной. К первичной обмотке подводится питание а ко вторичной подсоединяется нагрузка потребитель энергии. Токи и на­пряжения, относящиеся к первичной и вторичной обмоткам называют­ся первичными и вторичными соответственно.Для усиления магнитной связи используют ферромагнитные сер­дечники вокруг, которых наматываются обмотки грансформатора (но при этом трансформатор становится нелинейным).Запишем второй закон Кирхгофа для грансформатора, введя обо­значения элементов первичной и вторичной обмоток:> ^22 = ^2 + ^22 % L2 + ’(50)L\jXм + [_2 (^22 + J^-22 ) “ 0 •Умножим первое уравнение на (Я,, + jXn)9 а второе уравнение на jXM и затем сложим. В результате получим выражение тока первичной обмот­ки через входное напряжение и сопротивления, вносимые вторичной обмоткой (51) п _ ^22 у-2 у _ ^22 у2ГДС - 2 2 Лвн ” 1 у2 ЛМ'•^22 ' 22 “Г2 22Эго выражение называется приведение сопротивлений вторичной обмотки к сопротивлениям первичной обмотки. Из этого выражения вытекает следующее. Для того, что бы трансформатор передавал мак­симальную мощность во вторичную обмотку необходимо, чтобы вы­полнялось соотношение: > _ &22 у2’ ”^2+^22 ‘И’ ■^22 у-<+^2 W (52)Построим качественно векторные диаграммы для трансформатора при различных нагрузках:Что бы добиться выполнения соотношение (52) в первичную и во вторичную цепи трансформатора включаются переменные емкости, что позволяет варьировать реактивные составляющие сопротивлений пер­вичной и вторичной цепях, рис. 2.31.%! = Хм - 1/соС,, У22 = Ум + ХИ - 1/соС2.Если разрешить первое выражение (52) относительно Х22, то можно получить: •* 22 - X^.j ^22 — ^22rTПоследнее выражение показывает, что при выполнении неравенст­ва:Х2М ?,/?„ -> М < ^2.соНевозможно получить максимальную мощность во внесенном сопро­тивлении 7?П11. §2.12. Резонанс напряженийРассмотрим схему, в которой по-следовательно соединены индуктив­ность емкость сопротивление и источ­ник напряжения. Индуктивное и емко­стное сопротивления зависят от часто­ты %z(co)-coZ, Ус(со) - 1/соС. С уве­личением частоты индуктивное сопро­тивление ArI(co)-coZ увеличивается, и ток в цепи с индуктивностью умень­шается. При уменьшении частоты емкостное сопротивление уменьша­ется, и ток в цепи с емкостью увеличивается. Графическая зависимость индуктивного сопротивления XL(со) от частоты приведена на рисунке, она линейна.Зависимое ib емкостного сопротивления %г(со) - 1/соС от частоты имеет гиперболическую зависимость. При увеличении частоты умень­шается емкостное сопротивление и при этом ток в цепи с емкостью увеличивается. То есть чем быстрее изменяется ток тем меньше емкост­ное сопротивление. При уменьшении частоты до нуля емкостное сопро­тивление становится бесконечным. То есть емкость не пропускает по­стоянный ток. И, наоборот, при увеличении частоты емкостное сопро­тивление уменьшается, и ток в цепи увеличивается. Вспомним, что ем­кость пропускает ток смещения.В цепи с последовательно соединенными элементами RLC сопро­тивление записывается в виде:Z(co) - R + jXL (со) - jXc (со)Будем изменять частоту входного напряжения в цепи. При измене­нии частоты будут изменяться сопротивления реактивных элементов. При увеличении частоты уменьшается емкостное сопротивление и уве­личивается индуктивное сопротивление, и наоборот. При постепенном изменении частоты может наступить такой момент, когда емкостное и индуктивное сопротивления сравняются, и будет выполняться равенствоХт (со) - Хг(со), соЛ- — > сол-со-—4=.соС ^CLПолученная частота называется частотой свободных колебаний. При та­кой частоте возникаю свободные колебания в цепи. Колебания электри­ческой цепи нс связанные с источником энергии, называются собст­венными или свободными.В нашем случае при рассмотрении последовательной цепи эти ко­лебания возбуждены внешним источником e(t). При резонансной час­тоте общее сопротивление цепи уменьшается, так как индуктивное со­противление компенсируется емкостным сопротивлениемсо--у== Z(co)-2? + = RПри этом ток в цепи возрастает, Ток и напряжение совпадают по фазе. При дальнейшем увеличении частоты индуктивное сопротивление становится больше емкостного, и реактивное сопротивление становится индуктивным.Волновая диаграмма напряжений.Режим электрической цепи при последовательном соединении участков с индуктивностью и ёмкостью, характеризующийся ра­венством индуктивного и ёмкостного сопротивлений, называют ре­зонансом напряжений.Напряжения на индуктивности и ёмкости при резонансе могут зна­чительно превышать напряжение на входе, которое равно напряжению на активном сопротивлении.Отметим, что частоты, при которых наблюдаются фазовый и ам­плитудный резонансы, нс совпадают с частотой собственных колебаний контура (они совпадают только в теоретическом случае, когда катушка индуктивности и конденсатор без потерь).Добротность О определяется соотношением:характеристическое сопротивление.Чем выше добротность контура Q (и уже полоса пропускания) тем выше селективность контура (лучше избирательная способность) При резонансе происходит совпадение по фазе входного напряжения е(1) и тока i(l) протекающего в контуре. Характер сопротивления становитсячисто активным вследствие совпадения по величине емкостного и ин­дуктивного сопротивлений.Ширина АЧХ /(&) зависит от добротности. Ширина АЧХ определяется на высоте 0,707 от амплитудного значения (рис. 2.36). Определим гра­ничные частоты XL(со) - Хс(со), соЛ- —— > соо=со = -^=л С°0Да> = о9 - о, - —QТаким образом, рассмотренная схема является полосовым фильтром, рассмотренный фильтр эффективно пропускает частоты, находящиеся в полосе увеличивая их относительный вклад. Относительный вклад всех остальных частоты уменьшается.Пример. Рассчитать резонанс­ную частоту для схемы, приве­денной на рисунке 2.36 при ус­ловии, что даны значенияС = 400 • Ю-6Ф, L = 2Гн, R = 20Ом, e(t) - 20\/2 sin(cor)B.Определить добротность конту­ра, ток, полосу пропускания и граничные частоты./ = ^- = 5,627Гц.2лco, - —|ф +4О2 -1 j-1 ООрад/с; co2 - —I>/1 + 4^4-1)- 125рад/с;Лео = co2 “ (°i = 25рад/с.Полоса пропускания устанавливается на высоте сигнала равного значению 7,н/>/2 = 0,707/ш, 1т максимальное значение тока. РГР №2 Расчет линейной цепи синусоидального тока В исходной цепи с ЭДС e{t) - >/2£sin(co/ + рассчитать токи ветвей и составить баланс мощностей (активных и реактивных). Коэффициент связи А =0,9. Взаимная индуктив­ность М = к . Записать уравнения Кирхгофа для мгновенных значений без раз­вязки индуктивной связи. Переписать уравнения в комплексной форме и найти все токи и показание вольтметра. Произвести развязку индуктивной связи. Определить все токи методом контурных токов. Определить ток в ветви с индуктивностью Д методом эквива­лентного генератора; Записать мгновенные значения токов и напряжений и построить их волновую диаграмму. Построить в одних осях векторные диаграммы токов (лучевую) и напряжений (тоио1рафическую). Определи 1ь показание электродинамического вольтметра анали­тически и по гопо1рафической диаграмме. Подтвердить расчеты пунктов I, 3 ^проделав работу в среде FJectronicsWorkbench. 1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   21

Таблица №1 Таблица №2 № Е R С <Р А, L2 В Ом МкФ град Гн Гн Гц 0 50 10 250 30 0,15 0,15 50 1 30 20 100 0 0,2 0,2 50 2 20 30 300 90 0,12 0,12 50 3 40 40 250 -90 0,22 0,22 50 4 25 50 100 180 0,19 0,19 50 5 15 25 220 90 0,15 0,15 50 6 22 35 300 -90 0,19 0,19 50 7 45 50 400 180 0,11 0,11 50 8 30 10 600 0 0,17 0,17 50 9 12 30 500 15 0,21 0,21 50 00Лекция № 8 ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИUA(t)-£0V2sin(wr), {/B(r)-£0^sin(ftrf-^-), Uc(t) - £0T2sin(cirf + y-).Пли в символической форме:_ ,2л .2лЕл-Е{}^ Е^в-Е^е 3, Ef=E^e 3 фазные напряжения.Полезно ввести обозначение для фазового множителя:а-е'2я/3 __1+/-2^^_0>5+/0 86б5 а2 _-1-/2^-_-0,5-./0,866.2 2 2 2Тогда можно записать: Е_л — Е(}, Е_в -Е^а1, Е_с -Е^а.Заметим, что. 2 . 1 .7з 1 .7з Л1+я“+£/-1—- j — - —+/ — -0.2 2 2 2И, следовательно ЕА +Е^В +Е^С -£0(1 + я2 +а) -0.1_Лу /с - линейные токи.При наличии нулевого провода (нейтрали) (рис. 3.2) схема разделяется на три независимые схемы Ток нейтрали определяется выражениемДля представленной схемы (рис. 3.3) без нейтрали, при симметричной нагрузке 7л = 7д = Z_c токи как в предыдущем случае, определяются соотношениями:j _ LLa I _£в т _LLcCZ'—В —СИли через фазовый множитель Lb а La* Lc=c1La-ZlAПотому что потенциалы точек 0 и п одинаковы (следовательно, если в схеме точки 0 и п соединить проводом в схеме ничего нс изменится).В схеме на рис. 3.4 при симметричной нагрузке, «треугольник» можно заменить «звездой».Рассчитать линейные токи /л, /с, а затем найти фазные токи изуравнений:La Lab Lca' Lb = Lbc LabLc - Lca LbcИли используя связь между линейными и фазными напряжениями гене­ратораU_ab -Е_д , {Lbc^LLab^ ^сл^-АВа можно определить фаз­ные токи7 _ {Lab j _ {Lbc , _ {LcaLab 7 » Lbc 7 > Lab 7LlAB 4lbc LlcaЭти же уравнения применимы для схемы на рис. 3.6.Мощность в трехфазной цепи определяется как сумма мощностей каж­дой фазыS-EArA+EHrB+Ecfc-P^jQПри симметричной нагрузке мощность определяется выражением Р-Шф1фсоь(<1>ф), 0-Зиф1ф^п^ф), 5 = 3иф1ф,ИЛИР - \Ъил1л cos((p0), Q - 4зил 1Л sin(0), S = ЖЛ1Л. Метод симметричных составляющих Расчет симметричных режимов гораздо проще несимметричных, поэтому для расчета несим­метричных (несбалансированных) режимов в трехфазных цепях широко применяется метод симметричных составляющих (МСС).Метод симметричных составляющих относит­ся к специальным методам расчета трехфаз­ных цепей и широко применяется для анализа несимметричных режимов их работы, в том числе с нестатичсской нагрузкой. В основе ме­тода лежит представление несимметричнойтрехфазной системы переменных (ЭДС, токов, напряжений и т.п.) в ви­де суммы трех симметричных систем, которые называют симметрич­ными составляющими. Различают симметричные составляющие пря­мой, обратной и нулевой последовательностей, которые различаются порядком чередования фаз. Он основан на представлении любой трехфазной несимметричной системы величин (трех векторов) в виде суммы трех симметричных систем величин. Эти симметричные системы, которые в совокупности образуют несимметричную систему величин, называются се симметричными составляющими. Симметрич­ные составляющие отличаются друг от друга порядком следования (че­редования) фаз. Они называются системами прямой, обратной и ну­левой последовательностей.Любая не симметричная система векторов однозначно раскладывает­ся на симметричные составляющиеПример: Пусть имеется трехфазная система векторов (рис. 3.7): Л--0,5+ ./2,5; S--2-J4; С = -3-./3.Разложим её на симметричные составляющие. В результате разложения каждый из векторов будет иметь свои компоненты прямой обратной и нулевой последовательностей. Например, вектор А будет иметь компо­ненты 4 = ВСКТ0Р = 1’—2>&} И вектор С = {С1,С2,С3}Чередование фаз в прямой последовательности и связь между компо­нентами векторов будет следующейAt, 5, = Л,?"'’2”'3. С1 = А1е^я'3.Чередование фаз в обратной последовательностиА2, В2 = A2ej2n'3, С2 = A2ej2K'3.В нулевой последовательности все компоненты векторов равны А)’= = Не­полезно ввести обозначение для фазового множителя:а _ ej2*13 ---+/—- -0,5 + /0.866, а2 - - - - /— - -0,5 - /0,866.2 2 2 2Заметим, что 1 + я2 + а - 1 - — — -0. Каждый из векторовАш» ^Ш Лшш Лшшнесимметричной системы раскладывается по компонентам прямой об­ратной и нулевой последовательности.Прям. Осрат. Пул. Ф Ф ФА — Л । + А-) + С-С| +С2 +с0.Или если использовать фазовый множитель и в качестве основной фазы выбрать фазу А это выражение можно переписать:Прям. Осрат. Пул. Ф Ф Ф Л — Л। 4- Лэ 4 AqС-Л|б/ + А2а2+А0 1 1а 1 а2 1 л2 } 1.4); Если обернуть это матричное выражение то можно получить: Л| -^(л+&+Са2)■ Л-|(^+^2+С")л-|и+^+с) а2 а В (А^ > А2 <2,687 + /1,289 >-1,354+./0,711,-1,833+/О,5 ? ПоследовательностиПри использовании МСС возникает вопрос, что конкретно мы со­бираемся раскладывать на симметричные составляющие. Если в систе­ме действует несимметричная системы ЭДС, а цепь сама симметрич­ная, то нужно раскладывать систему ЭДС. Если действующая система ЭДС симметричная, а электрическая цепь имеет локальную нссиммст- рию, то нужно раскладывать на симметричные составляющие ток или напряжения локального участка.Рассмотрим пример (рис. 3.9). Пусть задана симметричная система ЭДС с несимметричной нагрузкой:а = еу120° =-0,5 + 7'0,866,£.=220 В, £я=220а2, Ес = 220а, R А = 10 Ом, RB - 20Ом, Rc — 30ОмОпределим токи методом узловых потенциалов: -70-7'17,32 IB,Rf + EBRr + Ec Rc\/Ra + 1/£й+1//?с £ 1 -/л==^—= 15-Д732А, Lb LLb Ф «в 9-78,66 А, £г-<р1_с = с - = -6 + /6,928 А.Определим симметричные составляющие. Так как нет нулевого прово­да, то нулевая последовательность будет отсутствовать: _ La +(1Lb +(j2LT Ф- lr:- Ra + RE, -ф R-2 R-2Ь>-ф Ra + R i.R io R-2 «3*= Е3-ф R-2 Ir- 2.727 I R:-|-li I S:-|1E| + I2.b, + 1,E3/1 /i S - 886.364 P: fll) 12 Г = (3.409 -1.705- 2.165i -1.705+2l65i) R - 0.682 R 2 P-886.364 -R-2- 886.364 Л- - Ir 3 —Ir 3 '•Jrи )I0=_2£ I2=_l”2R R II = 3-2 no=-K>R= ±-R 3a =ei l20 def Ea;=22f F,b:=a2 Ea lie := a liaR:-3C L:-0.? cn- lOOn rU X.-wL Z^r+iX RN:- 15 Rn 5АЛА/ AAAСхема прямой последовательности Puc. 3.13 1>1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   21

30 Ohm 1|—5-55б-Д> 05 4 10 Ohn Н:Л Deg || 1598mA || >15 Ohm 220 V50 Нг/243 Deg „ ...—. Al Uhm 05 4 10 Ohn II A (^)220 MW №/120 Deg30 Ohn- I \AA- 0.3 H 10 Ohm Rn* Ohm Puc. 3.14 Схема обратной последовательностиi Схема нулевой последовательности Ua=U( +U2+U0=C Puc. 3.16RZ Ze-26.566+ 8.092i Ее - 194.816+ 59.34i Ul=Ee l\ £e U2 4 Ze U _ ( (R + 3RN)(Z + 3 Rn) R+3RN+ Z + 3Rn lk:=C.Given„ Ik Ik _ Ik (R+3 RN) (Z+3 Rn) лЕе Ze Ze = C3 3 3 R+3RN+Z+3Rn Ikz:- Find(Ik) |lkz| =5.665 Ikz= 5.619-0.719ir, Ikz zUo := Ze2 3 com(Ikz) - 5.6655.619 -7.29 'l-0.719) ur= Ee- Ikz v Ze3 -Ikz (R+ 3 RN) (Z-h 3 Rn)3 R+3RN+Z+3Rn Puc. 3.21 |1аП '5.568^ 1 zarg(la) < -8.63 |lb| - 2.689 1 arg( lb) - 168.73 b’| IlcU ,2.131,1 deg varg(lc) ) i 1 i := < 68.28j Z I-2 Z uo Rnf Ohm hTJlJJ -(1.031 1.601 0.553) 'ina^ Inb 1< be ) arg(lrN) I be | ) f 0.163^2.689,2.I31J 1 ,A= ■° Z + 3Rn<arg(Ina) deg arg(Inb)4arg(lnc) ) 134.54^168.734 68.28 )IrNla + lb + 1c | IxN| = 4.02 deg129.41deg - 24.55 Im Ina + Inb + Inc |lm| - 3.092 . Примеры расчёта несимметричных режимов Поперечная нссимметрия (замыкание фазы А на землю)Пример расчета в MathCad Образная последовательность ezaZA + 7azaZA com(E^) - A za con '110.116 -1.517^< 110.077 -2.916J<47.174 88.483^I 1.249 47.I57J 58.238 88.607^1.416 58.221 J 0Л0 Г72 - 3—z(3 < ■ L7 -Llz !l7 -о3 ** 3 з иZ° _ 7a + zN-.3 + ZA + 3Zn °°,nlГраничные условия при замыкании одной фазыZ°=T’А=У’А=7 Ua=uo+ui+u2=oИз которых следует (см. схемы замещения )t7,=£3-^-Z3 lk :-0Givei1. _,?!s7 _3 3 _ 3 3 compij - 2.165 -1.792х 10 -90.047Г ' -2.165 ) 2.165 Граничные условия при замыкании двух фазЛ=4+А+72=о кэ-с/д/з г/„/з иа/з 0 z3 z3 z0 Продольная нссиммстрия (обрыв фазы А) Е:-22< ш>100я L:=0J X:=Iz«o r:«=-S ZA : r+’-x ^:^ГХГраничные условия при разрыве одной фазы Ц = Ц, = АЛ -> ^ =( А + Л VaИз которых следует (см. схемы замещения )

Пример- 4.Дано:R1 := 10 R2 := 20 L := 0.2 Е 20 С •- 60-10" 6ЛАДДА ААААА ААА ДАД АЛА/Ищем решения в виде:р-t i( t) = icb( t) + inp = Л-е + inp inp определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации: определяет ННУ в схеме до коммутации: ilX-O) = ЩО) = о определяет ЗНУ в схеме после коммутации (Рис. 4.19): i( 0 + ■) = — io—-— io - 0.667 RI + R2 R1 + R2А := -inp + io Л = -0.133 АЛАА • Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации:„ RIR2 , Л 1 RI R2Z — + р-1. = 0 п RI + R2 L RI + R2 р - -33.333 RI-R2RI + R2 - 6.667 Записываем окончательное решение и строим график i(t): t = (t) = ДО —-еР 1 + —м RI R1 0 0.667 0.015 0.719 0.03 0.751 0.045 0.77 0.06 0.782 0.075 0.789 0.09 0.793 0.105 0.796 0.12 0.798 Unp определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации (рис. 4.22): Unp:-Г* Unp-202) Определяет ИНУ в схеме до коммутации (рис. 4.23): що>.iS.fi.„Г' js,iS.fi.R'rl2 \ 2 ) *** 2 I 2 ) Определяет ЗНУ в схеме после коммутации (рис. 4.24): U(0) = R (J - Щ0)) Uo:-R (J-io) Uo - 26.667А -Unp + Uo А - 6.667 АЛЛА I Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации (рис. 4.22): Z=y+y + R+p-L=0 р = -200 RIR2RI + R2 - 6.6675) Записываем окончательное решение и строим график i(t):U(i) := Л-ер 1 + Unp г:-—!— т - 0.005 t0, т-0.5.. 4-т|р| t - U(l) = 0 26.67 0.0025 24.04 0.005 22.45 0.0075 21.49 0.01 20.9 0.0125 20.55 0.015 20.33 0.0175 20.2 0.02 20.12 Rj- 20 £/-=40-106 ^:=2Ищем решения в виде:U(t) = Ucb(i) + inp = ЛеР 1 + Unp1) Unp определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации (рис. 4.27):Unp J R-3 Unp - 120АААААЛА • определяет ННУ в схеме до коммутации (рис. 4. 28): А/с. 4.2Я Рис. 4.29 определяет ЗНУ в схеме после коммутации (рис. 4.29 и 4.30): *:= М- W = J (Re + R) + ЕеJ (Re R) + Ее Uo - 93.333-Unp + Uo А = -26.667 Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации: Записываем окончательное решение и строим график i(t): т:=-гт т=2.4х IO-3 t 0,т-0.5.. 4-т1р|t- U(t)= UJt)А еР ’ + Unp 0 26.67 0.0012 25.24 0.0024 24.13 0.0036 23.25 0.0048 22.55 0.006 22.01 0.0072 21.58 0.0084 21.24 0.0096 20.98 Лекция № 10 §4.3 Метод расчета переходных процессов в цепи переменный токаДля расчета переходный процессов в цепи переменного тока ис­пользуют символический методПример: Определи 1ь ток источника напряжения если:/?1=20Ом, R2 = 10 Ом, L = 0,2 Гн, е(/) - 20 sin( со/ - 60° )В, f = 50 Гц, со-27и/’-313рад/с.Решение: Находим индуктивное сопротивление и комплекс на­пряжения XL - (&L - 62,80м, £ - 20е”/6° В.Ищем решение в виде i(/)-iCB(/) + /np(/)- Аер1 + /(/).1. Определяем принужденную составляющую в цепи после ком­мутации, используя символический методZ(p) -Rt + R2 + pL -0 p _-R'+R1- _-150c’1.L Определяем независимые начальные условия, i£(0) используя символический метод. £0I ‘ 2/?|+у%£ J D ! = -0,118 - /О,156 A, i, (0) =2Л,+^£ J ,/Л' = -0,156 А. ie(0+) = fr(0)=-0,156A Определяем зависимые начальные условия в схеме после ком­мутации, заменяя индуктивность/, источником тока равным <(0).Определяем константу интегрирования А /,.(0+) - А + ги/,(0) -» А -/„(0+) -/„„(0) -0,081 А.Записываем решение и строим график.i(t) -гсв(/) + Гпр(О-^' + гпр(/) -0,081е’150' +0,287sin(w/-124,466°)A . 6 1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   21

t =00 0010.0020 0030.0040 0050 0060 0070.0080 0090.010010.011010.012010.013010014010.01501 П) =-0.156-0.206-0.227-0.219-0.183-0.124-0 0490.0360120.1960.2550.291030.2820.2370.171Рис. 4.36 §4.4 Переходные процессы в цепи второго порядкаРассмотрим цепь второго порядка представленную на рис. 4.37 с параметрами: Е = 50В, R - 1 ООм, L = 0.1 Гн, С - 40мкФ.Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа, в результате получаем систему дифференциальных уравнений:+ис+/•_/? =£* —> L — + Ri + uc=E. i = C—; Первое слагаемое это исв = 4 -ехр(/>|/) + А2 ехр(р2Осв°бодная со­ставляющая. Она зависит только от параметров схемы, а также от на­чальных и конечных запасов энергии. Эта составляющая решения не за­висит от формы воздействующего напряжения.Второе слагаемое это ww/, = uc(oo) принуждённая составляющая. Она зависит от внешнего воздействия и имеет форму этого воздействия. Очевидно, что в нашем случае она определяется как ulip = i/c(oo) - Е.Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, отражающих невозможность мгновенного изменения начальных запасов энергии в конденсаторе и в катушке.Для определения констант интегрирования используем независи­мые начальные условия ис(0) = 0, iL(0) = 0.м^(0) — 0 — /4| + А2 + Е\ / к zA(O)-f^(O+)-C^-O = C'(^lp1 + Л2р,).dtОткуда следует, что. (4)P2Pl P2PlТеперь можно записать окончательное решениеиг(0 = —ехр(р/)+ Р,£ exp(p2t)+E = ———(-р2ер1 + р,еА' )■Р2-Р1 Р2-Р1 “ Р2Р\Определим корни характеристического уравнения входящие в решение uc\t) Р\^ Р2 через входное сопротивление схемы.1 CL • р + RC• р +1 А 2 п/> 1 Л /с\pL + н R — — 0 —> CL - р 4- RC • р 4" 1 — 0. (5)Ср СрВ результате решения уравнения получаются корни:-h±4o -RC±J(RC)2-4LC R If R f Г1,2 2а 2CL 2L LC (6)г- о 1Где о = — показатель затухания контура, соо - - .— угловая часто-та незатухающих колебаний, при выполнении условия (Oq > б2 имеемЗдесь соГ6, частота свободных колебаний,Корни уравнения определяются параметрами цепи и могут прини­мать следующие возможные значения (рис. 4.38).Дискриминант равен нулю. Кони вещественные, отрицательные и тг с Rкратные. Критический режим р^ 2 =“'О = - —uc(/) = £(l + 8/)e"5' + Е.• Дискриминант положительный. Корни вещественные отрицатель­ные и неравные. Апериодический режим р} 2 = -6± Jb2 -со^ ;Uc (0 = —/ Е (Р\ еР:‘ - Р-> qP}> ) + С.• Дискриминант отрицательный. Корни комплексно-сопряжённые, с отрицательной вещественной частью. Колебательный режим=-d±j(0„. uc(t)-Ee-6'cos(w,,60 + Sin(wrsr) + E . p1=p2=-6 +1“ ^св Puc. 4.38. Расположение корней на комплексной плоскости. Примеры определения корней характеристического уравнения вMathcad -456.2341361360570100)-182.6547527528318788^R 10 С:=60-10 6 L:=0.2 (R+Lp)-2R I , p : + + R solve ,p —►R+Lp+2R Cp (R+ Lp)-2 R J_R + E-р + 2-R {"'’P 2 25 R С р + 3 R Ср L + 3R+ Lp (3-R + Lp)Cp Р“ -456.234")-182.655) С- 100 ю 6 L:=0.1 Л (R+LP)R IP := + R+LP+R CP R solve, Р —> (-275) - 156.12494995995995515.(-275) + 156.1249499599599551Н Р- -275- 156.125-275 + 156.125iJ (R+LP)R I + + RR+LP+R CP 3R2CP + 2R-C P2L+ 2-R + LP (2R+ LP)CPПримеры определения корней характеристического уравнения изависимых и независимых начальных условийПример: Определить независимые/} (0),(/с(0) и зависимые начальныеусловия (/£(0+),/с(0+). Определить корень характеристического урав- 22Я+Д2 (УС(О) = /£(О)Я = -.1 .Определяем независимые начальные условия /}(0)5С/с(0). 2.Определяем зависимые начальные условия (7Z (0+),/’с(0+) из схемы после коммутации (см. документ Mathcad). 3.Определяем корень характеристического уравнения из схемы после коммутации (см. документ Mathcad). Документ MathcadORIGIN:= 1АААЛАЛААЛЛААОпредели гь напряжение па конденсаторе.Е?= 100 R 10 L:- 0.1 Г;-50106 Е 2R(Lp + R) IUnD := - Z р) := — + R + пр 3 З-R + bp СрКорни характеристического уравненияsolve,р Г(—416.62)-162.451' р •- Z(p) float, 5 (-416.61) + 162.45i_ ' -416.67- 162.45^ч -416.67+ 162.451J Независимые начальные условия Е п Е 'Lo 1R Ьс0‘ 2Зависимые начальные условияЕ“ иС0+ *Lo*r ’Lo"5 UC0"50 ’R0“ iCO:",RO",LcПос гоя иные интегрирования - I ( иС0" ипр <АПЛ) р.ЗЗЗ-81.2211^t 8.333+ 8l.22liJ со - 162.45 Unp - 33.333 ч । y 1 *Lo *np UL0 ।< L J цсо+ 'LoR 2R UL0^ F“ ‘R0R pit pj-ti(t):=Are + Aye ‘ t = 3.O31x 10 3 t:-0,0.0l-T..T-ICI |Rc(P)| -0.417 + 0.716i>-0.417-0.7l6iJ §4.5 Операторный метол расчёта переходных процессовОператорный метод (преобразование Лапласа) расчета переходных процессов используется для того, чтобы обыкновенные дифференци­альные уравнения с постоянными коэффициентами (в пространстве оригиналов) преобразовать в алгебраические (в пространстве изображе­ний). Очевидно, что алгебраические уравнения решаются проще. После решения алгебраического уравнения над полученной функцией (изо­бражением) производится обратное преобразование Лапласа, получает­ся оригинал. Полученный оригинал это функция, которая и буде1 ре­шением дифференциального уравнения.Любой функции можно сопоставить её преобразование ЛапласаF{p)^]f{t)ep,dt, (7)Оздесь F(p) изображение, /'(/) оригинал. Выражении (7) записыва­ют ещё и в операторной формеF(p) = L[/(/)] •Приведём изображение нескольких часто встречающихся функций. Определим изображение константы - /’(/) = A (const):00 jF(p) = A\e-t>'dt=-— |;=-.о Р Р F(p) = f e(l'ep‘dtОНайдем изображение экспоненциальной функции - f(t) = eal: р - а ° р - аИзображение экспоненциальной функции поможет нам найти изобра­жения синусоидальной косинусной функций- sin(cof), cos(cof). Для это­го запишем эти функции через формулу Эйлера. Далее осуществляем следующую цепочку преобразований: sin( cat) = 2Jcos( cot) if I I I _ I \ p + jeo - p + jeo co2j\p-jco /?+ jeo] 2j\ p2 +co2 J р2+ш2' Определим изображение производной функции /(f), имеющей dtизображение F(p)1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   21

ОС 7 / V СО 00j ^c-^dl -J-.1\1)ер' f +pj f{l)ep,dt = -/(0) + pF(p).0^0 0И, наконец, определим изображение интегрального выражения j/'(/)J/ о> e'-j/M*' j/Ж'ЛJ //«■>*' е-А --JI ./(е-) — |>л— око ) ” О \ О 7 ” !' ”Таблица преобразований Лапласа /(г)-оригинал F(p)- изображение 1 l/P еа> V(p-a) ёш l/(p + a) sin (со/) оУ(/?-со2) cos(cof) p/(p2+(O2) -/(0) + pF(p) 0 F(p)P Вернемся теперь к переходным процессам.Итак, мы будем сопоставлять каждой функции его изображение. Например /(/)—>/(/>), u(t) —>U(p). С учётом полученной таблицы можно сопоставить каждому элементу его изображение:u£(f) = I^y^->l(p/(p)-/£(O))^-pL I(p)- —J J1'1—> i?P“dt F ifojL -II >’ ню-”с о Р PC с i/cp ис(оурсхема изображений, в пространстве изображений находятся желаемые токи и напряжения с использованием известных методов расчета (МКирхгофа, МУП, МКТ и т.д.). Для перехода от изображения к ори­гиналу (к временной зависимости) необходимо использовать теоремуразложения: М(р) W) где /?к корни уравнения N(p) - 0.p-N(p) МО)где рк корни уравнения N(p) = 0.Пример: Определить ток источника напряжения еслиЕ = 50В,/? = 10Ом,Л = 0,4Гн. Рис. 4.49 Определим независимые начальные условия i£(0) iL(0) = E/ R = 50/\() = 5А. Изображаем операторную схему замещения после коммутации и находим изображение тока E/p+it(0)L = Е + iL(O)Lp = М(р)Р 2R + Lp p(2R + Lp) pN(p)'где: М(р) -Е + iL(0)Lp - 50 + 2р, N(p) -(2R + Lp} -20 +0,4р. Находим корень знаменателя и его производнуюJV(p) = 20 + 0,4p=0 —>р = -2/?/£ = -20/0,4 =-50с-1,N\p) = L = ^4. Для определения оригинала /(/) используем теорему разложе­ния 1(р} MW > ,(0-^(0), MW ср; 50 1 50-100^, p-N(p) А(0) pJV'(p) 20 -50 0,4-2,5 + 2,5e-50/A. Переходные процессы в электрических цепях при воздействии импульсного напряжения. (Метод пространства состояний) Интегрирующие и дифференцирующие цепи (дифференцирова­ние и интегрирование как операции фильтрации сигналов). Частотные характеристики Интеграл Дюамеля - аналитический метод расчета переходных процессов при импульсном воздействии L:-0.l2.‘ -Л--0.07IpI:=0..N Dl(t,x):-Puc. 4.52R:- 10( C:-700 10 6 p —— R-C-1 F(t) 2D(t,x):- x + — N:- 10 -4RC RC — Puc. 4.53 140 := 1Пt < T,f(t),E(t -1)) t := 0.0.01-T..3 IД>1 f(t):= 4-t-l if0 E(t)RCDc(t,x) := Ac x + Bc(t)al' TDL(l,x) = AL x + BL(t) х^:= rkfixed(0,0,4 T,N,DiJ AL^ BLa>:-^DL(t,x) Al x + BL(t) x^ = rkfixed(0,0,4 T.N.DjJ Ас:=^Dc(t,x) Ac x + Bc(t)xc := ricfixedi0.0,4 T.N,DCI t := xq<0> W. (jm) = L jПЛ Referenced ‘.Documents and Settings\Yusup\Pa6o4Hii стол\Аним_^Анимации\Уч_Пособ xmcd Rp IC 100- IO- 6 L^:- 0.02 RL1 Of co.o*- нarg(z) °’1 deg ci,o*-Rc(z> Cj ]<-lw(z)Puc. 4.59<0.928 -2I.8O1A mo - 400 com( a) -V 0.862 -0.345 ) ДО2 sin| FXDf:-5f (o:-2-T[-f сп - 314.159 T — t := 0,0.01 Т..2 Т W (WA(О Al A0.01 \ 0.02 I 0.03 \ 0.04 V/v ч , . (0.954 -17.441) (0.847 -32.142) , . (0.623-51.48$conl(a|) ^091 -0.286 J 10.717 -0.45 J [0.388 -0.487J(0.414-65.54)[o.!71-O.377JEl(t) :- 2- |a| I sin^t-cu — 9O.deg + argfa|)j + 0.2'|a->| sin(o)'2-t + 30-deg + arg(a^)j ...+ 0.3-|ад| sin^o-4-t + 45 deg + arg^a^jj + 0.1- |a-y| -sin(nj-7-t - 60 deg + argfa-yjjPuc. 4.62Лекция №11§4.6 Интеграл Дюамеля g(0Прежде всего, уместно ввести понятие переходная функция. Переходная функция это отклик системы на единичное воздейст­вие. При известной переходной функции g(t) для заданной схемы можно найти ток в цепи i(t) = g(t)UQЗдесь (70 постоянное внешнее воздействие. Для того чтобыОпределить ток при произвольном внешнем воздействии U(t), разо­бьем функцию С;(г)на прямоугольники как показано на рисунке 4.64. Полный ток в момент t получаем, используя метод наложения. Просум­мируем все частичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току «(0)g(0:КО = u(0)g(/) + £u'(T)g(/ -т)ДтЧисло членов суммы равно числу ступенек напряжения. Оче­видно, что ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кривую, чем больше число ступенек. С этой целью заменим конечный интервал времени Ат на бесконечно малый di и перейдем от суммы к интегра­лу:/(/) - i/(0)g(/) + J u'(z)g(/ - x)di,оили / K0-«(0g(0) + f*K'0g'('-'0о Пример: R IR° — + RI + L-x solve, x —► -1200 RI + R2 -1200 Uo ?= 200 т :=-r—rIpi t - 8.333x 10 4 0 otherwise RI- 200 R2-50 L - 0.2 RI + R2 RI + R2 RIR2 + — о Л - -0.003 0.007RIR2+ —2 RI -200R2=50 L=0.2Находим переходную проводимость i(t):e(t) .•= 0.0Лер1 + ! т - 8.333x 10“ 4** R|Находим ток на первом интервале i(t) 0 < t < т :

После определения матриц А и BF необходимо проверить правильность составления уравнения состояний. Это можно сделать, определив корни характеристического уравнения через сопротивление схемы:7V2 r Корни характеристического уравнения р2, Рз должны полностью совпасть с собственными числами Х|Д2Дз матрицы состояния A, det(A-X-1) =0. Зачем следует проверить принуждённые состав­ляющие решений. В схеме после коммутации их легко найти, в нашем случае они определяются соотношениями:'E-(R2+R}y ( \ис\„РиС2пр ^Lnp J 2R2+Rl E-Ry2R2 + R}E r54,545>45,455<0,455 , < 2Л2 + >С помощью матричных соотношений их легко проверить: x„/,e) = -A-|-BF ='54,545^45,455<0,455 ? Таким образом, мы убедились, что система уравнений состояния составлена правильно.Документ MalhcadАналитический метод решения переходных процессов методом переменных состоянияНаходим матрицу состояния А, используя операции Given и Find. Состав­ляем уравнения относительно переменных состояния Ucl, Uc2 и iL . Giver E= (iL+ icl) R2 ♦ Ucl R2 Find(icl,ic2,UL) —> iLR2-Uc2 R2 Uc2il.= ic2 + iLRI+UL Ucl+Uc2=CR2 < E-iLR2-Ucl Дано:C2 : 60-io \-iLRI + Ucl -Uc27 L:=0.01 R2 := 100 RI - 6:= 20 Cl := 20-10 E := 100 Записываем матрицу переменных состояния А и матрицу столбец правых частей BF. где В - матрица связи (размерности п х п), F-матрица столбец (размерности п х 1).Внимание!!! Произведение матриц BF здесь обозначено как В! Г 1 0 1 R2-C1 С1 А 0 1 1 R2-C2 С2 1 1 -RI 1 L5х 104>1 L L ) В - 0 1 0 ) ( 4 >-500 0 -5 х 10 Г Е C1-R2 А - 0 -166.667 1.667х I04 В:= 0 , 100 -100 -2х ю’ , t 0 J Определяем собственные числа матрицы состояния А => X Аeigenvals(A) '-1210.96+ 2454.4 li)Z- -1210.96-2454.4 li -244.75 ) Для проверки определяем корпи характеристического уравнения через импеданс схемы Z(p) ( 1 Р ■ + Ьр + R1 +R2 + —— СЬрR2 С2-РR2+ ——С2р , (-1210.96- 2454.4 И Аsolve ,р-> -1210.96+ 2454.4 И float, 6I, -244.752 ) Для проверки определяем принуждённые составляющие1пр R + R ч- R “С* ‘I l,P'(R| + *2) ^2 := iLnP R2 f 54.545^ MCI -54.545 iLfip = 0.455 1^2 = 45.455 -Л ‘-В- 45.455 0.455 ) Теперь обращаемся к одной из стандартных процедур решения системы ди нциальных. GivenUL+ iLR+ I iL+ u * ||,R\R_ FI 9-R J Uo:=IOC R10 L:-0.1АЛЛ/ AAAR-9-Rp := + R + Lp solve, p —► -19010-Ra 2- |p| a - 380 E(t) :-Uo-e a 1 B(t) 9 Ц1)10 L 19 R 10 L D(i,x) := A x+ B(t) 3 4N:-IO T:=T-r <(])AAAA |p| t:-yу rkfixe<(0.0,T,N.D) 9B:- —Uo-mat 10 r±9-l«10 A :--B AAAA E:-10( 5R 21 X:-eigenvals(A) X- 7(p)R +(bp + 2-RH + R\C'P Lp+ 2R+ + RCp p:-*P> solve, pfloat, 6 -554.473>। -A -270527; '•B- 66.667,1 _ EiLpr:- ।3R il.pr - 1.333 Ucpril.pr-R- 2 IJcpr - 66.667 D(t,x) :=A x+ U N:=102 i:=l..N rz o^x:-rkfixec 1 °2 ,0,T, N,D t := x PTP №3. РА СЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХЦЕПЯХЦепь I-го порядкаРассчитать ток источника ЭДС ze(/) и напряжение на источнике тока при постоянном источнике e(t) - Е или z(/) -I (Е -I - /0 = 6.4) классическим и операторным мето­дом и построить временной график; при гармоническом источнике e(t) = Ет sin(co/ + \|/) или /(/) - lm sin( соГ + \|/) (Еп1 = (70, / = /0 = 6Л) классическим методом; ) операторным методом и с помощью интеграла Дюамеля при экс­поненциальном воздействии e(t) = и^е"и' или z(f) = /oe-r'\ гдса-2/т-2-|р||, т-1/|/?|| - постоянная времени; О, с помощью интеграла Дюамеля в буквенном виде при импульсном воздействиигде ti = 0,5т, т постоянная времени цепи.Построить качественный график ie(i) или U/i) для времени 0*40.Предварительно привести подобные в аналитических выражениях.Цепь Н-го порядкаПри постоянном воздействии Е = Uo: Классическим методом определить ток и напряжение на кон­денсаторе 07; Определить iL(i) - студентам с фамилиями на А Л и UcO) - с фа­милиями на М Я.Построить графические зависимости или Uc(t) Методом переменных состояния определить ток индуктивности и напряжение на емкости Uc(t)y напряжение на индуктивно­сти UL(t) и ток емкостиic(l). Построить графические зависимо- сти iL UL (Г),ic(t). Подтвердить расчеты пунктов 1,2, 6, 7 проделав работ у на ElectronicsWorkbench ПРИМЕЧАНИЕ. На схемах показано положение ключей до комму­тации.1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   21

CTBCHHO.Очевидно, что в этом случае мы можем получить следующие соот­ношенияdu jmldU(x) > eJ ;dx dxL.l(x)- jtaL^x^;dt dx dx dxCo^-^ j^U(x)e^.dt Подставив вес выше полученные выражения в телеграфные уравнения, и сократив на множитель , получим dU(x) -( -L \ J ( V V dx V'O ■ (26) dl(x) dx -(g0+jcoC0)£7(x). Введя обозначения Zo -/5 + jcoAq, -g0 +/оэСо, и опуская зависи­мость напряжения и тока от пространственной координаты эти уравне­ния можно переписатьПродифференцируем первое уравнение по х и подставим в него второе получим дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами2 э ту=7ад. (2г)dx dxБудем искать решение в виде U = Аерх. Подставляя искомое решение в (2г) получим характеристическое уравнение относительно р р2-у2=0 -» р1Д = ±у.Теперь решение можно записать в видеU - А + А2ер'х = А^х + А2е<х.Здесь А2 комплексные константы которые определяются с помощью граничных условий, комплексное число у - принято называть постоянной распространения. Запишем его в алгебраической формеy = a + jp,где а коэффициент затухания (характеризующий затухание падаю­щей волны на единицу длины линии); Р коэффициент фазы (про­странственная частота): он характеризует изменение фазы падающей волны на единицу длины линии. Размерность величин [у] = [а] = [р] = 1/ки.Найдем ток из уравненийdU_ 7 t v , 1 dU А^'-А^dx °- - Zo dx Zn/yВеличину, стоящую в знаменателе Z0/y называют волновым сопро­тивлением и обозначаю! Z,: оZ = —Следовательно, ток можно записать Ze Ze Z, 4^ -А2е<х А^ А2еух Теперь можно перейти от комплексных величин к мгновенным значениям, то есть осуществить обратный переход от комплексных функций к мгновенным значениям тока и напряжения:—>i(x9t)9 U{x]e^ —>u(x9t).В результате получимм(л,/) = si п (со/ -рл + \|/|) + Лг!4'** sin(co/ + Р% + \\f2), Бегущая волна характеризуется волновыми параметрами длинной волны!. и фазовой скоростью и. Скорость распространения и и дли­ну X волны можно определить, используя выражения: СО/ - 0Л' + \|/1 = const —> J(tO/ -Рл +\|/|) dt „ ^Х ZX ^Х Ю= (о-В — = 0 и = ,dt dt Р Формулы для определения напряжения и тока в любой топке липни через комплексы напряжения и тока в начале линии Выпишем комплексное представление волн напряжения и тока вдоль линии, и определим константы интегрирования входящие в эти выражения, используя граничные условия в начале линии:■А2е1Х ■ (4)Z'—О —оПусть в начале линии при х = 0 напряжении и тогда можно по­лучить:I £1=41+42;[ZiZ’e =Ai 42-Просуммируем первое, и второе уравнения в системе (4), в результате получим выражение для константы А{:4i=Ll+Z1^.=^<Вычитая второе уравнение из первого в системе (4), получим выраже­ние для константы А.:j i L\ zЛ. . /кр— 2 ет -еПоставим найденные константы в выражения для напряжения:U Li +£|^е-у.у + Li L\?.e е-/х _ и— 2 2 Напомним, что в скобках находятся гиперболические функции си­нус и косинус: ch(ух) - ' ev + eyx> sh(yx) - (еух -еух>к 2 ,Приведём графический вид функций сА(х), $Л(х).Теперь выражения для на­пряжения и тока можно перепи­сать в виде:U(x) = Uich(yx)-LiZesh(yxY,I(x)-I_{ch(yx)-^-sh(yx). (5)Используя это выражение можно получить связь между величинами в начале и в конце линии. Поста­вим х = ( в выражения (5), здесь / длина линии:^(0 = с/2-^сЛ(уП-/|^Л(тО;£(/)-Л -Lich(yt)-^-sh(yf.). (6)—вРешим уравнения (6) относительно t/2 м получим систему уравне­ний позволяющую определять ток и напряжения в начале линии при из­вестных значения в конце линии.V, -(/2cA(yO4-£2z^A(yO;li -^-sh(yf)+I_2ch(yt). ’—6Если ввести обозначения А - D=ch(£y), В - Zesh(t,y),C = sh((y)/Ze то мы получаем уравнение четырехполюсникаIU । = AU j + BI7:. (8)Ui -CU2+DI_2.Для всякого пассивного четырехполюсника выполняется:AD -ВС = ch2(yf.)-sh2 (у () = 1. (9) §5.2 Формулы для определения напряжения и тока в любой точке липни через комплексы напряжения и тока в конце линииОбозначим расстояние от текущей точки на линии до конца линии v, а длину всей линии С:у=£-х. (Ю)Пусть известны напряжения и ток в конце линии £72 и Z2. Будем ис­пользовать эти значения как граничные условии при у = 0. На основа­нии системы уравнений (4) получаем:{/(0) = С7, = Л|е’^ + Л,^ 7(0) =/24 (У^У> л У> £e ZeРешая систему относительно констант Л, и А->: Т/2 = Л|^ + Л2е^;А -^-+l2Zeеу( = (12)—I 2 1 Л2Подставив найденные значения постоянных А} и Л2 в систему (4) по­лучаем: (13)U(У) - + Li I_(y) - + /2сЛ(уу), §5.3 Липин без потерьСтрого говоря, линии без потерь нс существует. Однако можно создать линию с очень малыми потерями (с очень малыми гГ) и g0 по сравнению с соЛ0 и соСо соответственно). В ряде случаев, в особенности при высо­ких частотах, когда соЛр»^ и (oCo»go, можно пренебречь наличием потерь в линии и принять г0 =0 и go =0. В этом случае коэффициент затухания а-0, и коэффициент распространения становится чисто мнимой величиной у = у’Р, [$ - co^/Z^Cp , а волновое сопротивление явля­ется чисто активным:Ze=z6. (14)Дтя определения напряжения и тока в любой точке линии обра­тимся к системе уравнений (13) 1л(у)=С72сЛ(Уу)+£2^Л(Уу); I Ку) - ^sh(yy) + К(:КТУ)- (15) и учтем, что сЛ(уу) - ch(jfiy) - cos(P.v), лЛ(уу) = лЛ(./Ру) = /sin(Py), и перепишем уравнения (15): (7(у) = и_2 cos(Py) + JLiZls sin(Py); КУ) = j =^-sin(P v) + Д cos(Py). (16) Используя те же выражения для системы (5) можно записать урав­нения линий без потерь через ток и напряжения в начале линии: (/(V) = cos(Pv) - ;7, Z, sin(Pv);Ку) = - 7 y-sin(py) +1_, cos(Py). (17) §5.4 Коэффициент отраженияОтношение напряжения отраженной волны в конце линии к напряже­нию падающей волны в конце линии называют коэффициентом от­ражения по напряжению и обозначаю i Ки. В соответствии с формулой (12) можно получить: Из этого выражения видно, что при Zn = ZD согласованной нагрузке мы получаем /См=0, и следовательно нет отраженной волны, а при Zw —> оо холостом ходе мы получаем Ки = 1 то есть волна полностью отражается. Действующие значения напряжения и тока вдоль линии без потерь Ки=-0,5 Стоячие волны Если в конце линии без потерь нс потребляется активная мощность (линия разомкнута, закорочена, замкнута на реактивную нагрузку), то в такой линии возникают стоячие волны.При разомкнутом (/2 =0, Z2 =0°) конце линии без потерь напряже­ние и ток в любой се точке определяется с помощью уравнений в триго­нометрических функциях:(7(у) = (/2 cos(pv); £(y) = J=1sin(py).‘—в (176) Если U_2 то мгновенное значение напряжения и тока вычисляютсяпо уравнениям (17в)Каждое из этих уравнений представляет собой произведение двух функций, причем аргумент одной из них зависит только от времени, а другой только от координаты. Иначе говоря, в любой фиксированной точке линии напряжение и ток изменяются по синусоидальному закону со сдвигом по фазе на четверть периода. При этом распределение на­пряжения и тока вдоль линии для любого момента времени является также синусоидальным. В результате в конце линии в точках, находя­щихся от конца линии на расстоянии = (к - целое число), напря­жение имеет максимальные значения (пучности жирные точки на рис. , а токи нулевые значения (узлы). В точках, которые отстоят от X конца линии на расстоянии v = — (2А +1), существуют ухлы (полые точ- 4ки на рис. 5.8) напряжения и пучности тока. При этом узлы и пучности тока и напряжения нс перемещаются по линии. Стоячую волну можно представить как результат наложения падающей и отраженной волн с одинаковыми амплитудами. Входное сопротивление линии без потерь при холостом ходе При холостом ходе ток в конце линии равен нулю /2 = 0 . Поэтому можно записать (из 17)_У_ _ C2cos(P,y) . Z* . /СоНа рисунке 5.9 приведена функция tg(y)9 которая в ин­тервале от 0 до л/2 является положительной, следовательно, имеет емкостной характер (множитель -J) и изменяется по модулю от оо до 0 . Далее в интервале от л/2 до л функ­ция /g(v) отрицательна. В этом случае ZBXXX имеет ин­дуктивный характер и изменя­ется от 0 до х. И так далее, та­ким образом, изменяя длину отрезка линии без потерь, можно имитиро­вать емкостное или индуктивное сопротивление любой величины. Практически это свойство используется при высокой частоте в различ­ных радиотехнических устройствах.В точках линии, в которых существует узлы тока и пучно­сти напряжения, линия может быть представлена резонансным контуром с параллельным со­противлением емкости и индук­тивности, а в точках, в которых имеются узлы напряжения и пучности тока, ту же линию можно представить резонанс­ным контуром с последователь­ным соединением емкости и индуктивности.При коротком замыкании линии (<Л = О* Z2 = 0 ) из урав­нений (17) определяем: tZ(>,)=Z2Vin(₽y);/(у) = /2 COS(Pv).В этом случае уравнения для мгновенных значенийu = I2n,z3s in(pv)cos((or)i -12т cos(P v)sin((or) (17г) (17д)определяют стоячие волны. В конце линии и в точках, отстоящих от ее X,конца на расстоянии у = —к , имеются узлы напряжения и пучноститока, а в точках, которые находятся на расстоянии у = — (2 А' +1), пуч- 4 7 —ВХ к.3 L2 Sin(Pv)ности напряжения и узлы тока. Входное сопротивление линии без по­терь, короткозамкнутой на конце,Эго сопротивление, так же как Z!IXXX, является чисто реактивным и в зависимости от длины участка у линии и частоты со получается или индуктивным или емкостным (рис. 5.10).На рисунке 5.11 показан график входного сопротивления вдоль короткозамкнутой линии, из которого следует, что при 0< у<А./4; А/2 < у < 31/4 и т.д. линия представляет собой индуктивное сопротивление; ток отстает по фазе от напря­жения на четверть периода.При1 / 4 < у < X / 2; 31 / 4 < у < 1 и т. д. линия представляет собой емкостное сопротивление; ток опережает по фазе напряжение линии на четверть периода.Лекция № 13 Аналогия между уравнениями линии с распределенными параметрами и уравнениями четырехполюсника Напряжение и ток на входе линии с распределенными параметрами ((7и/j)связаны с напряжением и током в конце линии ({А’/.2)слс‘ дующими уравнениями:c/iL\ -^^(y0 + L2ch(yf).Сопоставим их с известными уравнениями четырехполюсника:t/j -AU_2+BI_2\/j -CU2 + D72.Из сопоставления следует что уравнения по форме полностью ана­логичны, а если принять обозначения, чтоА - D -сЛ(/;у), В = Zesh(ty\С = sh(ty)/Ze (17с)то зависимость между и (/2, и 72и зависимость между и U_2 и Li в линиях с распределенными параметрами Точно такие же, как в чсты- рехполюсникс. Другими словами, при соблюдении условий (17с) четы­рехполюсник эквивалентен линии с распределенными параметрами в отношении связи между входными и выходными токами и напряжения­ми.При перемене местами источника и нагрузки токи в источнике и нагрузке нс изменятся. Таким же свойством обладав симметричный че­тырехполюсник. Поэтому однородная линия с распределенными пара­метрами может быть заменена симметричным четырехполюсником и. наоборот, симметричный четырехполюсник можно заменить участком однородной линии с распределенными параметрами.1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   21


СОДЕРЖАНИЕ


ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Лекция №11

ПОСТОЯННЫЙ ток

§1.1. Законы Кирхгофа

Рассмотрим простую электрическую цепь с одной ЭДС и несколь­кими сопротивлениями, соединёнными параллельно. Будем считать, что величины ЭДС и сопротивлений нам известны. Все элементы цепи со- сдинсны параллельно, поэтому на­пряжение на каждом элементе оди­наково и равно Е, но токи разные они обратно пропорциональны величинам сопротивлений соответ­ствующих ветвей и определяются по закону Ома:

Результирующий ток /, протекающий в ветви с ЭДС, будет равен сумме токов всех ветвей без ЭДС, то есть

I — Iy+I2+I3 + 1п. (2)

Если подставить выражение (I) в (2), то можно получить:

] = 2 3 4& (3)

Коэффициент пропорциональности между током и ЭДС называется проводимостью и измеряется в сименсах [См]. Итак, мы получили важ­ную формулу, позволяющую определить результирующее эквива­лентное сопротивление схемы с параллельным соединением проводни­ков:

1 1 1 11 п 1 /лч

-£1 + g3 + + 8п— + — + — + + Т-Т‘ "*■ Лэ-—(4)

/?] Т?2 Rn Ъ g3

В частном случае, когда в цепи
два сопротивления, выражение (4)



можно переписать:


1 1

/?2 Аэ

1 r}r2

3 g, Я]+Я2
(5)



Это выражение следует запомнить, потому что в электротехнике часто приходится преобразовывать цепь с двумя параллельно включен­ными сопротивлениями.

Отметим полезную информацию, которая содержится в выраже­нии (4). Если вы правильно подсчитали результирующее (эквивалент­ное) сопротивление схемы параллельно соединённых проводников, то величина результирующего сопротивления должна быть меньше вели­чины самого маленького сопротивления цепи. Теперь вернёмся к выра­жению (2). Это выражение называется первым законом Кирхгофа, и формулируется следующим образом: Алгебраическая сумма токов в узле равняется нулю.

Алгебраическая сумма означает, что следует учитывать знаки, например если входящие в узел fj токи берутся со знаком плюс, то выходящие ! должны быть взяты со знаком минус. Или наобо­

рот. Запишем первый закон Кирхгофа для узла, Л h приведённого на рисунке 1.3:

Рис. 1.3 “ Лз + Л “ Л = 0 • (6)

Рассмотрим простейшую цепь с последова­тельным соединением проводников, приведённую на рисунке 1.4. В представленной схеме известны все сопротивления и ЭДС. Через все сопротивления проходит один и тот же ток. Результирующее или сум­марное сопротивление схемы равняется сумме всех сопротивлений:

7?э — /?| + 4" Ry 4-.... 4- Rn (7)

По закону Ома, ЭДС в результирующей цепи равняется произве­дению силы тока на результирующее сопротивление. Проделав неслож­ные преобразования можно получить:

E-R3-1-(R} +R2+Ry 4-.... + /?n)Z = (/1 + (72 4-(/3 + 4-(/w (8)

где (7, - I • Л], U2 -I R2, и т.д. В результате мы получили второй за­кон Кирхгофа, который формулируется следующим образом: алгебраи­ческая сумма напряжений для любого замкнутого контура равняет­ся алгебраической сумме ЗДС контура:

сункс 1.5, преобразование схемы производят в следующем порядке. Сначала преобразуют сопротивления, соединённые параллельно (Ry и/?4), а затем производят преобразования для сопротивлений, со­единённых последовательно, то сеть:


Ry+R4 R3+R4

Эго правило иногда называют ’’правилом разброса”, так как общий ток ветвей 3 и 4 разбрасывается по ветвям с коэффициентами пропорцио­нальности R4/(Ry 4-Л4) и Ry/(Ry 4-7?4).

§ 1.2. Примеры использования законов Кирхгофа (методы расче­тов)

Для определения токов в электрической схеме использовать пра­

последовательно соединённых со­противлений можно нс всегда. Например, для цепи представ­ленной на рис. 1.6, это мешают сделать ЭДС Е} ,Е2 и Е3. В та­ких случаях для определения то­ков используют первый и второй законы Кирхгофа. Число уравне­ний, необходимых для определе­ния токов, равно числу ветвей. Число независимых уравнений,

которых можно записать по первому закону Кирхгофа, равно Y-1, где Y

число узлов в схеме. Остальные недостающие уравнения, которые нужны для завершения системы, записывают по второму закону Кирх­гофа. Рассмотрим в качестве примера схему, представленную на рисун­ке 1.6, предполагая, что все сопротивления и ЭДС нам известны.

Схема имеет три ветви, следовательно, необходимо записать три уравнения. Записываем одно уравнение по первому закону Кирхгофа.

Например, для второго узла:
(13)
ZI-Z2-Z3=O.

Два недостающих уравнения записываем по второму закону Кирх­гофа для первого и второго контуров соответственно:

I\R\ + I^R-) — Ei + Е-)

2 “ . (14)

—Z2/?2 + 3^3 ^3

Запишем уравнения (13) и (14) в виде системы уравнений, предва­рительно правильно сгруппировав коэффициенты при неизвестных, в результате получаем формальное решение:

(15)

Рассмотрим пример с числовыми данными.

Пример 1: Дана схема с тремя ЭДС и шестью сопротивлениями. Определить все токи в схеме (рис. 1.7), если:

Л, = 10 Ом, Т?2 = 12 Ом, = 15 Ом, Л4 = 20 Ом, = 10 Ом,Л6 = 8 Ом, £j=50B, £2=30 В, £3=15В.

Схема имеет шесть ветвей, следовательно, необходимо соста­вить шесть уравнений. Три уравне­ния (Y-l=3) по первому закону Кирхгофа (1-ЗК) и три уравнения по второму закону Кирхгофа (2- ЗК). Для узлов 1, 2 и 3 соотвстст-

fZl-Z3-Z4=0;

Z4 + Z5-Z6=0; (16)

/2 + А + /6 - 0.

Для контуров I, II и 111 используем 2-ЗК:

/17?1 + — I5R5 Е\ ’

* ААз “4^4 — 6^6 = ( 1 ?)

“А^А + А^А + А>А> А*

Перепишем в матричном виде и подставим числовые значения. В результате получаем:
ч
0
-1
-1
0
0 >



ч
0
-1
-1
0
0>



' 0 '



' 0 >






0
0
0
1
1
-1



0
0
0
1
1
-1



0



0



Л -
0
1

0
1

0
0 к
0

-А
1

0
=
0

10
1

0
1

0
0

20
0

-10
1

0
, в =
0
—
0

50
,(18)




0
0
R.
-R.
0






0
0
15
-20
0
-8









-15






0-
я.
0
0
/?5
*4



д-
12
0
0
10
«>



ч ,



[ 30 ,





1=А' в=
л Л Л л Ц)


' 2,329-2,075

1,121

1,209

-0,254

ч 0,955 ,

§ 1.3. Матрично-топологический метод

Когда ветвей и узлов в схеме много, решение методом Кирхгофа становится утомительным, потому что приходится составлять алгебраи­ческие уравнения высокого порядка. Поэтому в электротехнике суще­ствуют методы, позволяющие понизить порядок системы линейных ал­гебраических уравнений. Такие методы называются матрично- топологическими. Топологические методы особенно удобны для ис­пользования компьютерных вычислений.

Рассмотрим использование матрично топологического метода для схемы, приведённой на рисунке 1.8 а.

Прежде всего, рисуют ненаправленный (неориентированный) топо­логический граф схемы. Рисуются ветви схемы без элементов. Причем, рисуются только тс ветви схемы, элементы которых имеют конечное сопротивление. Например, для рис. 1.8,6 приведен граф схемы, пред­ставленной на Рис. 1.8 а, на котором видно восемь ветвей и четыре узла.

Затем задают направления токов, и граф становится направленным (ориентированным). Следующим этапом составляют узловую матрицу, задавшись базовым узлом. Базовый узел это узел, потенциал которого равен некой постоянной величине, в частности нулю. Пусть, например, четвертый узел будв! базовым узлом. Тогда сформируем узловую мат­рицу А по следующему правилу: если ток ветви подтекает к узлу, то ставим -1, если ток ветви оттекает от узла, то ставим 1, если ветвь не имеет связи с узлом, то ставим 0. Для схемы, изображённой на Рис. 1.9, узловая топологическая матрица 3 будет следующей:

Ветви
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21


1 2 3 4 5 6

  1. Г-1 о 1 । о (Р

  2. Д= 0 0 0-1-1 1

РиС , 3 0 -I -| 0 0 -1;

Узлы

Составим теперь матрицу контуров В по следующему правилу: если ветвь нс входит в контур, то ставим 0, если ветвь входит в контур, то ставим 1 в случае совпадения направления обхода контура с направ­лением тока, и ставим -1 в противном случае. Для схемы, изображённой на Рис. 1.9, контурная топологическая матрица будет иметь вид:

Ветви

12 3 4 5 6

I Г 1 0 0 1—1 0>

11 в = 0 0 1-10-1
111 ч 0 -1 0 0 I I;

Контуры

Если узловая и контурная матрицы составлены правильно, то их произведения должны равняться нулевой матрице:

0 0 0 А


В АГ = А Вг =


0 0 00 0 0,

Важными являются также диагональные матрицы сопротивлений t//ag(R) и проводимостей diag(u), а также матрицы ЭДС и источников тока.

Диагональная матрица сопротивлений состоит только из диаго­нальных элементов, элементами которой являются величины сопротив­лений ветвей. То есть первый диагональный элемент это результи­рующее сопротивление первой ветви, второй диагональный элемент это результирующее сопротивление агорой ветви и так далее.

Диагональная матрица проводимостей матрица образная диаго­нальной матрице сопротивлений rfiag(g) = Jtog(R)"1.

Топологическая матрица ЭДС это столбцевая матрица, количест­во элементов которой равно количеству ветвей схемы без источников тока. Элементы матрицы ЭДС формируется по следующему правилу: если ЭДС в ветви отсутствует, то ставим 0, если направление ЭДС сов­падает с направлением тока в ветви, то ставим ЭДС с положительным знаком, в противном случае ставим ЭДС с отрицательным знаком.

Топологическая матрица источников тока является столбцевой матрицей, количество элементов которой равно количеству ветвей схе­мы без источников тока. Элементы матрицы источников тока формиру­ются также как матрица ЭДС: если источник тока соединён параллельно z-той ветви с током и направление источника тока совпадает с на­правлением тока lj, то в этом случае ставим величину источника тока с положительным знаком. Если направление источника тока нс совпадает с направлением тока в ветви 7,, то ставим величину источника тока с отрицательным знаком. И, наконец, если источник тока отсутствует, то ставим нуль. Ниже приводится пример формирования топологических матриц для схемы, приведенной на рисунке 1.8.


'*х



у о о о о о



т/



Оу 0 0 0 0



'X



0 о— ООО



1



гх



0 0 Оу 0 0



'у



ООО ОуО



'х



0 0 0 0 0 —

1 /







'*Х 0 0 0 0 о4

0 W 0 0 0 0

00^000
= (М)У»|/> = j

0 0 0 7/0
0

0 0 0 0 7/
0







, 0 0 0 0 0 'у,




Лекция № 2

§ 1.4. Метод контурных токов

Прежде чем продолжить рассмотрение матрично топологического метода, рассмотрим метод контурных токов. Суть метода заключается в уменьшении размерности матрицы СЛАУ для определения токов. Рас­смотрим, например, схему, приведённую на рисунке 1.10 примера 1.

Выберем произвольное направление токов в ветвях. Будем считать, что в первом контуре течёт только ток Jx и будем называть его контурным током. Аналогично во втором кон­туре, полагаем, что течёт ток J2. И, наконец, в третьем контуре будем считать, что течёт ток Составля­ем уравнения для контурных токов по второму закон Кирхгофа:

J\ (R\ + Т?4 + R>)— — Е\

J\R^
+ ^2 (^4 + +

—J । R^ — J-) R(} + Jу (+ R^ + Т?2) “

(19)

При составлении уравнений учтено, что в смежных ветвях проте­кают два контурных тока, направленных навстречу друг другу. Под­ставляем числовые значения сопротивлений и ЭДС в СЛАУ и получаем

' 40-20-10^
-20 43 -8 ,

,-Ю -8 30у

(20)

Теперь можно найти токи в ветвях, используя их связь с контурны­ми токами:
(21)
=^1* ^2 = Лз* ^3 =*^2* ^4 =^1 ^2'^5=Лз ^1'^6=Лз *^2’ 1Т =(2.329 2,075 1,121 1.209 0.254 0.955).

    1. Баланс мощностей

При составлении СЛАУ по первому и второму законам Кирхгофа можно допустить ошибку, например, пропустить в нужном месте знак минус, и, как следствие, получить неправильное значение токов. Для проверки числовых значений токов составляют баланс мощностей для источников энергии ЭДС и источников тока, и для потребителей энергии сопротивлений. Эго закон сохранения энергии сколько энергии было выделено источниками энергии столько же должно быть потреблено потребителями. Определим мощность источников и мощ­ность приёмников для нашей схемы.

Мощность источников энергии:

Ри = Z, - Е3/3 - Е2 /2 = 16 Ь 899 Вт. (22)

Мощность погребителей энергии:

Рп = +722^2 +/32/?3 +/42/?4 ^!52r5+/6
2r6 161,899Вт. (23)

Баланс сошелся, следовательно, все токи найдены правильно.

    1. Метод контурных токов на основе матрично-топологического подхода

Теперь решим задачу примера 1 матрично-топологическим мето­дом. Топологический метод заключается в формализации всех опера­ций. Для этого нам понадобятся топологическая контурная матрица и диагональная матрица сопротивлений:



'Я( 0 0 0 0 0 >



То 0 0 0 0 О'









0 & 0 0 0 0



0 12 0 0 0 0



0 1-1 О'





















0 0 Я, 0 0 0



0 0 15 0 0 0



1-1 0-1
, R =









(24).







0 0 0 Я, 0 0



0 0 0 20 0 0



0 0 11















/



0 0 0 0 Я5 0



0 0 0 0 10 0









чо о о о о я6,



ч0 0 0008,




( 1 О


В- О О


О -1


Матрицу сопротивлений для контуров можно переписать в виде




матричного произведения грех топологических матриц:









О)

Смотрите также файлы