Файл: Лекция 11 постоянный ток.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.03.2024

Просмотров: 125

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИЛекция №11 ПОСТОЯННЫЙ ток§1.1. Законы КирхгофаРассмотрим простую электрическую цепь с одной ЭДС и несколь­кими сопротивлениями, соединёнными параллельно. Будем считать, что величины ЭДС и сопротивлений нам известны. Все элементы цепи со- сдинсны параллельно, поэтому на­пряжение на каждом элементе оди­наково и равно Е, но токи разные они обратно пропорциональны величинам сопротивлений соответ­ствующих ветвей и определяются по закону Ома:Результирующий ток /, протекающий в ветви с ЭДС, будет равен сумме токов всех ветвей без ЭДС, то естьI — Iy+I2+I3 + 1п. (2)Если подставить выражение (I) в (2), то можно получить: ] = 2 3 4& (3) Коэффициент пропорциональности между током и ЭДС называется проводимостью и измеряется в сименсах [См]. Итак, мы получили важ­ную формулу, позволяющую определить результирующее эквива­лентное сопротивление схемы с параллельным соединением проводни­ков:1 1 1 11 п 1 /лч-£1 + g3 + + 8п— + — + — + + Т-Т‘ "*■ Лэ-—(4)/?] Т?2 Rn Ъ g3 В частном случае, когда в цепи два сопротивления, выражение (4)можно переписать: 1 1/?2 Аэ 1 r}r23 g, Я]+Я2 (5) Это выражение следует запомнить, потому что в электротехнике часто приходится преобразовывать цепь с двумя параллельно включен­ными сопротивлениями.Отметим полезную информацию, которая содержится в выраже­нии (4). Если вы правильно подсчитали результирующее (эквивалент­ное) сопротивление схемы параллельно соединённых проводников, то величина результирующего сопротивления должна быть меньше вели­чины самого маленького сопротивления цепи. Теперь вернёмся к выра­жению (2). Это выражение называется первым законом Кирхгофа, и формулируется следующим образом: Алгебраическая сумма токов в узле равняется нулю.Алгебраическая сумма означает, что следует учитывать знаки, например если входящие в узел fj токи берутся со знаком плюс, то выходящие ! должны быть взяты со знаком минус. Или наобо­рот. Запишем первый закон Кирхгофа для узла, Л h приведённого на рисунке 1.3:Рис. 1.3 “ Лз + Л “ Л = 0 • (6)Рассмотрим простейшую цепь с последова­тельным соединением проводников, приведённую на рисунке 1.4. В представленной схеме известны все сопротивления и ЭДС. Через все сопротивления проходит один и тот же ток. Результирующее или сум­марное сопротивление схемы равняется сумме всех сопротивлений:7?э — /?| + 4" Ry 4-.... 4- Rn (7)По закону Ома, ЭДС в результирующей цепи равняется произве­дению силы тока на результирующее сопротивление. Проделав неслож­ные преобразования можно получить:E-R3-1-(R} +R2+Ry 4-.... + /?n)Z = (/1 + (72 4-(/3 + 4-(/w (8)где (7, - I • Л], U2 -I R2, и т.д. В результате мы получили второй за­кон Кирхгофа, который формулируется следующим образом: алгебраи­ческая сумма напряжений для любого замкнутого контура равняет­ся алгебраической сумме ЗДС контура:сункс 1.5, преобразование схемы производят в следующем порядке. Сначала преобразуют сопротивления, соединённые параллельно (Ry и/?4), а затем производят преобразования для сопротивлений, со­единённых последовательно, то сеть: Ry+R4 R3+R4Эго правило иногда называют ’’правилом разброса”, так как общий ток ветвей 3 и 4 разбрасывается по ветвям с коэффициентами пропорцио­нальности R4/(Ry 4-Л4) и Ry/(Ry 4-7?4). § 1.2. Примеры использования законов Кирхгофа (методы расче­тов)Для определения токов в электрической схеме использовать пра­последовательно соединённых со­противлений можно нс всегда. Например, для цепи представ­ленной на рис. 1.6, это мешают сделать ЭДС Е} ,Е2 и Е3. В та­ких случаях для определения то­ков используют первый и второй законы Кирхгофа. Число уравне­ний, необходимых для определе­ния токов, равно числу ветвей. Число независимых уравнений,которых можно записать по первому закону Кирхгофа, равно Y-1, где Yчисло узлов в схеме. Остальные недостающие уравнения, которые нужны для завершения системы, записывают по второму закону Кирх­гофа. Рассмотрим в качестве примера схему, представленную на рисун­ке 1.6, предполагая, что все сопротивления и ЭДС нам известны.Схема имеет три ветви, следовательно, необходимо записать три уравнения. Записываем одно уравнение по первому закону Кирхгофа.Например, для второго узла: (13)ZI-Z2-Z3=O. Два недостающих уравнения записываем по второму закону Кирх­гофа для первого и второго контуров соответственно:I\R\ + I^R-) — Ei + Е-)2 “ . (14)—Z2/?2 + 3^3 ^3Запишем уравнения (13) и (14) в виде системы уравнений, предва­рительно правильно сгруппировав коэффициенты при неизвестных, в результате получаем формальное решение:(15)Рассмотрим пример с числовыми данными.Пример 1: Дана схема с тремя ЭДС и шестью сопротивлениями. Определить все токи в схеме (рис. 1.7), если:Л, = 10 Ом, Т?2 = 12 Ом, = 15 Ом, Л4 = 20 Ом, = 10 Ом,Л6 = 8 Ом, £j=50B, £2=30 В, £3=15В.Схема имеет шесть ветвей, следовательно, необходимо соста­вить шесть уравнений. Три уравне­ния (Y-l=3) по первому закону Кирхгофа (1-ЗК) и три уравнения по второму закону Кирхгофа (2- ЗК). Для узлов 1, 2 и 3 соотвстст-fZl-Z3-Z4=0;Z4 + Z5-Z6=0; (16)/2 + А + /6 - 0.Для контуров I, II и 111 используем 2-ЗК:/17?1 + — I5R5 Е\ ’* ААз “4^4 — 6^6 = ( 1 ?)“А^А + А^А + А>А> А*Перепишем в матричном виде и подставим числовые значения. В результате получаем: ч 0 -1 -1 0 0 > ч 0 -1 -1 0 0> ' 0 ' ' 0 > 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 1 1 -1 0 0 Л - 0 10 10 0 к 0-А 10 = 010 10 10 020 0-10 10 , в = 0 — 050 ,(18) 0 0 R. -R. 0 0 0 15 -20 0 -8 -15 0- я. 0 0 /?5 *4 д- 12 0 0 10 «> ч , [ 30 , 1=А' в= л Л Л л Ц)' 2,329-2,0751,1211,209-0,254ч 0,955 , § 1.3. Матрично-топологический методКогда ветвей и узлов в схеме много, решение методом Кирхгофа становится утомительным, потому что приходится составлять алгебраи­ческие уравнения высокого порядка. Поэтому в электротехнике суще­ствуют методы, позволяющие понизить порядок системы линейных ал­гебраических уравнений. Такие методы называются матрично- топологическими. Топологические методы особенно удобны для ис­пользования компьютерных вычислений.Рассмотрим использование матрично топологического метода для схемы, приведённой на рисунке 1.8 а.Прежде всего, рисуют ненаправленный (неориентированный) топо­логический граф схемы. Рисуются ветви схемы без элементов. Причем, рисуются только тс ветви схемы, элементы которых имеют конечное сопротивление. Например, для рис. 1.8,6 приведен граф схемы, пред­ставленной на Рис. 1.8 а, на котором видно восемь ветвей и четыре узла.Затем задают направления токов, и граф становится направленным (ориентированным). Следующим этапом составляют узловую матрицу, задавшись базовым узлом. Базовый узел это узел, потенциал которого равен некой постоянной величине, в частности нулю. Пусть, например, четвертый узел будв! базовым узлом. Тогда сформируем узловую мат­рицу А по следующему правилу: если ток ветви подтекает к узлу, то ставим -1, если ток ветви оттекает от узла, то ставим 1, если ветвь не имеет связи с узлом, то ставим 0. Для схемы, изображённой на Рис. 1.9, узловая топологическая матрица 3 будет следующей: Ветви  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21

1 2 3 4 5 6 Г-1 о 1 । о (Р Д= 0 0 0-1-1 1 РиС , 3 0 -I -| 0 0 -1;УзлыСоставим теперь матрицу контуров В по следующему правилу: если ветвь нс входит в контур, то ставим 0, если ветвь входит в контур, то ставим 1 в случае совпадения направления обхода контура с направ­лением тока, и ставим -1 в противном случае. Для схемы, изображённой на Рис. 1.9, контурная топологическая матрица будет иметь вид:Ветви12 3 4 5 6I Г 1 0 0 1—1 0>11 в = 0 0 1-10-1111 ч 0 -1 0 0 I I;КонтурыЕсли узловая и контурная матрицы составлены правильно, то их произведения должны равняться нулевой матрице:0 0 0 А В АГ = А Вг =0 0 00 0 0,Важными являются также диагональные матрицы сопротивлений t//ag(R) и проводимостей diag(u), а также матрицы ЭДС и источников тока.Диагональная матрица сопротивлений состоит только из диаго­нальных элементов, элементами которой являются величины сопротив­лений ветвей. То есть первый диагональный элемент это результи­рующее сопротивление первой ветви, второй диагональный элемент это результирующее сопротивление агорой ветви и так далее.Диагональная матрица проводимостей матрица образная диаго­нальной матрице сопротивлений rfiag(g) = Jtog(R)"1.Топологическая матрица ЭДС это столбцевая матрица, количест­во элементов которой равно количеству ветвей схемы без источников тока. Элементы матрицы ЭДС формируется по следующему правилу: если ЭДС в ветви отсутствует, то ставим 0, если направление ЭДС сов­падает с направлением тока в ветви, то ставим ЭДС с положительным знаком, в противном случае ставим ЭДС с отрицательным знаком.Топологическая матрица источников тока является столбцевой матрицей, количество элементов которой равно количеству ветвей схе­мы без источников тока. Элементы матрицы источников тока формиру­ются также как матрица ЭДС: если источник тока соединён параллельно z-той ветви с током и направление источника тока совпадает с на­правлением тока lj, то в этом случае ставим величину источника тока с положительным знаком. Если направление источника тока нс совпадает с направлением тока в ветви 7,, то ставим величину источника тока с отрицательным знаком. И, наконец, если источник тока отсутствует, то ставим нуль. Ниже приводится пример формирования топологических матриц для схемы, приведенной на рисунке 1.8. '*х у о о о о о т/ Оу 0 0 0 0 'X 0 о— ООО 1 гх 0 0 Оу 0 0 'у ООО ОуО 'х 0 0 0 0 0 —1 / '*Х 0 0 0 0 о40 W 0 0 0 000^000 = (М)У»|/> = j 0 0 0 7/0 0 0 0 0 0 7/ 0 , 0 0 0 0 0 'у, Лекция № 2 § 1.4. Метод контурных токовПрежде чем продолжить рассмотрение матрично топологического метода, рассмотрим метод контурных токов. Суть метода заключается в уменьшении размерности матрицы СЛАУ для определения токов. Рас­смотрим, например, схему, приведённую на рисунке 1.10 примера 1.Выберем произвольное направление токов в ветвях. Будем считать, что в первом контуре течёт только ток Jx и будем называть его контурным током. Аналогично во втором кон­туре, полагаем, что течёт ток J2. И, наконец, в третьем контуре будем считать, что течёт ток Составля­ем уравнения для контурных токов по второму закон Кирхгофа:J\ (R\ + Т?4 + R>)— — Е\

I 0-1О 1 I о оо о^0 ЛОО о о о о ЛО о ло о 'о оо О'! О О Л оО О О Л;Матрицу вектора правых частей тоже можно записать в виде произве­дения топологических матриц вт я.Е. О 1-1I 1 ОО О I 0>

(27)Проверим результат решения, проделав виртуальную лаборатор­ную работу с помощью программы Electronics Workbench. Измерим то­ки в ветвях, подключив амперметры последовательно с сопротивления­ми. Листинг программы Electronics Workbench, представленный на ри­сунке 1.11, свидетельствует о правильном расчете. § 1.7. Метод узловых потенциалов Рассмотрим еще один метод пони­жения порядка СЛАУ. Прежде всего, обо­значим все узлы на схеме. Зачем выбира­ем базовый узел, потенциал которого ра­вен нулю. Пусть это будет узел 4. То есть потенциал узла 4 равен нулю ц)4 - 0. Для определения потенциалов остальных уз­лов нужно составить уравнения относи­тельно неизвестных потенциалов узлов.Прежде всего, запишем систему уравнений относительно токов по перво­му закону Кирхгофа.-Z3-/4=0 (1уз); 74 + /5-/6-0 (2уз); .Л + А + А,-0 (Зуз)- Теперь запишем токи через неизвестные значения потенциалов и известные значения ЕДС и сопротивлений.- ф|-ф, ф,-ф3-^3 0/?, Я4 R,Л1-^+ДР2 ф2-ф.^0(2 у Л,Фз Ei + Ф1 Фз ^з + Ф? Фз -on V3\ Сгруппируем эти уравнения относительно неизвестных ф|,ф2,ф3 и в ре­ зультате получаем 1 1 1 > 1 1 ф|я, r4 /?3/' 1 1 Е. Е3—Фг Фз - —;/?4 - Я, Я, R. V'+ Л, фэ + 1 + ф3 — ^2 ^3R, Л3Сумма проводимостей ветвей, подходящих к узлу, называется собственной проводимостью узла. Например, для узлов 1, 2 и 3 это будет соответственно: g|!-g| +^4+ЯЗ- — + — + — 1 1 1» Я22 -S5 +8а +8б _'7Г + '7Г + ТЯзз-Яз+Яб+^з- —+ или в матричном виде: g-ф-Ь, fill где g- R>1 Ry 1*4 1Л3 '0,217-0,05 -0,05 -0,0670,375 -0,125 (29) 1*3 -0,067-0,125 -0,275 и b - столбцевая матрица правых частей Ч ! ^3Л, Я3О (30) . ^2 >Решая систему уравнений (29), получаем потенциалы узлов: 1 Ь- ф2 -И, наконец, находим токи во всех ветвях: 2,539 ..-5,098,/ (31) (£| Ф|)/7?,( ^2 — Фз ^2 (ф) Фз Лз (ф|-ф2)/Т?4— ф 2 /(ф2-фз)/^ < 2,329 '-2,0751,1211,209-0,254< 0,955 , (32) Метод узловых потенциалов на основе матрично­топологического метода Решим задачу примера I матрично-топологическим методом. Пре­жде всего, запишем узловую топологическую матрицу учитывая, что базовым узлом является узел 4:Г-1 0 1 1 О О') (33)А= 0 0 0-1-1 10-1-1 0 0 -1J Теперь нам понадобятся диагональная матрица проводимостей, ко­торая равна обратной диагональной матрице сопротивлений и матрица ЭДС.— 0 0 0 0 0 я, 0 — 0 0 0 Я, 0 <0.1 0 0 0 0 0 > Г яд ’ 50 > g = R' = 00 0 —0 0 Я50 0 —0 я. 00 = 0000 0,083 0 00 0.067 00 0 0.050 0 0 0000.1 0000 . Е- II f Ч" с с -15-3000 (34) 0 0 0 0 — 0 0 0 0 0 0.125, 10 J < 0 ; 0 0 0 0 0 —Я6;Приведем произведение матриц, результатом которого будет мат­рица проводимостей узлов: -1 0 1 1 0 0 A-g-Ar = 0 0 0 -1-1 1 0 -1 -1 0 0-1 Д+Д»1Д 1 < Д 11/Л, 0 0 0 0 0 ' '-1 0 0) 0 1/Я2 0 0 0 0 0 0-1 о о 1/тг3 о о о 1 0 -1 0 0 0 1/Л4 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 1/^0 0-10 0 0 0 0 0 1/7^ <0 1-1, 1 _J_ J 'Д R4 Ry111 1*ЛЛ Д I 1 1 IД R2 R(> Ry j '0,217 -0,05 -0,067^-0,05 0,375 -0,125(-0,067 - 0,125 -0.275, '1/Я, 0 0 0 0 0 ' ' F \ '-10110 0> 0 1/Л 0 0 0 0 -Es 0 0 0 111 0 0 1/R, 0 0 0 Е2 0 0 0 ]/R 0 0 0 о -1-1 о 0 -11 \ / 0 0 0 0 1/Л, 0 0 0 0 0 0 0 1//^, <0 > 0>1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21

Следующим шагом будет произведение матриц: b = Ag Е = (35)Теперь можно найти потенциалы узлов, используя следующие со­отношения: (37)' 26,7 D2,539к-5,098, При известных потенциалах узлов находим напряжения на каждой ветви: U- (72#3^4 US Wb - Аг<р + Е - г-10110< 0 0 0 ) <(Р| *Ф2<Фз> + ' к00Ч ° 2 — ( 23,29 '-24,902 16,80824,171-2,539ч 7,637 , . (38) с0-1-11 -1-101 0-1 , И, наконец, находим токи во всех ветвях: ( 2,329 Л C/2//?2 — 2,075 1 3Л — g-U — (/4/Л4 = 1,1211,209 • (39) А ^5/Л5 0,254 <>> < 0,955 ) В завершении задачи рекомендуется проверить баланс мощностей и убедиться, что расчет сделан правильно. В матричной форме баланс мощностей записывается в следующем виде:P/7=Tt R 1 = 161,899 Вт. РЯ=1ЧЕ = Е1 = 161,899 Вт.Проверим наши данные, проделав виртуальную лабораторную ра­боту в Electronics Workbench. Подключив параллельно сопротивлениям вольтметры можно определить напряжения. Разделив показание вольт­метров на соответствующие сопротивления можно найти токи в ветвях.Лекция М> 3 Метод эквивалентных преобразовании Рассмотрим фрагмент электрической цепи, приведённой на рисунке 1.14:Токи в каждой ветви с ЭДС определяются выражениями:Л| к2ккРезультирующий ток будет определяться суммой всех токов в ветвях:+ /2 +/3 +... + /| + '£jk ^^^kSk + • (40)k k-0 k-0 kС другой стороны, мы видим, что ток в эквивалентной ветви определя­ется выражением: Хёк it-0 Рассмотрим некоторые частные случаи:а оРис. 1.15. Преобразование параллельных ветвейДля рисунка 1.15 ветви будут преобразованы по формулам для схем а и б соответственно:+£о-/?1 /?| • 7?э= d , d * = d d* =E\+J\&\9 Лэ - Л • (43)В соответствии с методом эквивалентных преобразований легко получить полезные преобразования, приведённые на рисунках 1.16 и 1.17. Преобразование треугольника в звезду и звезды в треуголь­ник Мы рассматривали преобразование сопротивлений, соединённых последовательно или параллельно. В ряде случаев бывают соединения сопротивлений нс подчиняющиеся ни правилу параллельного соедине­ния, ни последовательного (например, в грехфазных цепях). В таких случаях могут быть полезными правила преобразования треугольника в звезду или наоборот, звезды в треугольник, которые мы приведем без доказательств. Пример 2: Даны сопротивления Ry =15 Ом, соединённые треугольником, треугольником в соединение звездой.Решение: 7?1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом,Преобразовав ь соединение =—ад—=4“ Л1+Л2+/?3 R\Ri -% R>R

ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКАРГР №1 - Расчет линейной цени постоянного тока Рассчитать все токи, методом узловых потенциалов, используя матрично-топологический подход. Рассчитать все токи, методом контурных токов, используя матрич­но-топологический подход. Рассчитать баланс мощностей. Подтвердить расчеты пунктов 1, 2, проделав работу в среде ElectronicsWorkbench. Убрать ветвь с сопротивлением /?х Рассчитать ток в ветви с сопро­тивлением методом эквивалентного генератора. Построить выход­ную характеристику генератора и i рафик зависимости мощности от то­ка Р(1) и сопротивления нагрузки Р(7?и). Сделать выводы по проделанной работе. Таблица №1 Таблица №2 № Ri Rs Е\ J Ом Ом Ом Ом Ом Ом Ом Ом В В В \ 0 10 8 15 20 25 ээ 11 17 150 100 50 1 1 15 10 8 25 22 11 10 8 10 70 20 0 2 20 15 10 5 8 17 17 25 100 10 30 2,5 3 25 20 25 10 17 20 22 10 50 80 40 1,5 4 12 25 11 22 15 10 20 ээ 30 30 60 2 5 11 11 20 12 10 15 8 5 50 60 80 2,5 6 17 22 5 17 20 25 25 12 40 50 70 1 7 5 ээ 8 5 5 5 15 20 40 10 0,5 8 5 17 12 11 12 12 12 20 70 20 150 1,2 9 8 12 17 15 11 8 15 И 80 150 100 0,7 Примечание. Вариант состоит из трёх цифр. Первая цифра соответст­вует строке в таблице №1, вторая цифра соответствует строке в табли­це №2, последняя цифра соответствует номеру схемы. Задание выдастся на 4 недели. Максимальное количество баллов - 100. При задержке за­дания преподаватель имеет право сократить количество баллов (за каж­дую неделю - 15 б).Лекция № 4Пример выполнения расчетно-графичекои работыДанные и схема варианта приведены ниже /?| 7? 2 R3 Т?4 R5 Re Ri Rs Е, Е2 £3 J Ом Ом Ом Ом Ом Ом Ом Ом В В В А 10 12 20 8 5 15 ээЛш л— 11 50 100 150 Рассчитать все токи, методом узловых потенциалов, используя матрично-топологический под­ход. Рассчитать все токи, методом контурных токов, используя мат­рично-топологический подход. Рассчитать баланс мощностей. Подтвердить расчеты пунктов 1, 2, проделав pa6oiy в среде ElectronicsWorkbench. Убрать ветвь с сопротивление 7?s Рассчитать ток в ветви с сопротив­лением методом эквивалентного генератора. Построить выходную характеристику генератора и график зависимости мощности от тока Р(Г) и сопротивления нагрузки • Выполняем первый пункт заданияПриведем ориентированный граф схемы и составим топологиче­ские матрицы: узловую, контурную, диагональную матрицу сопротив­лений, диагональную матрицу проводимостей, столбцевые матрицы ЭДС и источников тока.'-1-1 О О О 1 1 О'0 1 1 0 0 0 0-1 А-О 0-1 0-1 0-1 оО 0 0-1 1-1 о о,узловая топологическая мат­рица. < о 1-1 о о о 1 о А 00011-100 0 10-100 1-1 0 0 0 0 0-1Jузловая контурная матрица,R=(10 12 20 8 5 15 22 11 )\

п п /?s, Rp — — h R\ R+R6 Находим ток короткого замыкания и в четвертой ветви:/ =^2«=1,026А, Л = - ^-—=0,71 ЗАR3 Rr Rr+R4Строим выходную характеристику эквивалентного генератора. U(J) = (7ХХ - RV1. По оси напряжений откладываем напряжение (/хх = 18,666 В, а по оси токов ток короткого замыкания /кз = 1,026А , соединяя отложенные точки, получаем выходную характеристику. С i роим вольтамперную характеристику (ВАХ) сопротивления ветви /?4 =8Ом. Для этого величину сопротивления /?4 -8Ом умножа­ем на произвольную величину тока, например на / = 1 А и получаем точку на плоскости 7, U. Соединяем точку с началом координат (см. рис. 1.36) и получаем ВАХ. Точка пересечения выходной и вольт- амперной характеристик даст нам ток и напряжения сопротивления Я4=8Ом, Z4=O,713A, (/4 =5,702В. Строим зависимостьмощности от сопротивления нагрузки^ХХ^Н ■(/?г+М2‘ Здесь нужно обратить внимание, что максимум мощности приходится на величину нагрузки равной сопротивлению генератора /?н = /?г. С1 роим зависимость мощности от сопротивления нагрузки: Л/н)=/и(хх-Мг)= _ ЛЛхХ + ^ХХ | + ^'хх _/?! 47?;- J 4ЛГ. 1'хх2 ) 4/?, ‘ Максимальная мощность прихо­дится на величину половине тока короткого замыкания: = 4,789Вт.В завершении проверим все вычисления, проделав виртуальную лабо­раторную работу в Electronics Workbench.Лекция № 5 Переменный токТок, изменяющийся во времени называется переменным током. Ток может иметь различные формы, он может быть пилообразным, им­пульсным, синусоидальным. Вее это переменный ток.Электрический ток - это скорость изменения заряда во бре­мени, то есть это производная заряда по времени(1)dtИзмерение емкости. Заряд накапливается на пластинах конденса­тора, и чем больше напряжение, тем больше зарядов на пластинах,q = UC (2)Здесь С - коэффициент пропорциональности, называемый электриче­ской емкостью. Емкость отражает способность проводника накапливать заряды q. И чем больше емкость, тем больше зарядов накапливается на проводнике. Емкость зависит только от геометрических размеров и диэлектриче­ских свойств среды, в которой находится проводник.Поставим выражение (1) в (2),получим ' (3)Таким образом, ток через конденсатор оп­ределяется выражением (3).Допустим, нам нужно определить емкость конденсатора. Доя это­го подключим его к источнику напряжения и пусть напряжение, пода­ваемое на конденсатор, имеет пилообразную форму с периодом Т(см рис. 2.2). На схеме приведено сопротивле­ние R, величина которо­го очень мала. Измерив напряжение на сопротив­лении и разделив его на величину сопротивления, получаем ток в цепи. Бу- Рис. 2,2, Пилообразное напряжение Дем считать, что сопро­тивление R в схеме из­вестно, оно имеет маленькую величину и несущественно влияет на на­пряжение на конденсаторе. Используя формулу (3) можно найти ток Т/4 Т \ 4) (5)Следовательно, на этом интервале ток равен постоянный величине:Результат дифференци­рования по формуле (3) изображен на рисунке 2.3.Величину тока можно определить, измерив напряжение на сопро­тивлении Ri = UR/R = Im. (6)При известном токе и напряжении можно определить величину емкости dtПотокосцепление пропорционально току Т - Li. Чем больше ток, тем больше потокосцепление. Коэффициент пропорциональности L между током и потокосцеплением называется индуктивностью проводника. Индуктивность L зависит от геометрических свойств проводника, его конструктивных особенностей. Так как индуктивность является величи­ной постоянной, то напряжение на индуктивности определяется выра­жением:U{t) = L^-. (9)dtОпределим экспериментально значение индуктивности L при извест-ном входном напряжении (см. рис. 2.4). На схеме приведено сопротив-ление Л, величина которого очень мала. Измерив, напряжение на со-46 L { Т L Т 2противлении и разделив его на величину сопротивления, получаем ток в цепи. Пусть входное напряжение остается прежним, пилообразным (рис. 2.2).Сопротивление схемы, как и прежде, будем считать малым, слабо влияющим на на­пряжение индуктивности.Определим ток из выражения (9)u(t) = di(t) _dt LРис. 2.4 ./ (,0)L 0Будем считать, что величина тока в начальный момент времени(И)После интегрирования напряжения на участке / е (О, Г / 4) получаем максимальный ток, ко­торый можно опреде­лить, измерив напря­жения на сопротивле­нии:Используя последнее выражение можно определить индуктивность, JJmTФазовые соотношения. Рассмотрим, в каком фазовом соотноше­нии находятся ток и напряжение на конденсаторе и на индуктивности при воздействии гармонического напряжения.Пусть ток через индуктивность i(t) = Z„rsin(atf), со — 2 л/'. Опреде­лим напряжение на индуктивности:U(t) - L - Lwlnt cos(cor) = L(&lm sin(co/ + —).dt 2Таким образом, напряжение на индуктивности опережает ток на 90э, или на л/2.Рассмотрим напряжение на конденсаторе£/(/) = Um sin(cor). В этом случае ток через конден­сатор определяется вы­ражением/(/) = С — — CtoUm cos(co/) - CcoI7w sin(co/ + —)dt 2В данном случае ток опережает напряжение на 90*, или на л* / 2. Можно сказать, что напряжение отстает от тока на /т / 2. . Немного о комплексных числах Комплексное число z х + Jу это вектор на плоскости. Он имеет мо- Г5дуль г - \]х“ + у“ и угол наклона 0 к оси х,Комплексное число может пред­ставляться в алгебраическом, триго­нометрическом и показательном ви­дах соответственно:z = х + j у г cos( 0) + j г sin( 0 ) г схр( /0) x = Re(z),y = Im(z)где |г| ?• Jx . Очень важнойявляется формула Эйлера, связывающая тригонометрические и экспо­ненциальные функции. Эти формулы помогают перейти от тригономет­рической формы представления комплексного числа к показательной и наоборот.е cos(0) + Jsin(O). е cos(O)-jsiii(O); Л-Л Л+Лsiii(0) . cos(O) .2J 2 . Синусоидальные токи и напряжения. Метод комплексных ам­плитуд (Символический метод) На рисунке 2.9 представлен график синусоидального напряжение,его ещё называют гармониче­ским напряжением. В аналити­ческом виде гармонические то­ки и напряжения записываются следующим образом к (7) Ufft s>n(w/ + 0) В.Кривая имеет некое макси­мальное значение назы­ваемое амплитудным значени­ем. Кривая сдвинута относи­тельно вертикальной оси на угол 0. Эго значение угла на­зывается фазовым сдвигом. Синусоида имеет период Т это кратчай­шее расстояние между двумя одинаковыми значениями напряжения. В выражениях для напряжения и тока присутствует круговая частота со(рад/сск), которая связана с частотой /(Гц-герц) и периодом Т соот­ношением:У -71co .ТПри определении синусоидальных токов и напряжений в электри­ческих схемах мы будем осуществлять различные алгебраические опе­рации с тригонометрическими функциями. Поэтому следует перейти от тригонометрических функций (/, (г) = 7,п1 sin(cof + 0,)) к комплексным числам (7/н1еуй| =/|), которые существенно упрощают алгебраические операции. Например, для того, чтобы сложить два тока одной частоты и разных фазовых сдвигов нужно проделать нижеследующие операции:,/°i»|(0 ^misinfojt + Oi) V0*^„,2 sin(2)-> f„,2el =(/0. \ /fD/hn\e + ^m2e 2 I6"7(£l + Li )e‘/0W Le^ —> Tm sin(Аналогично осуществляются все другие операции умножение, деление, разность и даже дифференцирование и интегрирование: i(t) Im sin(o)r + 0)<*(') . . /0 . T —> —> = jo)7,dti(t) = lm sin(o)/ + 0)->-> — = -j—e^ = -/—.JO) 0) coМетод замены синусоидальных величин на комплексные назы­вается символическим методом. Этот метод позволяет заменить интегро-дифференциальные уравнения алгебраическими, что позво­ляет существенно упростить решение. На рисунке 2.10 приведено изображение волновой диаграммы напряжений в виде векторов. Ани­мация показывает, что при движение волн напряжения фазовые соот­ношения между векторами не изменяются следовательно токов и на­пряжений можно заменять на комплексные величины вектора между которыми сохраняются фазовые соотношения.Векторная диаграмма напряжений Осцилло1рамма напряженийа бРис. 2.10. а-вектерная диаграмма напряж ении,б-волновая диаграмма напряженийВ действительности все вектора вращаются с частотой со. Запишем вы­ражения для напряжений на элементах схемы в символической форме:di(t) /оUr(t) = L -> jLaImejy = j&LI_ = jXLI>dti j т fl1 <• >meuc(t)=—{i(t)dt -> = -j-^ = -jXcl_,C joC coCUR(t) =i(t)R -+ Tmej°R = IR.Здесь XL = &L, Xc =l/coC индуктивное и емкостное сопротивления со­ответственно. Таким образом, вместо реактивных элементов индуктив­ности и емкости в символическую (комплексную) схему замещения вводятся их реактивные сопротивления: Факт присутствия комплексной единицы j перед индуктив­ным сопротивлением jXL означает, что напряжение на индуктив­ности опережает ток через индуктивность на 90 градусов.Факт присутствия отрицательной комплексной единицы j перед ёмкостным сопротивлением -jXc означает, что напряжение на ёмкости отстаёт от тока через ёмкость на 90 градусов.Если в схеме имеются несколько последовательно соединенных элементов, то их можно заменить результирующим - эквивалентнымсопротивлением: Здесь Z - R + j(XL -Хс)9 Z- Zej\ Z - \Jr2 + %2, <р-arctg( X/R);R = Zcos(X - Zsin((p).В случае параллельного соедине­ния элементов удобнее пользо­ваться проводимостью. Приведем связь между комплексным сопро­тивлением и комплексной прово­димостью, в алгебраической и по­казательной формах: Z-R + jX, Z-Ze™\_ 1 _ 1 _ R . X Z R + jX R2+X2 JR2+X2’ = = . Y = Ye Ze" Z1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   21

Пример. Рассмотрим электрическую цепь с заданными параметрами: е(Г) - 10sin(cor + 45°) В, со= 500рад/с, R = 20 Ом, L = 0,1 Гн, С = 50мФ.Определяем индуктивное и емкостное сопротивления:X

com(z) (112| )2 XL- (|I3| )2 Xc - -5.66Eo:-V(E.I0) IirfS) - 9.81 I (|ll|)2 R + (|l2| )2 R - 9.811u2 :-V(I2 i-XL.10) u2l:-124 XL + V(I2R, 10)ul 12 i XL + I2 R+ V(l 1 R, 10) il 5= V(I1,I) IO i2 : V(I2,1 ) IO i3 t= V(I3, !)■ 10 u3 :-V(-I3 i Xc, 10) |ll|-R-11.327 |I2|-R = 8.242 |l2|-XL-8.242 |l3|-Xc-11.655 . Показания приборов Величины частот, с которыми приходится сталкивать в электротех­нике, достаточно большие, поэтому измеряющие приборы нс успевают реагировать на частоту. Вследствие этого приборы показывают нс ам­плитудное значение, а некоторое усреднённое значение, называемое среднеквадратическим значением или действующим значением. ко­торое определяется соотношением:= .Ы "(')2^ = = го гоlu»i У 1-008(2(0/)^^ _ Ц/п" _ тТ 01 2 ) 2 JTС учетом последних замечаний при переводе тригонометрических величин в комплексные, учитывается величина действующего значения. Например:e(t) -1 Osin(wz + 30°) -> £ = ^-e/3° = 7,07^3()B,■y2/(/)-2sin(co/-60°) —>/v2Рассмотрим пример использования символического метода для ре­шения задач. . Мощность в цепи переменного тока Полная мощность определяется выражениемW * / 5 Т5= I ±EkI_k=P + jQ9S = ylP+Q29к = \Р - активная мощность, Q - реактивная мощность. Знак плюс выбирает- ся, в случае если ЭДС и ток совпадают по направлению (на схему) и минус в противном случае. * - знак комплексного сопряжения.Потребляемая активная и реактивная мощности определяются со­отношениями соответственно:о 7V э М эР= Е Q = Е хтк1к xckJk-к=\ к к А' = 1 Lk к к=\ Ск кР- активная мощность величина положительная. О- реактивная мощ­ность может быть как положительной так и отрицательной величиной. Если преобладает индуктивная составляющая XL > Хс то >0. Если Хс > XL.то Q< 0.Лекция № 6 . Цени с индуктивно связанными элементами Последовательное соединение катушек с индуктивной связью. 6 Рассмотрим цепь с взаим­ной индуктивностью. По катуш­кам протекают токи, направлен­ные в одну сторону. Но провода намотаны в разные стороны. Ус­ловно на рисунке этот факт можно обозначиi ь звездочками или точками. При этом токи соз­дают магнитное поле вокруг проводов. В одном случае они складываются, а в другом они вычитаются. Тогда можно записать уравнение Кирхгофа для последова­тельного контура, учитывая нс идеальность катушек.При согласном соединении, когда токи входят в катушки с одной стороны, di . „ . . di r di . „ _ л di . .L h iRt 4- M h L-) h iR-) -f- Л/ — — c( t) .1 dt 1 dt - dt - dlПри встречном соединении, когда токи входят в катушки с разных сторон..di . „ , . di , di t di . xL h iR\ -M \-iR) -M — - e(t)dl dl dt “ dtВ символической форме это можно записать так.(л, +jxLi +jXm)i_+(r2+jXL2+jXm)l=E:, (Ri+R2+j(XLi+XL2+2XM))l_ = E.При согласном соединении, когда токи входят в катушки с одной стороны.(/?, + jXLi-jXm)I_+(R2 + jXL2-jXM)l_ = E; (Ri+R2+j(XLi+XL2-2XM))l = E.При встречном соединении, когда токи входят в катушки с одной стороны. Здесь Хм - соЛ/, XL - со£.Если ввести обозначения для сопротивлений согласного Zc и встречно­го соответственно“ ^1 + ^2 + J+ L2 + )’ —В - 4- Л2 4- j(XLl 4- XL2 “ 2%у ) ,то можно найти взаимную индукцию।।IZ^-Z^iZc -ZB - 2XW + 2Xy - 4Xу - 4Л/0) -4 M - '-(

Т,118<762’92|>0,27k-'51’416 AI-В '0,509 + 0,996/0,169 + 0,211/ (0,34 + 0,784/ ) 0,855ey66’539\ 7По полученным результатам запишем мгновенное значения токов в ветвяхz, (/) -1,1172 sin(co/ + 62,921)A, z2(/) - 0,27172 sin(со/ + 51,416)А,iy (/) - 0,85572 sin( со/ + 66,539)Л.Использование других методов расчета таких как метод узловых потенциалов, метод контурных токов затрудняется из-за наличия ин­дуктивной связи, поэтому исходную схему упрощают, производя раз­вязку индуктивной связи. Пример развязки индуктивной связи приве­ден на рисунке. Следует обратить внимание на то, что на рисунке нет направлений токов поэтому нет смысла говорить о встречном или со­гласном соединении. В нашем случае схема развяжется как указанно на рисунке. Теперь мож­но использовать любой известный ме­тод расчета. Наиболее рациональным методом расчета в данном случае бу­дет метод узловых потенциалов. Оп­ределим эквивалентные сопротивле­ния ветвей схемы.2\=R-jXM = 20 - 31,416j Ом,Z2 - 2R + j(XL} + XM) - 40 + 94,248j Ом,Z3 - R + j(Xr2 + XM - Xc) - 20 + 25,488j Ом.Перерисуем схему замещения и запишем уравнения для потенциа­лов методом узловых напряжений. Находим проводимости ветвей -i=rb=i’ ь=£- а затем потенциал первого узла:фД^+Ь+Гз)-^.,Ф --13,183 + 24,363/-27,701 е?|18,419 В.Г|+Ь+^зПри известном потенциале можем определить токи во всех ветвяхХ|=(£-Ф,)ь /2-ф,Г2, /^Ф.Гз . Построение векторной диаграммы Дтя построения векторной диаграммы в первую очередь нужно задаться масштабом тока и напряжения. Следующим этапом строится лучевая диаграмма токов, а затем по отношению к ней строится топо­графическая диаграмма напряжений. Учитывая, что ток и напряжение на активном сопротивлении находятся в фазе, векторы напряжения и тока на диаграмме следует откладывать параллельно друг другу, и на­правленными в одну сторону. Напряжение на индуктивности опережает ток индуктивности на 90 градусов, следовательно, вектор напряжения откладывается перпендикулярно вектору тока с опережением (отклады­вается против часовой стрелки). Напряжение на емкости отстает от тока емкости на 90 градусов, следовательно, вектор напряжения откладыва­ется перпендикулярно вектору тока с отставанием (откладывается по часовой стрелке).Приведем пример построения диаграммы для нашей схемы. Oi- кладывасм в масштабе токи и напряжения М1 - А/см, ML,В/см(см. диаграмму). Вычислим необходимые значения напряжений на эле­ментах.£-40'45' -28,28 + >28,28;URX = /,5 = 22,3695;^,=7^, =175;(/Л2=/225 = 10,8225;t/.W2=Z3XM =26,8615;£ЛЗ =/35 = 17,15;UC = I3XC =45,365;(/Л2=/2 25 = 10,8225;= =26,8615;= h*L2 =40,2925;C/M1 = Л*м =8,55.Определим показания вольтметра:Г=|/|5 + /2У%£1-/3Ам|илиV - \E - Z2 25| = 128.28 + /28.28 - (0,169 + /0,211)40| = 29.27B 4n- 33 30 j -1 у#С \ 254 -з\ . / Е ф? f* 20/ ,-U у r l_rq-2 л л т -2 i 10 \ Xj • у/ ^•п / J Jf <5 ч' ЛЛ 1 JXL2 -3 с-3 .5 10 5 D j 1 D 1 5 2 d : 5 3 0 : 5 4 J а Рис. 2.27 . Мощность в цепи переменного тока е взаимной индуктивно­стью Полная мощность, как и прежде, определяется выражением Л I k-\Р - активная мощность, Q - реактивная мощность.Потребляемая активная и реактивная мощности определяются соотно­шениями соответственно:У 9 N э М эР = = ЛДиЛ” ±2/i/i^.wcos^i “Фг)-Здесь токи Це^ ,12е^г ветвей, в которых находится индуктивности. Знак плюс выбирается, когда в цепи согласное включение катушек. В против­ном случае выбирается знак минус.Ниже приводится электрическая схема, собранная в программно- интегрированной среде ElectronicsWorkbench с развязкой индуктивной связи. При развязке индуктивной связи получается отрицательная индук­тивность. В место отрицательной индуктивности можно поставить экви­валентную емкость, которая определяется выражениемС = 1/со2М.Приведем схему рассмотренной задачи собранную в среде Electro­nicsWorkbench.Ниже приводится программа вычисления в программно-интегрированной среде MathCAD.Магнитносвязанные катушки(1.118 62.921Л <0.271 51.416Л <0.855 66.539>com(II)= . com(I2) = . com(I3) =V0.509 0.996/ VO. 169 0.211 J V 0.34 0.784 )S F.-I I S -42.567- 13.7661 P :- ( |ll| )2 R + (112| )2 R-2 + ( |T3| )2 R P -42.567Q:- (|T2| )2 XT.I + (|I3| )2 ( XT.2- Xc) - Xin 2-112| • |l3| cos(arg(I2) - arg(I3)) Q - -13.766 il^V(ll,0.5) i2: V(I2,0.5) i3 := V(I3,0.5)ul ^V(E,20) ul I :-I2 R-2 + 12-j XT.I - I3 j Xm+V(II R,20)u2 -V(I2-R-2,2O) n22:= I2-R-2 + V(I2j XLI,20) u23:= I2R-2+ 12-j-XLI + V(-I3j-Xni.2O)u3 :- V(I3-R,2O) u32 I3 R + V(-I3-j-Xc,20) u33 :- I3-R- I3 j-Xc+ V(I3-j-XL2,20)u34:= I3R - I3-j-Xc + I3J XL2+ V(-I2jXm,2O) il := V(Il,0.5)-3C i2 := V(I2,0.5)-3C i3 := V(T3,0.5)-3CЛекция № 7 §2.11. ТрансформаторЭлектрическая цепь состоит из контуров различного назначения. Может оказаться, что для различных контуров цепи требуется отли­чающиеся по величине напряжения. Для преобразования переменного напряжения и для перераспределения энергии между контурами цепи, широко применяется такое устройство как трансформатор.Функциональные и конструктивные особенности 1рансформаторов весьма разнообразны. Мы рассмотрим линейный трансформатор, в ко­тором отсутствуют нелинейные эффекты. Воздушные трансформаторы являются линейными.Трансформатор состоит из двух или нескольких индуктивно свя­занных катушек. Рассмотрим простой двухобмоточный 1ранс форма тор.Двухобмоточный трансформатор состоит из двух обмоток пер­вичной и вторичной. К первичной обмотке подводится питание а ко вторичной подсоединяется нагрузка потребитель энергии. Токи и на­пряжения, относящиеся к первичной и вторичной обмоткам называют­ся первичными и вторичными соответственно.Для усиления магнитной связи используют ферромагнитные сер­дечники вокруг, которых наматываются обмотки грансформатора (но при этом трансформатор становится нелинейным).Запишем второй закон Кирхгофа для грансформатора, введя обо­значения элементов первичной и вторичной обмоток:> ^22 = ^2 + ^22 % L2 + ’(50)L\jXм + [_2 (^22 + J^-22 ) “ 0 •Умножим первое уравнение на (Я,, + jXn)9 а второе уравнение на jXM и затем сложим. В результате получим выражение тока первичной обмот­ки через входное напряжение и сопротивления, вносимые вторичной обмоткой (51) п _ ^22 у-2 у _ ^22 у2ГДС - 2 2 Лвн ” 1 у2 ЛМ'•^22 ' 22 “Г2 22Эго выражение называется приведение сопротивлений вторичной обмотки к сопротивлениям первичной обмотки. Из этого выражения вытекает следующее. Для того, что бы трансформатор передавал мак­симальную мощность во вторичную обмотку необходимо, чтобы вы­полнялось соотношение: > _ &22 у2’ ”^2+^22 ‘И’ ■^22 у-<+^2 W (52)Построим качественно векторные диаграммы для трансформатора при различных нагрузках:Что бы добиться выполнения соотношение (52) в первичную и во вторичную цепи трансформатора включаются переменные емкости, что позволяет варьировать реактивные составляющие сопротивлений пер­вичной и вторичной цепях, рис. 2.31.%! = Хм - 1/соС,, У22 = Ум + ХИ - 1/соС2.Если разрешить первое выражение (52) относительно Х22, то можно получить: •* 22 - X^.j ^22 — ^22rTПоследнее выражение показывает, что при выполнении неравенст­ва:Х2М ?,/?„ -> М < ^2.соНевозможно получить максимальную мощность во внесенном сопро­тивлении 7?П11. §2.12. Резонанс напряженийРассмотрим схему, в которой по-следовательно соединены индуктив­ность емкость сопротивление и источ­ник напряжения. Индуктивное и емко­стное сопротивления зависят от часто­ты %z(co)-coZ, Ус(со) - 1/соС. С уве­личением частоты индуктивное сопро­тивление ArI(co)-coZ увеличивается, и ток в цепи с индуктивностью умень­шается. При уменьшении частоты емкостное сопротивление уменьша­ется, и ток в цепи с емкостью увеличивается. Графическая зависимость индуктивного сопротивления XL(со) от частоты приведена на рисунке, она линейна.Зависимое ib емкостного сопротивления %г(со) - 1/соС от частоты имеет гиперболическую зависимость. При увеличении частоты умень­шается емкостное сопротивление и при этом ток в цепи с емкостью увеличивается. То есть чем быстрее изменяется ток тем меньше емкост­ное сопротивление. При уменьшении частоты до нуля емкостное сопро­тивление становится бесконечным. То есть емкость не пропускает по­стоянный ток. И, наоборот, при увеличении частоты емкостное сопро­тивление уменьшается, и ток в цепи увеличивается. Вспомним, что ем­кость пропускает ток смещения.В цепи с последовательно соединенными элементами RLC сопро­тивление записывается в виде:Z(co) - R + jXL (со) - jXc (со)Будем изменять частоту входного напряжения в цепи. При измене­нии частоты будут изменяться сопротивления реактивных элементов. При увеличении частоты уменьшается емкостное сопротивление и уве­личивается индуктивное сопротивление, и наоборот. При постепенном изменении частоты может наступить такой момент, когда емкостное и индуктивное сопротивления сравняются, и будет выполняться равенствоХт (со) - Хг(со), соЛ- — > сол-со-—4=.соС ^CLПолученная частота называется частотой свободных колебаний. При та­кой частоте возникаю свободные колебания в цепи. Колебания электри­ческой цепи нс связанные с источником энергии, называются собст­венными или свободными.В нашем случае при рассмотрении последовательной цепи эти ко­лебания возбуждены внешним источником e(t). При резонансной час­тоте общее сопротивление цепи уменьшается, так как индуктивное со­противление компенсируется емкостным сопротивлениемсо--у== Z(co)-2? + = RПри этом ток в цепи возрастает, Ток и напряжение совпадают по фазе. При дальнейшем увеличении частоты индуктивное сопротивление становится больше емкостного, и реактивное сопротивление становится индуктивным.Волновая диаграмма напряжений.Режим электрической цепи при последовательном соединении участков с индуктивностью и ёмкостью, характеризующийся ра­венством индуктивного и ёмкостного сопротивлений, называют ре­зонансом напряжений.Напряжения на индуктивности и ёмкости при резонансе могут зна­чительно превышать напряжение на входе, которое равно напряжению на активном сопротивлении.Отметим, что частоты, при которых наблюдаются фазовый и ам­плитудный резонансы, нс совпадают с частотой собственных колебаний контура (они совпадают только в теоретическом случае, когда катушка индуктивности и конденсатор без потерь).Добротность О определяется соотношением:характеристическое сопротивление.Чем выше добротность контура Q (и уже полоса пропускания) тем выше селективность контура (лучше избирательная способность) При резонансе происходит совпадение по фазе входного напряжения е(1) и тока i(l) протекающего в контуре. Характер сопротивления становитсячисто активным вследствие совпадения по величине емкостного и ин­дуктивного сопротивлений.Ширина АЧХ /(&) зависит от добротности. Ширина АЧХ определяется на высоте 0,707 от амплитудного значения (рис. 2.36). Определим гра­ничные частоты XL(со) - Хс(со), соЛ- —— > соо=со = -^=л С°0Да> = о9 - о, - —QТаким образом, рассмотренная схема является полосовым фильтром, рассмотренный фильтр эффективно пропускает частоты, находящиеся в полосе увеличивая их относительный вклад. Относительный вклад всех остальных частоты уменьшается.Пример. Рассчитать резонанс­ную частоту для схемы, приве­денной на рисунке 2.36 при ус­ловии, что даны значенияС = 400 • Ю-6Ф, L = 2Гн, R = 20Ом, e(t) - 20\/2 sin(cor)B.Определить добротность конту­ра, ток, полосу пропускания и граничные частоты./ = ^- = 5,627Гц.2лco, - —|ф +4О2 -1 j-1 ООрад/с; co2 - —I>/1 + 4^4-1)- 125рад/с;Лео = co2 “ (°i = 25рад/с.Полоса пропускания устанавливается на высоте сигнала равного значению 7,н/>/2 = 0,707/ш, 1т максимальное значение тока. РГР №2 Расчет линейной цепи синусоидального тока В исходной цепи с ЭДС e{t) - >/2£sin(co/ + рассчитать токи ветвей и составить баланс мощностей (активных и реактивных). Коэффициент связи А =0,9. Взаимная индуктив­ность М = к . Записать уравнения Кирхгофа для мгновенных значений без раз­вязки индуктивной связи. Переписать уравнения в комплексной форме и найти все токи и показание вольтметра. Произвести развязку индуктивной связи. Определить все токи методом контурных токов. Определить ток в ветви с индуктивностью Д методом эквива­лентного генератора; Записать мгновенные значения токов и напряжений и построить их волновую диаграмму. Построить в одних осях векторные диаграммы токов (лучевую) и напряжений (тоио1рафическую). Определи 1ь показание электродинамического вольтметра анали­тически и по гопо1рафической диаграмме. Подтвердить расчеты пунктов I, 3 ^проделав работу в среде FJectronicsWorkbench. 1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   21

Таблица №1 Таблица №2 № Е R С <Р А, L2 В Ом МкФ град Гн Гн Гц 0 50 10 250 30 0,15 0,15 50 1 30 20 100 0 0,2 0,2 50 2 20 30 300 90 0,12 0,12 50 3 40 40 250 -90 0,22 0,22 50 4 25 50 100 180 0,19 0,19 50 5 15 25 220 90 0,15 0,15 50 6 22 35 300 -90 0,19 0,19 50 7 45 50 400 180 0,11 0,11 50 8 30 10 600 0 0,17 0,17 50 9 12 30 500 15 0,21 0,21 50 00Лекция № 8 ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИUA(t)-£0V2sin(wr), {/B(r)-£0^sin(ftrf-^-), Uc(t) - £0T2sin(cirf + y-).Пли в символической форме:_ ,2л .2лЕл-Е{}^ Е^в-Е^е 3, Ef=E^e 3 фазные напряжения.Полезно ввести обозначение для фазового множителя:а-е'2я/3 __1+/-2^^_0>5+/0 86б5 а2 _-1-/2^-_-0,5-./0,866.2 2 2 2Тогда можно записать: Е_л — Е(}, Е_в -Е^а1, Е_с -Е^а.Заметим, что. 2 . 1 .7з 1 .7з Л1+я“+£/-1—- j — - —+/ — -0.2 2 2 2И, следовательно ЕА +Е^В +Е^С -£0(1 + я2 +а) -0.1_Лу /с - линейные токи.При наличии нулевого провода (нейтрали) (рис. 3.2) схема разделяется на три независимые схемы Ток нейтрали определяется выражениемДля представленной схемы (рис. 3.3) без нейтрали, при симметричной нагрузке 7л = 7д = Z_c токи как в предыдущем случае, определяются соотношениями:j _ LLa I _£в т _LLcCZ'—В —СИли через фазовый множитель Lb а La* Lc=c1La-ZlAПотому что потенциалы точек 0 и п одинаковы (следовательно, если в схеме точки 0 и п соединить проводом в схеме ничего нс изменится).В схеме на рис. 3.4 при симметричной нагрузке, «треугольник» можно заменить «звездой».Рассчитать линейные токи /л, /с, а затем найти фазные токи изуравнений:La Lab Lca' Lb = Lbc LabLc - Lca LbcИли используя связь между линейными и фазными напряжениями гене­ратораU_ab -Е_д , {Lbc^LLab^ ^сл^-АВа можно определить фаз­ные токи7 _ {Lab j _ {Lbc , _ {LcaLab 7 » Lbc 7 > Lab 7LlAB 4lbc LlcaЭти же уравнения применимы для схемы на рис. 3.6.Мощность в трехфазной цепи определяется как сумма мощностей каж­дой фазыS-EArA+EHrB+Ecfc-P^jQПри симметричной нагрузке мощность определяется выражением Р-Шф1фсоь(<1>ф), 0-Зиф1ф^п^ф), 5 = 3иф1ф,ИЛИР - \Ъил1л cos((p0), Q - 4зил 1Л sin(0), S = ЖЛ1Л. Метод симметричных составляющих Расчет симметричных режимов гораздо проще несимметричных, поэтому для расчета несим­метричных (несбалансированных) режимов в трехфазных цепях широко применяется метод симметричных составляющих (МСС).Метод симметричных составляющих относит­ся к специальным методам расчета трехфаз­ных цепей и широко применяется для анализа несимметричных режимов их работы, в том числе с нестатичсской нагрузкой. В основе ме­тода лежит представление несимметричнойтрехфазной системы переменных (ЭДС, токов, напряжений и т.п.) в ви­де суммы трех симметричных систем, которые называют симметрич­ными составляющими. Различают симметричные составляющие пря­мой, обратной и нулевой последовательностей, которые различаются порядком чередования фаз. Он основан на представлении любой трехфазной несимметричной системы величин (трех векторов) в виде суммы трех симметричных систем величин. Эти симметричные системы, которые в совокупности образуют несимметричную систему величин, называются се симметричными составляющими. Симметрич­ные составляющие отличаются друг от друга порядком следования (че­редования) фаз. Они называются системами прямой, обратной и ну­левой последовательностей.Любая не симметричная система векторов однозначно раскладывает­ся на симметричные составляющиеПример: Пусть имеется трехфазная система векторов (рис. 3.7): Л--0,5+ ./2,5; S--2-J4; С = -3-./3.Разложим её на симметричные составляющие. В результате разложения каждый из векторов будет иметь свои компоненты прямой обратной и нулевой последовательностей. Например, вектор А будет иметь компо­ненты 4 = ВСКТ0Р = 1’—2>&} И вектор С = {С1,С2,С3}Чередование фаз в прямой последовательности и связь между компо­нентами векторов будет следующейAt, 5, = Л,?"'’2”'3. С1 = А1е^я'3.Чередование фаз в обратной последовательностиА2, В2 = A2ej2n'3, С2 = A2ej2K'3.В нулевой последовательности все компоненты векторов равны А)’= = Не­полезно ввести обозначение для фазового множителя:а _ ej2*13 ---+/—- -0,5 + /0.866, а2 - - - - /— - -0,5 - /0,866.2 2 2 2Заметим, что 1 + я2 + а - 1 - — — -0. Каждый из векторовАш» ^Ш Лшш Лшшнесимметричной системы раскладывается по компонентам прямой об­ратной и нулевой последовательности.Прям. Осрат. Пул. Ф Ф ФА — Л । + А-) + С-С| +С2 +с0.Или если использовать фазовый множитель и в качестве основной фазы выбрать фазу А это выражение можно переписать:Прям. Осрат. Пул. Ф Ф Ф Л — Л। 4- Лэ 4 AqС-Л|б/ + А2а2+А0 1 1а 1 а2 1 л2 } 1.4); Если обернуть это матричное выражение то можно получить: Л| -^(л+&+Са2)■ Л-|(^+^2+С")л-|и+^+с) а2 а В (А^ > А2 <2,687 + /1,289 >-1,354+./0,711,-1,833+/О,5 ? ПоследовательностиПри использовании МСС возникает вопрос, что конкретно мы со­бираемся раскладывать на симметричные составляющие. Если в систе­ме действует несимметричная системы ЭДС, а цепь сама симметрич­ная, то нужно раскладывать систему ЭДС. Если действующая система ЭДС симметричная, а электрическая цепь имеет локальную нссиммст- рию, то нужно раскладывать на симметричные составляющие ток или напряжения локального участка.Рассмотрим пример (рис. 3.9). Пусть задана симметричная система ЭДС с несимметричной нагрузкой:а = еу120° =-0,5 + 7'0,866,£.=220 В, £я=220а2, Ес = 220а, R А = 10 Ом, RB - 20Ом, Rc — 30ОмОпределим токи методом узловых потенциалов: -70-7'17,32 IB,Rf + EBRr + Ec Rc\/Ra + 1/£й+1//?с £ 1 -/л==^—= 15-Д732А, Lb LLb Ф «в 9-78,66 А, £г-<р1_с = с - = -6 + /6,928 А.Определим симметричные составляющие. Так как нет нулевого прово­да, то нулевая последовательность будет отсутствовать: _ La +(1Lb +(j2LT Ф- lr:- Ra + RE, -ф R-2 R-2Ь>-ф Ra + R i.R io R-2 «3*= Е3-ф R-2 Ir- 2.727 I R:-|-li I S:-|1E| + I2.b, + 1,E3/1 /i S - 886.364 P: fll) 12 Г = (3.409 -1.705- 2.165i -1.705+2l65i) R - 0.682 R 2 P-886.364 -R-2- 886.364 Л- - Ir 3 —Ir 3 '•Jrи )I0=_2£ I2=_l”2R R II = 3-2 no=-K>R= ±-R 3a =ei l20 def Ea;=22f F,b:=a2 Ea lie := a liaR:-3C L:-0.? cn- lOOn rU X.-wL Z^r+iX RN:- 15 Rn 5АЛА/ AAAСхема прямой последовательности Puc. 3.13 1>1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   21

30 Ohm 1|—5-55б-Д> 05 4 10 Ohn Н:Л Deg || 1598mA || >15 Ohm 220 V50 Нг/243 Deg „ ...—. Al Uhm 05 4 10 Ohn II A (^)220 MW №/120 Deg30 Ohn- I \AA- 0.3 H 10 Ohm Rn* Ohm Puc. 3.14 Схема обратной последовательностиi Схема нулевой последовательности Ua=U( +U2+U0=C Puc. 3.16RZ Ze-26.566+ 8.092i Ее - 194.816+ 59.34i Ul=Ee l\ £e U2 4 Ze U _ ( (R + 3RN)(Z + 3 Rn) R+3RN+ Z + 3Rn lk:=C.Given„ Ik Ik _ Ik (R+3 RN) (Z+3 Rn) лЕе Ze Ze = C3 3 3 R+3RN+Z+3Rn Ikz:- Find(Ik) |lkz| =5.665 Ikz= 5.619-0.719ir, Ikz zUo := Ze2 3 com(Ikz) - 5.6655.619 -7.29 'l-0.719) ur= Ee- Ikz v Ze3 -Ikz (R+ 3 RN) (Z-h 3 Rn)3 R+3RN+Z+3Rn Puc. 3.21 |1аП '5.568^ 1 zarg(la) < -8.63 |lb| - 2.689 1 arg( lb) - 168.73 b’| IlcU ,2.131,1 deg varg(lc) ) i 1 i := < 68.28j Z I-2 Z uo Rnf Ohm hTJlJJ -(1.031 1.601 0.553) 'ina^ Inb 1< be ) arg(lrN) I be | ) f 0.163^2.689,2.I31J 1 ,A= ■° Z + 3Rn<arg(Ina) deg arg(Inb)4arg(lnc) ) 134.54^168.734 68.28 )IrNla + lb + 1c | IxN| = 4.02 deg129.41deg - 24.55 Im Ina + Inb + Inc |lm| - 3.092 . Примеры расчёта несимметричных режимов Поперечная нссимметрия (замыкание фазы А на землю)Пример расчета в MathCad Образная последовательность ezaZA + 7azaZA com(E^) - A za con '110.116 -1.517^< 110.077 -2.916J<47.174 88.483^I 1.249 47.I57J 58.238 88.607^1.416 58.221 J 0Л0 Г72 - 3—z(3 < ■ L7 -Llz !l7 -о3 ** 3 з иZ° _ 7a + zN-.3 + ZA + 3Zn °°,nlГраничные условия при замыкании одной фазыZ°=T’А=У’А=7 Ua=uo+ui+u2=oИз которых следует (см. схемы замещения )t7,=£3-^-Z3 lk :-0Givei1. _,?!s7 _3 3 _ 3 3 compij - 2.165 -1.792х 10 -90.047Г ' -2.165 ) 2.165 Граничные условия при замыкании двух фазЛ=4+А+72=о кэ-с/д/з г/„/з иа/з 0 z3 z3 z0 Продольная нссиммстрия (обрыв фазы А) Е:-22< ш>100я L:=0J X:=Iz«o r:«=-S ZA : r+’-x ^:^ГХГраничные условия при разрыве одной фазы Ц = Ц, = АЛ -> ^ =( А + Л VaИз которых следует (см. схемы замещения )

Пример- 4.Дано:R1 := 10 R2 := 20 L := 0.2 Е 20 С •- 60-10" 6ЛАДДА ААААА ААА ДАД АЛА/Ищем решения в виде:р-t i( t) = icb( t) + inp = Л-е + inp inp определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации: определяет ННУ в схеме до коммутации: ilX-O) = ЩО) = о определяет ЗНУ в схеме после коммутации (Рис. 4.19): i( 0 + ■) = — io—-— io - 0.667 RI + R2 R1 + R2А := -inp + io Л = -0.133 АЛАА • Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации:„ RIR2 , Л 1 RI R2Z — + р-1. = 0 п RI + R2 L RI + R2 р - -33.333 RI-R2RI + R2 - 6.667 Записываем окончательное решение и строим график i(t): t = (t) = ДО —-еР 1 + —м RI R1 0 0.667 0.015 0.719 0.03 0.751 0.045 0.77 0.06 0.782 0.075 0.789 0.09 0.793 0.105 0.796 0.12 0.798 Unp определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации (рис. 4.22): Unp:-Г* Unp-202) Определяет ИНУ в схеме до коммутации (рис. 4.23): що>.iS.fi.„Г' js,iS.fi.R'rl2 \ 2 ) *** 2 I 2 ) Определяет ЗНУ в схеме после коммутации (рис. 4.24): U(0) = R (J - Щ0)) Uo:-R (J-io) Uo - 26.667А -Unp + Uo А - 6.667 АЛЛА I Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации (рис. 4.22): Z=y+y + R+p-L=0 р = -200 RIR2RI + R2 - 6.6675) Записываем окончательное решение и строим график i(t):U(i) := Л-ер 1 + Unp г:-—!— т - 0.005 t0, т-0.5.. 4-т|р| t - U(l) = 0 26.67 0.0025 24.04 0.005 22.45 0.0075 21.49 0.01 20.9 0.0125 20.55 0.015 20.33 0.0175 20.2 0.02 20.12 Rj- 20 £/-=40-106 ^:=2Ищем решения в виде:U(t) = Ucb(i) + inp = ЛеР 1 + Unp1) Unp определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации (рис. 4.27):Unp J R-3 Unp - 120АААААЛА • определяет ННУ в схеме до коммутации (рис. 4. 28): А/с. 4.2Я Рис. 4.29 определяет ЗНУ в схеме после коммутации (рис. 4.29 и 4.30): *:= М- W = J (Re + R) + ЕеJ (Re R) + Ее Uo - 93.333-Unp + Uo А = -26.667 Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации: Записываем окончательное решение и строим график i(t): т:=-гт т=2.4х IO-3 t 0,т-0.5.. 4-т1р|t- U(t)= UJt)А еР ’ + Unp 0 26.67 0.0012 25.24 0.0024 24.13 0.0036 23.25 0.0048 22.55 0.006 22.01 0.0072 21.58 0.0084 21.24 0.0096 20.98 Лекция № 10 §4.3 Метод расчета переходных процессов в цепи переменный токаДля расчета переходный процессов в цепи переменного тока ис­пользуют символический методПример: Определи 1ь ток источника напряжения если:/?1=20Ом, R2 = 10 Ом, L = 0,2 Гн, е(/) - 20 sin( со/ - 60° )В, f = 50 Гц, со-27и/’-313рад/с.Решение: Находим индуктивное сопротивление и комплекс на­пряжения XL - (&L - 62,80м, £ - 20е”/6° В.Ищем решение в виде i(/)-iCB(/) + /np(/)- Аер1 + /(/).1. Определяем принужденную составляющую в цепи после ком­мутации, используя символический методZ(p) -Rt + R2 + pL -0 p _-R'+R1- _-150c’1.L Определяем независимые начальные условия, i£(0) используя символический метод. £0I ‘ 2/?|+у%£ J D ! = -0,118 - /О,156 A, i, (0) =2Л,+^£ J ,/Л' = -0,156 А. ie(0+) = fr(0)=-0,156A Определяем зависимые начальные условия в схеме после ком­мутации, заменяя индуктивность/, источником тока равным <(0).Определяем константу интегрирования А /,.(0+) - А + ги/,(0) -» А -/„(0+) -/„„(0) -0,081 А.Записываем решение и строим график.i(t) -гсв(/) + Гпр(О-^' + гпр(/) -0,081е’150' +0,287sin(w/-124,466°)A . 6 1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   21

t =00 0010.0020 0030.0040 0050 0060 0070.0080 0090.010010.011010.012010.013010014010.01501 П) =-0.156-0.206-0.227-0.219-0.183-0.124-0 0490.0360120.1960.2550.291030.2820.2370.171Рис. 4.36 §4.4 Переходные процессы в цепи второго порядкаРассмотрим цепь второго порядка представленную на рис. 4.37 с параметрами: Е = 50В, R - 1 ООм, L = 0.1 Гн, С - 40мкФ.Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа, в результате получаем систему дифференциальных уравнений:+ис+/•_/? =£* —> L — + Ri + uc=E. i = C—; Первое слагаемое это исв = 4 -ехр(/>|/) + А2 ехр(р2Осв°бодная со­ставляющая. Она зависит только от параметров схемы, а также от на­чальных и конечных запасов энергии. Эта составляющая решения не за­висит от формы воздействующего напряжения.Второе слагаемое это ww/, = uc(oo) принуждённая составляющая. Она зависит от внешнего воздействия и имеет форму этого воздействия. Очевидно, что в нашем случае она определяется как ulip = i/c(oo) - Е.Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, отражающих невозможность мгновенного изменения начальных запасов энергии в конденсаторе и в катушке.Для определения констант интегрирования используем независи­мые начальные условия ис(0) = 0, iL(0) = 0.м^(0) — 0 — /4| + А2 + Е\ / к zA(O)-f^(O+)-C^-O = C'(^lp1 + Л2р,).dtОткуда следует, что. (4)P2Pl P2PlТеперь можно записать окончательное решениеиг(0 = —ехр(р/)+ Р,£ exp(p2t)+E = ———(-р2ер1 + р,еА' )■Р2-Р1 Р2-Р1 “ Р2Р\Определим корни характеристического уравнения входящие в решение uc\t) Р\^ Р2 через входное сопротивление схемы.1 CL • р + RC• р +1 А 2 п/> 1 Л /с\pL + н R — — 0 —> CL - р 4- RC • р 4" 1 — 0. (5)Ср СрВ результате решения уравнения получаются корни:-h±4o -RC±J(RC)2-4LC R If R f Г1,2 2а 2CL 2L LC (6)г- о 1Где о = — показатель затухания контура, соо - - .— угловая часто-та незатухающих колебаний, при выполнении условия (Oq > б2 имеемЗдесь соГ6, частота свободных колебаний,Корни уравнения определяются параметрами цепи и могут прини­мать следующие возможные значения (рис. 4.38).Дискриминант равен нулю. Кони вещественные, отрицательные и тг с Rкратные. Критический режим р^ 2 =“'О = - —uc(/) = £(l + 8/)e"5' + Е.• Дискриминант положительный. Корни вещественные отрицатель­ные и неравные. Апериодический режим р} 2 = -6± Jb2 -со^ ;Uc (0 = —/ Е (Р\ еР:‘ - Р-> qP}> ) + С.• Дискриминант отрицательный. Корни комплексно-сопряжённые, с отрицательной вещественной частью. Колебательный режим=-d±j(0„. uc(t)-Ee-6'cos(w,,60 + Sin(wrsr) + E . p1=p2=-6 +1“ ^св Puc. 4.38. Расположение корней на комплексной плоскости. Примеры определения корней характеристического уравнения вMathcad -456.2341361360570100)-182.6547527528318788^R 10 С:=60-10 6 L:=0.2 (R+Lp)-2R I , p : + + R solve ,p —►R+Lp+2R Cp (R+ Lp)-2 R J_R + E-р + 2-R {"'’P 2 25 R С р + 3 R Ср L + 3R+ Lp (3-R + Lp)Cp Р“ -456.234")-182.655) С- 100 ю 6 L:=0.1 Л (R+LP)R IP := + R+LP+R CP R solve, Р —> (-275) - 156.12494995995995515.(-275) + 156.1249499599599551Н Р- -275- 156.125-275 + 156.125iJ (R+LP)R I + + RR+LP+R CP 3R2CP + 2R-C P2L+ 2-R + LP (2R+ LP)CPПримеры определения корней характеристического уравнения изависимых и независимых начальных условийПример: Определить независимые/} (0),(/с(0) и зависимые начальныеусловия (/£(0+),/с(0+). Определить корень характеристического урав- 22Я+Д2 (УС(О) = /£(О)Я = -.1 .Определяем независимые начальные условия /}(0)5С/с(0). 2.Определяем зависимые начальные условия (7Z (0+),/’с(0+) из схемы после коммутации (см. документ Mathcad). 3.Определяем корень характеристического уравнения из схемы после коммутации (см. документ Mathcad). Документ MathcadORIGIN:= 1АААЛАЛААЛЛААОпредели гь напряжение па конденсаторе.Е?= 100 R 10 L:- 0.1 Г;-50106 Е 2R(Lp + R) IUnD := - Z р) := — + R + пр 3 З-R + bp СрКорни характеристического уравненияsolve,р Г(—416.62)-162.451' р •- Z(p) float, 5 (-416.61) + 162.45i_ ' -416.67- 162.45^ч -416.67+ 162.451J Независимые начальные условия Е п Е 'Lo 1R Ьс0‘ 2Зависимые начальные условияЕ“ иС0+ *Lo*r ’Lo"5 UC0"50 ’R0“ iCO:",RO",LcПос гоя иные интегрирования - I ( иС0" ипр <АПЛ) р.ЗЗЗ-81.2211^t 8.333+ 8l.22liJ со - 162.45 Unp - 33.333 ч । y 1 *Lo *np UL0 ।< L J цсо+ 'LoR 2R UL0^ F“ ‘R0R pit pj-ti(t):=Are + Aye ‘ t = 3.O31x 10 3 t:-0,0.0l-T..T-ICI |Rc(P)| -0.417 + 0.716i>-0.417-0.7l6iJ §4.5 Операторный метол расчёта переходных процессовОператорный метод (преобразование Лапласа) расчета переходных процессов используется для того, чтобы обыкновенные дифференци­альные уравнения с постоянными коэффициентами (в пространстве оригиналов) преобразовать в алгебраические (в пространстве изображе­ний). Очевидно, что алгебраические уравнения решаются проще. После решения алгебраического уравнения над полученной функцией (изо­бражением) производится обратное преобразование Лапласа, получает­ся оригинал. Полученный оригинал это функция, которая и буде1 ре­шением дифференциального уравнения.Любой функции можно сопоставить её преобразование ЛапласаF{p)^]f{t)ep,dt, (7)Оздесь F(p) изображение, /'(/) оригинал. Выражении (7) записыва­ют ещё и в операторной формеF(p) = L[/(/)] •Приведём изображение нескольких часто встречающихся функций. Определим изображение константы - /’(/) = A (const):00 jF(p) = A\e-t>'dt=-— |;=-.о Р Р F(p) = f e(l'ep‘dtОНайдем изображение экспоненциальной функции - f(t) = eal: р - а ° р - аИзображение экспоненциальной функции поможет нам найти изобра­жения синусоидальной косинусной функций- sin(cof), cos(cof). Для это­го запишем эти функции через формулу Эйлера. Далее осуществляем следующую цепочку преобразований: sin( cat) = 2Jcos( cot) if I I I _ I \ p + jeo - p + jeo co2j\p-jco /?+ jeo] 2j\ p2 +co2 J р2+ш2' Определим изображение производной функции /(f), имеющей dtизображение F(p)1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   21

ОС 7 / V СО 00j ^c-^dl -J-.1\1)ер' f +pj f{l)ep,dt = -/(0) + pF(p).0^0 0И, наконец, определим изображение интегрального выражения j/'(/)J/ о> e'-j/M*' j/Ж'ЛJ //«■>*' е-А --JI ./(е-) — |>л— око ) ” О \ О 7 ” !' ”Таблица преобразований Лапласа /(г)-оригинал F(p)- изображение 1 l/P еа> V(p-a) ёш l/(p + a) sin (со/) оУ(/?-со2) cos(cof) p/(p2+(O2) -/(0) + pF(p) 0 F(p)P Вернемся теперь к переходным процессам.Итак, мы будем сопоставлять каждой функции его изображение. Например /(/)—>/(/>), u(t) —>U(p). С учётом полученной таблицы можно сопоставить каждому элементу его изображение:u£(f) = I^y^->l(p/(p)-/£(O))^-pL I(p)- —J J1'1—> i?P“dt F ifojL -II >’ ню-”с о Р PC с i/cp ис(оурсхема изображений, в пространстве изображений находятся желаемые токи и напряжения с использованием известных методов расчета (МКирхгофа, МУП, МКТ и т.д.). Для перехода от изображения к ори­гиналу (к временной зависимости) необходимо использовать теоремуразложения: М(р) W) где /?к корни уравнения N(p) - 0.p-N(p) МО)где рк корни уравнения N(p) = 0.Пример: Определить ток источника напряжения еслиЕ = 50В,/? = 10Ом,Л = 0,4Гн. Рис. 4.49 Определим независимые начальные условия i£(0) iL(0) = E/ R = 50/\() = 5А. Изображаем операторную схему замещения после коммутации и находим изображение тока E/p+it(0)L = Е + iL(O)Lp = М(р)Р 2R + Lp p(2R + Lp) pN(p)'где: М(р) -Е + iL(0)Lp - 50 + 2р, N(p) -(2R + Lp} -20 +0,4р. Находим корень знаменателя и его производнуюJV(p) = 20 + 0,4p=0 —>р = -2/?/£ = -20/0,4 =-50с-1,N\p) = L = ^4. Для определения оригинала /(/) используем теорему разложе­ния 1(р} MW > ,(0-^(0), MW ср; 50 1 50-100^, p-N(p) А(0) pJV'(p) 20 -50 0,4-2,5 + 2,5e-50/A. Переходные процессы в электрических цепях при воздействии импульсного напряжения. (Метод пространства состояний) Интегрирующие и дифференцирующие цепи (дифференцирова­ние и интегрирование как операции фильтрации сигналов). Частотные характеристики Интеграл Дюамеля - аналитический метод расчета переходных процессов при импульсном воздействии L:-0.l2.‘ -Л--0.07IpI:=0..N Dl(t,x):-Puc. 4.52R:- 10( C:-700 10 6 p —— R-C-1 F(t) 2D(t,x):- x + — N:- 10 -4RC RC — Puc. 4.53 140 := 1Пt < T,f(t),E(t -1)) t := 0.0.01-T..3 IД>1 f(t):= 4-t-l if0 E(t)RCDc(t,x) := Ac x + Bc(t)al' TDL(l,x) = AL x + BL(t) х^:= rkfixed(0,0,4 T,N,DiJ AL^ BLa>:-^DL(t,x) Al x + BL(t) x^ = rkfixed(0,0,4 T.N.DjJ Ас:=^Dc(t,x) Ac x + Bc(t)xc := ricfixedi0.0,4 T.N,DCI t := xq<0> W. (jm) = L jПЛ Referenced ‘.Documents and Settings\Yusup\Pa6o4Hii стол\Аним_^Анимации\Уч_Пособ xmcd Rp IC 100- IO- 6 L^:- 0.02 RL1 Of co.o*- нarg(z) °’1 deg ci,o*-Rc(z> Cj ]<-lw(z)Puc. 4.59<0.928 -2I.8O1A mo - 400 com( a) -V 0.862 -0.345 ) ДО2 sin| FXDf:-5f (o:-2-T[-f сп - 314.159 T — t := 0,0.01 Т..2 Т W (WA(О Al A0.01 \ 0.02 I 0.03 \ 0.04 V/v ч , . (0.954 -17.441) (0.847 -32.142) , . (0.623-51.48$conl(a|) ^091 -0.286 J 10.717 -0.45 J [0.388 -0.487J(0.414-65.54)[o.!71-O.377JEl(t) :- 2- |a| I sin^t-cu — 9O.deg + argfa|)j + 0.2'|a->| sin(o)'2-t + 30-deg + arg(a^)j ...+ 0.3-|ад| sin^o-4-t + 45 deg + arg^a^jj + 0.1- |a-y| -sin(nj-7-t - 60 deg + argfa-yjjPuc. 4.62Лекция №11§4.6 Интеграл Дюамеля g(0Прежде всего, уместно ввести понятие переходная функция. Переходная функция это отклик системы на единичное воздейст­вие. При известной переходной функции g(t) для заданной схемы можно найти ток в цепи i(t) = g(t)UQЗдесь (70 постоянное внешнее воздействие. Для того чтобыОпределить ток при произвольном внешнем воздействии U(t), разо­бьем функцию С;(г)на прямоугольники как показано на рисунке 4.64. Полный ток в момент t получаем, используя метод наложения. Просум­мируем все частичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току «(0)g(0:КО = u(0)g(/) + £u'(T)g(/ -т)ДтЧисло членов суммы равно числу ступенек напряжения. Оче­видно, что ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кривую, чем больше число ступенек. С этой целью заменим конечный интервал времени Ат на бесконечно малый di и перейдем от суммы к интегра­лу:/(/) - i/(0)g(/) + J u'(z)g(/ - x)di,оили / K0-«(0g(0) + f*K'0g'('-'0о Пример: R IR° — + RI + L-x solve, x —► -1200 RI + R2 -1200 Uo ?= 200 т :=-r—rIpi t - 8.333x 10 4 0 otherwise RI- 200 R2-50 L - 0.2 RI + R2 RI + R2 RIR2 + — о Л - -0.003 0.007RIR2+ —2 RI -200R2=50 L=0.2Находим переходную проводимость i(t):e(t) .•= 0.0Лер1 + ! т - 8.333x 10“ 4** R|Находим ток на первом интервале i(t) 0 < t < т :

После определения матриц А и BF необходимо проверить правильность составления уравнения состояний. Это можно сделать, определив корни характеристического уравнения через сопротивление схемы:7V2 r Корни характеристического уравнения р2, Рз должны полностью совпасть с собственными числами Х|Д2Дз матрицы состояния A, det(A-X-1) =0. Зачем следует проверить принуждённые состав­ляющие решений. В схеме после коммутации их легко найти, в нашем случае они определяются соотношениями:'E-(R2+R}y ( \ис\„РиС2пр ^Lnp J 2R2+Rl E-Ry2R2 + R}E r54,545>45,455<0,455 , < 2Л2 + >С помощью матричных соотношений их легко проверить: x„/,e) = -A-|-BF ='54,545^45,455<0,455 ? Таким образом, мы убедились, что система уравнений состояния составлена правильно.Документ MalhcadАналитический метод решения переходных процессов методом переменных состоянияНаходим матрицу состояния А, используя операции Given и Find. Состав­ляем уравнения относительно переменных состояния Ucl, Uc2 и iL . Giver E= (iL+ icl) R2 ♦ Ucl R2 Find(icl,ic2,UL) —> iLR2-Uc2 R2 Uc2il.= ic2 + iLRI+UL Ucl+Uc2=CR2 < E-iLR2-Ucl Дано:C2 : 60-io \-iLRI + Ucl -Uc27 L:=0.01 R2 := 100 RI - 6:= 20 Cl := 20-10 E := 100 Записываем матрицу переменных состояния А и матрицу столбец правых частей BF. где В - матрица связи (размерности п х п), F-матрица столбец (размерности п х 1).Внимание!!! Произведение матриц BF здесь обозначено как В! Г 1 0 1 R2-C1 С1 А 0 1 1 R2-C2 С2 1 1 -RI 1 L5х 104>1 L L ) В - 0 1 0 ) ( 4 >-500 0 -5 х 10 Г Е C1-R2 А - 0 -166.667 1.667х I04 В:= 0 , 100 -100 -2х ю’ , t 0 J Определяем собственные числа матрицы состояния А => X Аeigenvals(A) '-1210.96+ 2454.4 li)Z- -1210.96-2454.4 li -244.75 ) Для проверки определяем корпи характеристического уравнения через импеданс схемы Z(p) ( 1 Р ■ + Ьр + R1 +R2 + —— СЬрR2 С2-РR2+ ——С2р , (-1210.96- 2454.4 И Аsolve ,р-> -1210.96+ 2454.4 И float, 6I, -244.752 ) Для проверки определяем принуждённые составляющие1пр R + R ч- R “С* ‘I l,P'(R| + *2) ^2 := iLnP R2 f 54.545^ MCI -54.545 iLfip = 0.455 1^2 = 45.455 -Л ‘-В- 45.455 0.455 ) Теперь обращаемся к одной из стандартных процедур решения системы ди нциальных. GivenUL+ iLR+ I iL+ u * ||,R\R_ FI 9-R J Uo:=IOC R10 L:-0.1АЛЛ/ AAAR-9-Rp := + R + Lp solve, p —► -19010-Ra 2- |p| a - 380 E(t) :-Uo-e a 1 B(t) 9 Ц1)10 L 19 R 10 L D(i,x) := A x+ B(t) 3 4N:-IO T:=T-r <(])AAAA |p| t:-yу rkfixe<(0.0,T,N.D) 9B:- —Uo-mat 10 r±9-l«10 A :--B AAAA E:-10( 5R 21 X:-eigenvals(A) X- 7(p)R +(bp + 2-RH + R\C'P Lp+ 2R+ + RCp p:-*P> solve, pfloat, 6 -554.473>। -A -270527; '•B- 66.667,1 _ EiLpr:- ।3R il.pr - 1.333 Ucpril.pr-R- 2 IJcpr - 66.667 D(t,x) :=A x+ U N:=102 i:=l..N rz o^x:-rkfixec 1 °2 ,0,T, N,D t := x PTP №3. РА СЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХЦЕПЯХЦепь I-го порядкаРассчитать ток источника ЭДС ze(/) и напряжение на источнике тока при постоянном источнике e(t) - Е или z(/) -I (Е -I - /0 = 6.4) классическим и операторным мето­дом и построить временной график; при гармоническом источнике e(t) = Ет sin(co/ + \|/) или /(/) - lm sin( соГ + \|/) (Еп1 = (70, / = /0 = 6Л) классическим методом; ) операторным методом и с помощью интеграла Дюамеля при экс­поненциальном воздействии e(t) = и^е"и' или z(f) = /oe-r'\ гдса-2/т-2-|р||, т-1/|/?|| - постоянная времени; О, с помощью интеграла Дюамеля в буквенном виде при импульсном воздействиигде ti = 0,5т, т постоянная времени цепи.Построить качественный график ie(i) или U/i) для времени 0*40.Предварительно привести подобные в аналитических выражениях.Цепь Н-го порядкаПри постоянном воздействии Е = Uo: Классическим методом определить ток и напряжение на кон­денсаторе 07; Определить iL(i) - студентам с фамилиями на А Л и UcO) - с фа­милиями на М Я.Построить графические зависимости или Uc(t) Методом переменных состояния определить ток индуктивности и напряжение на емкости Uc(t)y напряжение на индуктивно­сти UL(t) и ток емкостиic(l). Построить графические зависимо- сти iL UL (Г),ic(t). Подтвердить расчеты пунктов 1,2, 6, 7 проделав работ у на ElectronicsWorkbench ПРИМЕЧАНИЕ. На схемах показано положение ключей до комму­тации.1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   21

CTBCHHO.Очевидно, что в этом случае мы можем получить следующие соот­ношенияdu jmldU(x) > eJ ;dx dxL.l(x)- jtaL^x^;dt dx dx dxCo^-^ j^U(x)e^.dt Подставив вес выше полученные выражения в телеграфные уравнения, и сократив на множитель , получим dU(x) -( -L \ J ( V V dx V'O ■ (26) dl(x) dx -(g0+jcoC0)£7(x). Введя обозначения Zo -/5 + jcoAq, -g0 +/оэСо, и опуская зависи­мость напряжения и тока от пространственной координаты эти уравне­ния можно переписатьПродифференцируем первое уравнение по х и подставим в него второе получим дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами2 э ту=7ад. (2г)dx dxБудем искать решение в виде U = Аерх. Подставляя искомое решение в (2г) получим характеристическое уравнение относительно р р2-у2=0 -» р1Д = ±у.Теперь решение можно записать в видеU - А + А2ер'х = А^х + А2е<х.Здесь А2 комплексные константы которые определяются с помощью граничных условий, комплексное число у - принято называть постоянной распространения. Запишем его в алгебраической формеy = a + jp,где а коэффициент затухания (характеризующий затухание падаю­щей волны на единицу длины линии); Р коэффициент фазы (про­странственная частота): он характеризует изменение фазы падающей волны на единицу длины линии. Размерность величин [у] = [а] = [р] = 1/ки.Найдем ток из уравненийdU_ 7 t v , 1 dU А^'-А^dx °- - Zo dx Zn/yВеличину, стоящую в знаменателе Z0/y называют волновым сопро­тивлением и обозначаю! Z,: оZ = —Следовательно, ток можно записать Ze Ze Z, 4^ -А2е<х А^ А2еух Теперь можно перейти от комплексных величин к мгновенным значениям, то есть осуществить обратный переход от комплексных функций к мгновенным значениям тока и напряжения:—>i(x9t)9 U{x]e^ —>u(x9t).В результате получимм(л,/) = si п (со/ -рл + \|/|) + Лг!4'** sin(co/ + Р% + \\f2), Бегущая волна характеризуется волновыми параметрами длинной волны!. и фазовой скоростью и. Скорость распространения и и дли­ну X волны можно определить, используя выражения: СО/ - 0Л' + \|/1 = const —> J(tO/ -Рл +\|/|) dt „ ^Х ZX ^Х Ю= (о-В — = 0 и = ,dt dt Р Формулы для определения напряжения и тока в любой топке липни через комплексы напряжения и тока в начале линии Выпишем комплексное представление волн напряжения и тока вдоль линии, и определим константы интегрирования входящие в эти выражения, используя граничные условия в начале линии:■А2е1Х ■ (4)Z'—О —оПусть в начале линии при х = 0 напряжении и тогда можно по­лучить:I £1=41+42;[ZiZ’e =Ai 42-Просуммируем первое, и второе уравнения в системе (4), в результате получим выражение для константы А{:4i=Ll+Z1^.=^<Вычитая второе уравнение из первого в системе (4), получим выраже­ние для константы А.:j i L\ zЛ. . /кр— 2 ет -еПоставим найденные константы в выражения для напряжения:U Li +£|^е-у.у + Li L\?.e е-/х _ и— 2 2 Напомним, что в скобках находятся гиперболические функции си­нус и косинус: ch(ух) - ' ev + eyx> sh(yx) - (еух -еух>к 2 ,Приведём графический вид функций сА(х), $Л(х).Теперь выражения для на­пряжения и тока можно перепи­сать в виде:U(x) = Uich(yx)-LiZesh(yxY,I(x)-I_{ch(yx)-^-sh(yx). (5)Используя это выражение можно получить связь между величинами в начале и в конце линии. Поста­вим х = ( в выражения (5), здесь / длина линии:^(0 = с/2-^сЛ(уП-/|^Л(тО;£(/)-Л -Lich(yt)-^-sh(yf.). (6)—вРешим уравнения (6) относительно t/2 м получим систему уравне­ний позволяющую определять ток и напряжения в начале линии при из­вестных значения в конце линии.V, -(/2cA(yO4-£2z^A(yO;li -^-sh(yf)+I_2ch(yt). ’—6Если ввести обозначения А - D=ch(£y), В - Zesh(t,y),C = sh((y)/Ze то мы получаем уравнение четырехполюсникаIU । = AU j + BI7:. (8)Ui -CU2+DI_2.Для всякого пассивного четырехполюсника выполняется:AD -ВС = ch2(yf.)-sh2 (у () = 1. (9) §5.2 Формулы для определения напряжения и тока в любой точке липни через комплексы напряжения и тока в конце линииОбозначим расстояние от текущей точки на линии до конца линии v, а длину всей линии С:у=£-х. (Ю)Пусть известны напряжения и ток в конце линии £72 и Z2. Будем ис­пользовать эти значения как граничные условии при у = 0. На основа­нии системы уравнений (4) получаем:{/(0) = С7, = Л|е’^ + Л,^ 7(0) =/24 (У^У> л У> £e ZeРешая систему относительно констант Л, и А->: Т/2 = Л|^ + Л2е^;А -^-+l2Zeеу( = (12)—I 2 1 Л2Подставив найденные значения постоянных А} и Л2 в систему (4) по­лучаем: (13)U(У) - + Li I_(y) - + /2сЛ(уу), §5.3 Липин без потерьСтрого говоря, линии без потерь нс существует. Однако можно создать линию с очень малыми потерями (с очень малыми гГ) и g0 по сравнению с соЛ0 и соСо соответственно). В ряде случаев, в особенности при высо­ких частотах, когда соЛр»^ и (oCo»go, можно пренебречь наличием потерь в линии и принять г0 =0 и go =0. В этом случае коэффициент затухания а-0, и коэффициент распространения становится чисто мнимой величиной у = у’Р, [$ - co^/Z^Cp , а волновое сопротивление явля­ется чисто активным:Ze=z6. (14)Дтя определения напряжения и тока в любой точке линии обра­тимся к системе уравнений (13) 1л(у)=С72сЛ(Уу)+£2^Л(Уу); I Ку) - ^sh(yy) + К(:КТУ)- (15) и учтем, что сЛ(уу) - ch(jfiy) - cos(P.v), лЛ(уу) = лЛ(./Ру) = /sin(Py), и перепишем уравнения (15): (7(у) = и_2 cos(Py) + JLiZls sin(Py); КУ) = j =^-sin(P v) + Д cos(Py). (16) Используя те же выражения для системы (5) можно записать урав­нения линий без потерь через ток и напряжения в начале линии: (/(V) = cos(Pv) - ;7, Z, sin(Pv);Ку) = - 7 y-sin(py) +1_, cos(Py). (17) §5.4 Коэффициент отраженияОтношение напряжения отраженной волны в конце линии к напряже­нию падающей волны в конце линии называют коэффициентом от­ражения по напряжению и обозначаю i Ки. В соответствии с формулой (12) можно получить: Из этого выражения видно, что при Zn = ZD согласованной нагрузке мы получаем /См=0, и следовательно нет отраженной волны, а при Zw —> оо холостом ходе мы получаем Ки = 1 то есть волна полностью отражается. Действующие значения напряжения и тока вдоль линии без потерь Ки=-0,5 Стоячие волны Если в конце линии без потерь нс потребляется активная мощность (линия разомкнута, закорочена, замкнута на реактивную нагрузку), то в такой линии возникают стоячие волны.При разомкнутом (/2 =0, Z2 =0°) конце линии без потерь напряже­ние и ток в любой се точке определяется с помощью уравнений в триго­нометрических функциях:(7(у) = (/2 cos(pv); £(y) = J=1sin(py).‘—в (176) Если U_2 то мгновенное значение напряжения и тока вычисляютсяпо уравнениям (17в)Каждое из этих уравнений представляет собой произведение двух функций, причем аргумент одной из них зависит только от времени, а другой только от координаты. Иначе говоря, в любой фиксированной точке линии напряжение и ток изменяются по синусоидальному закону со сдвигом по фазе на четверть периода. При этом распределение на­пряжения и тока вдоль линии для любого момента времени является также синусоидальным. В результате в конце линии в точках, находя­щихся от конца линии на расстоянии = (к - целое число), напря­жение имеет максимальные значения (пучности жирные точки на рис. , а токи нулевые значения (узлы). В точках, которые отстоят от X конца линии на расстоянии v = — (2А +1), существуют ухлы (полые точ- 4ки на рис. 5.8) напряжения и пучности тока. При этом узлы и пучности тока и напряжения нс перемещаются по линии. Стоячую волну можно представить как результат наложения падающей и отраженной волн с одинаковыми амплитудами. Входное сопротивление линии без потерь при холостом ходе При холостом ходе ток в конце линии равен нулю /2 = 0 . Поэтому можно записать (из 17)_У_ _ C2cos(P,y) . Z* . /СоНа рисунке 5.9 приведена функция tg(y)9 которая в ин­тервале от 0 до л/2 является положительной, следовательно, имеет емкостной характер (множитель -J) и изменяется по модулю от оо до 0 . Далее в интервале от л/2 до л функ­ция /g(v) отрицательна. В этом случае ZBXXX имеет ин­дуктивный характер и изменя­ется от 0 до х. И так далее, та­ким образом, изменяя длину отрезка линии без потерь, можно имитиро­вать емкостное или индуктивное сопротивление любой величины. Практически это свойство используется при высокой частоте в различ­ных радиотехнических устройствах.В точках линии, в которых существует узлы тока и пучно­сти напряжения, линия может быть представлена резонансным контуром с параллельным со­противлением емкости и индук­тивности, а в точках, в которых имеются узлы напряжения и пучности тока, ту же линию можно представить резонанс­ным контуром с последователь­ным соединением емкости и индуктивности.При коротком замыкании линии (<Л = О* Z2 = 0 ) из урав­нений (17) определяем: tZ(>,)=Z2Vin(₽y);/(у) = /2 COS(Pv).В этом случае уравнения для мгновенных значенийu = I2n,z3s in(pv)cos((or)i -12т cos(P v)sin((or) (17г) (17д)определяют стоячие волны. В конце линии и в точках, отстоящих от ее X,конца на расстоянии у = —к , имеются узлы напряжения и пучноститока, а в точках, которые находятся на расстоянии у = — (2 А' +1), пуч- 4 7 —ВХ к.3 L2 Sin(Pv)ности напряжения и узлы тока. Входное сопротивление линии без по­терь, короткозамкнутой на конце,Эго сопротивление, так же как Z!IXXX, является чисто реактивным и в зависимости от длины участка у линии и частоты со получается или индуктивным или емкостным (рис. 5.10).На рисунке 5.11 показан график входного сопротивления вдоль короткозамкнутой линии, из которого следует, что при 0< у<А./4; А/2 < у < 31/4 и т.д. линия представляет собой индуктивное сопротивление; ток отстает по фазе от напря­жения на четверть периода.При1 / 4 < у < X / 2; 31 / 4 < у < 1 и т. д. линия представляет собой емкостное сопротивление; ток опережает по фазе напряжение линии на четверть периода.Лекция № 13 Аналогия между уравнениями линии с распределенными параметрами и уравнениями четырехполюсника Напряжение и ток на входе линии с распределенными параметрами ((7и/j)связаны с напряжением и током в конце линии ({А’/.2)слс‘ дующими уравнениями:c/iL\ -^^(y0 + L2ch(yf).Сопоставим их с известными уравнениями четырехполюсника:t/j -AU_2+BI_2\/j -CU2 + D72.Из сопоставления следует что уравнения по форме полностью ана­логичны, а если принять обозначения, чтоА - D -сЛ(/;у), В = Zesh(ty\С = sh(ty)/Ze (17с)то зависимость между и (/2, и 72и зависимость между и U_2 и Li в линиях с распределенными параметрами Точно такие же, как в чсты- рехполюсникс. Другими словами, при соблюдении условий (17с) четы­рехполюсник эквивалентен линии с распределенными параметрами в отношении связи между входными и выходными токами и напряжения­ми.При перемене местами источника и нагрузки токи в источнике и нагрузке нс изменятся. Таким же свойством обладав симметричный че­тырехполюсник. Поэтому однородная линия с распределенными пара­метрами может быть заменена симметричным четырехполюсником и. наоборот, симметричный четырехполюсник можно заменить участком однородной линии с распределенными параметрами.1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   21

1=20мкФ, С2=60мкФ, £ = 0,01Гн.

Решение. Для составления уравнения состояний эффективно использо­вать решающие функции программно-интсгрирующсй среды MathCAD, такие как Given и Find. Запишем уравнения, связывающие токи

(0» *С2(/) и напряжение uL(t) с напряжениями на ёмкостях и током индуктивности. Для этого используются первый и второй законы Кирх­гофа. В нашем примере матрицы х(/), А и В - F(,v) буду! равны

= (1-узел);

(it

С2^^--^ + )£«) (2-узел):

i —- ЛГ| (') + «С2<0 -'/(')«! (сред, контур). at

После подстановки числовых значений получаем:
-500
0
-5-Ю4



5-1О4'

А =
0
-166,667
1,667 104
, BF
0




100
-100
-2-Ю3

>



0

к /
0>


После определения матриц А и BF необходимо проверить правильность составления уравнения состояний. Это можно сделать, определив корни характеристического уравнения через сопротивление схемы:

7V2 r


Корни характеристического уравнения р2, Рз должны полностью совпасть с собственными числами Х|Д2Дз матрицы состояния A, det(A-X-1) =0. Зачем следует проверить принуждённые состав­ляющие решений. В схеме после коммутации их легко найти, в нашем случае они определяются соотношениями:

'E-(R2+R}y



( \
ис\„Р

иС2пр

^Lnp J

2R2+Rl E-Ry

2R2 + R}
E

r54,545>
45,455

<0,455 ,



< 2Л2 + >

С помощью матричных соотношений их легко проверить:


x„/,e) = -A-|-BF =
'54,545^
45,455
<0,455 ?

Таким образом, мы убедились, что система уравнений состояния составлена правильно.

Документ Malhcad

Аналитический метод решения переходных процессов методом переменных состояния

Находим матрицу состояния А, используя операции Given и Find. Состав­ляем уравнения относительно переменных состояния Ucl, Uc2 и iL .


Giver



E= (iL+ icl) R2 ♦ Ucl




R2

Find(icl,ic2,UL) —>
iLR2-Uc2




R2




Uc2

il.= ic2 + iLRI+UL Ucl+Uc2=C

R2
< E-iLR2-Ucl

Дано:

C2 : 60-io

\-iLRI + Ucl -Uc27
L:=0.01 R2 := 100 RI
- 6

:= 20 Cl := 20-10 E := 100




Записываем матрицу переменных состояния А и матрицу столбец правых частей BF. где В - матрица связи (размерности п х п), F-матрица столбец (размерности п х 1).

Внимание!!! Произведение матриц BF здесь обозначено как В!



Г 1
0
1







R2-C1
С1

А



0
1
1




R2-C2
С2







1
1
-RI







1 L

5х 104>1
L
L )

В
-
0 1












0 )













( 4 >

-500 0 -5 х 10



Г Е







C1-R2

А -
0 -166.667 1.667х I04
В:=
0




, 100 -100 -2х ю’ ,



t 0 J







Определяем собственные числа матрицы состояния А => X


Аeigenvals(A)


'-1210.96+ 2454.4 li)

Z- -1210.96-2454.4 li


-244.75 )


Для проверки определяем корпи характеристического уравнения через импеданс схемы Z(p)




( 1 Р ■ + Ьр + R1 +

R2 + —— СЬр

R2

С2-Р

R2+ ——

С2р


, (-1210.96- 2454.4 И А

solve ,р

-> -1210.96+ 2454.4 И float, 6

I, -244.752 )


Для проверки определяем принуждённые составляющие

1пр R + R ч- R “С* ‘I l,P'(R| + *2) ^2 := iLnP R2


f 54.545^


MCI -54.545 iLfip = 0.455


1^2 = 45.455 -Л ‘-В- 45.455


0.455 )


Теперь обращаемся к одной из стандартных процедур решения




системы ди нциальных.



Given

UL+ iLR+ I iL+ u * ||,R\R_ F

I 9-R J


Uo:=IOC R10 L:-0.1

АЛЛ/ AAA

R-9-R

p := + R + Lp solve, p —► -190

10-R

a 2- |p| a - 380 E(t) :-Uo-e a 1



B(t)


9 Ц1)

10 L


19 R


10 L


D(i,x) := A x+ B(t)




3 4

N:-IO T:=T-r


<(])
AAAA |p|


t:-y
у rkfixe<(0.0,T,N.D)


9

B:- —Uo-
mat 10


r±9-l«

10


A :--B


AAAA





E:-10(


5R


21


X:-eigenvals(A) X-


7(p)R +




(bp + 2-RH + R\C'P


Lp+ 2R+ + R

Cp


p:-*P>


solve, p

float, 6


-554.473>

। -A -270527;


'•B-


66.667,1


_ E

iLpr:- ।

3R


il.pr - 1.333 Ucpril.pr-R- 2 IJcpr - 66.667


D(t,x) :=A x+ U N:=102 i:=l..N


rz o^

x:-rkfixec 1


°2


,0,T, N,D


t := x




PTP №3. РА СЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ
ЦЕПЯХ

Цепь I-го порядка

Рассчитать ток источника ЭДС ze(/) и напряжение на источнике тока

  1. при постоянном источнике e(t) - Е или

z(/) -I (Е -I - /0 = 6.4) классическим и операторным мето­дом и построить временной график;

  1. при гармоническом источнике e(t) = Ет sin(co/ + \|/) или /(/) - lm sin( соГ + \|/) (Еп1 = (70, / = /0 = 6Л) классическим методом;

  2. ) операторным методом и с помощью интеграла Дюамеля при экс­поненциальном воздействии e(t) = и^е"и' или z(f) = /oe-r'\ гдса-2/т-2-|р||, т-1/|/?|| - постоянная времени;


  3.
    О,

с помощью интеграла Дюамеля в буквенном виде при импульсном воздействиигде ti = 0,5т, т постоянная времени цепи.

Построить качественный график ie(i) или U/i) для времени 0*40.

Предварительно привести подобные в аналитических выражениях.

Цепь Н-го порядка

При постоянном воздействии Е = Uo:

  1. Классическим методом определить ток и напряжение на кон­денсаторе 07;

Определить iL(i) - студентам с фамилиями на А Л и UcO) - с фа­милиями на М Я.

Построить графические зависимости или Uc(t)

  1. Методом переменных состояния определить ток индуктивности и напряжение на емкости Uc(t)y напряжение на индуктивно­сти UL(t) и ток емкостиic(l). Построить графические зависимо- сти iL UL (Г),ic(t).

  2. Подтвердить расчеты пунктов 1,2, 6, 7 проделав работ у на ElectronicsWorkbench

ПРИМЕЧАНИЕ. На схемах показано положение ключей до комму­тации.
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   21


Таблица 1

№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ио,в
120
240
125
150
180
200
210
230
250
260

Т,град
90
0
180
-90
-90
-90
30
30
-30
-30

К Ом
20
24
25
30
36
40
42
46
50
52


Таблица 2

№ п/п
1



3
4
5
6
7
8
9
0

со, с'1
100
200
400
400
500
500
800
125
250
50

L, Гн
0,5
0.25
0,2
0,1
0,08
0,16
0,05
0,6
0,3
0.4

С, мкФ
500
250
200
100
80
160
50
160
80
400


Лекция № 12

ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Электрическими линиями с распределенными параметрами на­зываются такие линии, в которых для одного и того же момента времени ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от одной точки (сечения) линии к другой соседней точке.

Эффект непрерывного изменения тока и напряжения вдоль линии имеет мсето вследствие того, что линии обладаю! распределенными

продольными и поперечными сопротивлениями.




rodx Lodx

i ndx L^dx

/о dx Ly dx

go dx Codx—

- du
u+— dx



dx

Puc. 5.1

На рисунке 5.1 изображен участок линии с распределенными парамет­рами, через dxобозначен бесконечно малый элемент длины линии.

В результате утечки через поперечные сопротивления токи на со­седних участках линии неодинаковы. Вследствие этого и падение на­пряжения на соседних поперечных сопротивлениях разделенных участ­ком dx тоже отличаются.

В электрических линиях с распределенными параметрами продоль­ные сопротивления образованны активными сопротивлениями проводов линии и индуктивностями двух противостоящих друг другу участков линии длиной dx. Поперечные сопротивления состоят из сопротивлений утечки, появляющейся вследствие несовершенства изоляции между проводами линии, и емкостей, образованных противостоящими друг другу элементами (участками) линии.

Линию с распределенными параметрами называют однородной,
ес­ли равны друг другу все продольные сопротивления участков линии одинаковой длины, и если равны друг другу все поперечные сопротив­ления участков линии одинаковой длины.

Линию с распределенными параметрами называют неоднородной, если продольные сопротивления в ней различны и поперечные сопро­тивления неодинаковы.

Когда говорят о линии с распределенными параметрами, то обычно этот термин мысленно связывают с мощными линиями передач элек­трической энергии на большие расстояния, с гелефонными телараф- ными воздушными и кабельными линиями, с антеннами в радиотехнике и другими родственными линиями и установками.

Пусть г(} продольное активное сопротивление единицы длины ли­нии:

/Л) индуктивность единицы длинны линии; Со- емкость единицы дли­ны линии; g0 поперечная проводимость единицы длины линии (она нс является обратной величиной продольного сопротивления г0):

Разобьем линию на участки длиной х(см. рис. 5.2), х расстояние, отсчитываемое от начала линии. На длине dx активное сопротивление рано r^dx, индуктивность L^dx, проводимость утечки g^dx и ем­кость Со dx.

И ток, и напряжение являются в общем случае функциями расстояния вдоль линии х и времени t.

Обойдем, выделенный участок линии по контуру и запишем для него второй закон Кирхгофа - сушш падений напряжения для замкну­того контура равняется нулю'.

di ди

-и + r^lx • i 4- Ltflx — + и 4-—dx - 0.
dt dx

Сокра j ив на и и поделив на dx получаем выражение:


ди
дх

г0-/ + А0
di
dt


Запишем первый закон Кирхгофа для выделенного узла -1:

i - di +1 + —dx
дх

Ток di равен сумме токов, проходящих через проводимость g()кость Ctflx:


j. \ du

dl - U +

I dx
А д' ди '
dx g^dx^— CQdx и +— dx .

J dt k dx J

Пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получим ди

di - и • g0dx + CGdx —
dt

Подставляя (2) в (1) и поделив на dx, после упрощения получаем


(I)
CM-

(2)


ciОХ О1



с)и

Pv

дх

di dt

, du
° dt

(2a)
Таким образом, получаем систему дифференциальных уравнений в ча­стных производных, которые в математической физике называются телег рафпыми j равнениями:

Смотрите также файлы