Файл: Лекция 11 постоянный ток.docx

Таблица №1 Таблица №2

№	Е	R	С	<Р	А,	L2
	В	Ом	МкФ	град	Гн	Гн	Гц
0	50	10	250	30	0,15	0,15	50
1	30	20	100	0	0,2	0,2	50
2	20	30	300	90	0,12	0,12	50
3	40	40	250	-90	0,22	0,22	50
4	25	50	100	180	0,19	0,19	50
5	15	25	220	90	0,15	0,15	50
6	22	35	300	-90	0,19	0,19	50
7	45	50	400	180	0,11	0,11	50
8	30	10	600	0	0,17	0,17	50
9	12	30	500	15	0,21	0,21	50

00



Лекция № 8

ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

U_A(t)-£₀V2sin(wr), {/_B(r)-£₀^sin(ftrf-^-), U_c(t) - £₀T2sin(cirf + y-).

Пли в символической форме:

_ ,2л .2л

Е_л-Е_{}^ Е^_в-Е^е ³, Ef=E^e ³ фазные напряжения.

Полезно ввести обозначение для фазового множителя:

а-е'^2я/3 __1_+/-2^^__{0>5+/0 86б5 а}2 _-1-/2^-_-0,5-./0,866.

2 2 2 2

Тогда можно записать: Е__л — Е_(}, Е__в -Е^а¹, Е__с -Е^а.

Заметим, что

. ₂ . 1 .7з 1 .7з _Л

1+я“+£/-1—- j — - —+/ — -0.

2 2 2 2

И, следовательно Е_А +Е^_В +Е^_С -£₀(1 + я² +а) -0.

1__Лу /_с - линейные токи.

При наличии нулевого провода (нейтрали) (рис. 3.2) схема разделяется на три независимые схемы


Ток нейтрали определяется выражением

Для представленной схемы (рис. 3.3) без нейтрали, при симметричной нагрузке 7_л = 7д = Z__c токи как в предыдущем случае, определяются соотношениями:

j _ LLa I _£в т _LLc

1. 
   Метод симметричных составляющих
   

Puc. 3.13





1>

1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   21

30 Ohm

1|—5-55б-Д>

05 4 10 Ohn

Н:Л Deg

|| 1598mA ||











>15 Ohm

220 V50 Нг/243 Deg „ ..

.—. Al Uhm

05 4 10 Ohn

II A

(^)220 MW №/120 Deg

30 Ohn- I \AA-

0.3 H 10 Ohm

Rn
* Ohm

Puc. 3.14


Схема обратной последовательности
i Схема нулевой последовательности




Ua=U₍ +U₂+U₀=C

Puc. 3.16

RZ

Ze-26.566+ 8.092i Ее - 194.816+ 59.34i ^Ul^{=Ee l}\ ^{£e U}2 4 ^Ze

U _ ₍ (R + 3RN)(Z + 3 Rn) R+3RN+ Z + 3Rn lk:=C.

Given

„ Ik Ik _ Ik (R+3 RN) (Z+3 Rn) _л

Ее Ze Ze = C

3 3 3 R+3RN+Z+3Rn










Ikz:- Find(Ik)

|lkz| =5.665 Ikz= 5.619-0.719i

r, Ikz _z

U_o := Ze

² 3

com(Ikz) -

5.665

5.619

-7.29 'l

-0.719)

^ur=

Ee-

Ikz _v

Ze

3

-Ikz (R+ 3 RN) (Z-h 3 Rn)

3 R+3RN+Z+3Rn

Puc. 3.21

|1аП	'5.568^	1	zarg(la)	< -8.63
|lb| -	2.689	1	arg( lb) -	168.73 b’|
IlcU	,2.131,1	deg	varg(lc) )	i 1 i := < 68.28j Z

I

-2 Z


^uo


Rn
f Ohm


h^T

JlJJ -(1.031 1.601 0.553)


'ina^ Inb 1

< be ) arg(lrN)


I be | )


^f 0.163^
2.689
,2.I31J


1 ,A=

■° Z + 3Rn

^<arg(Ina)


deg


arg(Inb)

₄arg(lnc) )


134.54^

168.73

₄ 68.28 )



IrNla + lb + 1c | IxN| = 4.02 deg129.41

deg


- 24.55


Im Ina + Inb + Inc |lm| - 3.092

2. 
   . Примеры расчёта несимметричных режимов
   

Поперечная нссимметрия (замыкание фазы А на землю)
Пример расчета в MathCad

Образная последовательность

ez_a

^ZA ^{+ 7}a
^za^ZA


com(E^) -


A ^za


con


'110.116 -1.517^

< 110.077 -2.916J

<47.174 88.483^

I 1.249 47.I57J

58.238 88.607^

1.416 58.221 J

0^Л0

Г7₂ -

3

—^z(

3 <

■ L₇ -Ll_z !l₇ -о

3 ** 3 з и



^Z° ^_ 7_{a +} ^z_N-.3 ₊ ^ZA ₊ 3Z_n °°^,nl

Граничные условия при замыкании одной фазы

^Z°=T’А=У’А=7 U_a=u_o+u_i+u₂=o

Из которых следует (см. схемы замещения )

t7,=£₃-^-Z₃

l_k :-0

Givei

1. _,?!s7 _

³ 3 ^_ 3 3

compij -


2.165


-1.792х 10


-90.047

Г ' -2.165 )


2.165

Граничные условия при замыкании двух фаз

Л=4+А+7₂=о

к_э-с/_д/з г/„/з и_а/з ₀ z₃ z₃ z₀


Продольная нссиммстрия (обрыв фазы А)


Е:-22< ш>100я L:=0J X:=Iz«o r:«=-S ^ZA ^{: r+}’-^x ^^:^Г^Х



Граничные условия при разрыве одной фазы

Ц = Ц, = АЛ -> ^ =( А + Л Va

Из которых следует (см. схемы замещения )

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

1. 
   Переходные процессы в простейших цепях. Нулевые началь­ные условия
   

Под переходными процессами понимают процессы перехода от одного установившегося режима работы электрической цепи к дру­гому^ чем-либо отличающемуся от предыдущего, например величи­ной амплитуды, фазы, частоты или значениями параметров схемы.

Коммутация это процесс замыкания и размыкания выключате­лей. Переходные процессы обычно являются бысгропротекающими; длительность их составляет десятые, сотые, а иногда даже милиарные доли секунд. Сравнительно редко длительность переходных процессов достигает секунд и десятков секунд.

Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода электрической системы от одного энергетического состояния к другому, то есть это процесс перераспределения энергии между эле­ментами цепи.

Рассмотрим переходный процесс в простейшей цепи с источни­ком напряжения, индуктивностью и сопротивлением, соединёнными последовательно.

Пример: (£ = 100В, R - 100 Ом, L =0,4Гн ). Определим ток в цепи. Для этого запишем второй закон Кирхгофа для цепи после коммутации:

Ri(t) + L—-Е.
dt

Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение первого по­рядка с постоянными коэффициентами. Общее решение i(t) такого уравнения записывается в виде суммы двух составляющих общего решения однородного уравнения z_ov(/)h частного решения неоднород­ного уравнения 1_Ч||(/)

¹(0='о.р(0 + »ч.н(0

Общее решение однородного уравнения легко найти разделив пе­ременные и осуществляя следующую последовательность действий:

г» ч т di ' г. ./ ч г di R , di

R • i (t) + 7L — — 0 —> R • i (j) -——L— —> dt —

dt dt L i(t)

_r

- — / ln(e)+ln(^) = ln(z) -> i_op(t) = Ae ^L .

Частное решение неоднородного уравнения это любое уравнение которое удовлетворяет уравнению, и его легко угадать, посмотрев на уравнение:

R-i(t) + L^-E,
dt

и если предположить, что ток постоянный то мы получаем:
R-i(t)+lJf = E -+ /_чи =Л

/ dt R

Теперь мы можем записать общее решение неоднородного уравне­ния в виде:

Е
'(О-'о.рСО+'ч.нС/)-^ ^L +-.

Константу интегрирования А находим из начальных условий. В схеме до коммутации ключ был разомкнут и поэтому ток в цепи отсут­ствовал. Следовательно, мы можем записать:

i(0) = л + — -» А =

—.

R R

Запишем окончательное выражение для тока:

Е Е е(

i(t) — е ^L ч— — — 1 — е ^L

R RR

k 7

В электротехнике общее решение однородного уравнения i_oу(/) на­зывают свободной составляющей i_cn(t) - A-e^pt, потому что эта состав­ляющая нс зависит от источника энергии внешнего воздействия. То есть она свободна от внешнего влияния и зависит от параметров цепи.

Частное решение неоднородного уравнения 1_{Ч Н}(/) в электротехнике называют принужденной составляющей i_np(/)« О^на зависит от источни­

ка энергии и полностью повторяет его функциональную зависимость от времени с неким коэффициентом пропорциональности. Например, если источник энергии постоянный, то принуждённая составляющая будет постоянной. Если источник энергии имеет синусоидальный вид, то и принуждённая составляющая будех иметь синусоидальный вад.

Если обрати ть внимание на решение то можно заметить, что свободная

составляющие бысгро затухает из-за наличия отрицательного сомножи­теля в показателе экспоненты /_св(/) =

рактеризует переходный процесс. Постоянную р = называют кор­


I L т - — - — \Р\ R


нем характеристического уравнения, а обратную её величинуназывают постоянной времени, (это время за которое ток

уменьшается в с = 2.71 раз, с'¹ = 0,367) После быстрого затухания сво­бодной составляющей остаётся только принуждённая составляющая это означает, что наступил установившийся процесс установившийся ре­жим работы цепи. Таким образом, можно сказать, что при установив­шемся режиме искомая величина (ток или напряжение) равна своей принужденной составляющей. Например, для нашего примера это мож­но записать так:

»•('=«)

Теперь, решим задачу используя физические соображения. Итак, величина искомого тока буде! состоять из суммы двух составляющих свободной и принужденной, первая из которых бысгро затухает и имеет экспоненциальный вид, а вторая повторяет форму внешнего воздейст­вия:

»(О-«с_В(') + 'пр-^'^+гпр-

Находим принуждённую составляющую в схеме после коммутации при / - оо,считая, что индуктивность является закороткой

/(/=оо) = / - —.

1. 
   ^{7 пр} R
   

Затем, используя начальные условия, находим константу интегрирова­ния А

i(Q) = A + — А--—.

R R

Записываем полученное решение

Ф)=’с_в0) + ^пр = ^'+'пр-

Теперь осталось найти корень характеристического уравнения р.

Корень характеристического уравнения находится через входное сопро­тивление схемы. Если сделать замену р-ръ и поставить в выражение доя сопротивления схемы то можно получить:

+ -> /? + Zp=0 = Z(p);

Z(co) - ycoZ.+ /?-О —> р--—.

L

Из которого легко получить корень характеристического уравне­ния. Приведем графическую зависимость результата

£f 4)

z_£(/) = — 1-е ¹ .

^L R

\ 7

Напомним, что напряжение на индуктивности определяется выражени- см и, (t)-L .

^L dt

Ток индуктивности Напряжение индуктивности

Рис. 4.2

Запишем последовательность действий для решения задачи на переходный процесс:

1. 
   Записываем решение в виде свободной и принужденной состав­ляющих
   

'(/) - '„(О + 'пр - ^Лс'^Р' + '(°⁰) ИЛИ »(0 = «св W + «пр - ^иеР' + «0^х) •

2. 
   Определяем принужденную составляющую в схеме после комму- тации и_пр = и(оо) или г_пр = г(оо)
   
3. 
   Определяем корень характеристического уравнения р через входное сопротивление Z(p) =0, в схеме после коммутации.
   
4. 
   Определяем константу интегрирования А из начальных условий.
   

Записываем окончательное решение и строим график.






Z(p)

/соС

+ Я +/? = 0-> р =

RC

4. 
   Находим константу интегрирования А из начальных условий. До коммутации ключ был разомкнут, и напряжение на конденсаторе от­сутствовало
   

и_с(0) = Я+£ = 0 -> А = -Е.

4. 
   Записываем окончательный результат:
   

1



--Ее ^RC +E = E \-e ^RC

«с<0-«_св(0 + %
—i

II • / X

Находим ток, через конденсатор, используя выражение z_r(/) = С—-— dt




JL_e RC¹ RC

Е “ ^z

RC

R



C i роим графические зависимости тока и напряжения для конден­сатора.

Напряжение на емкости

Рис. 4.4

§4.2 Классический метод расчета переходного процесса. Первый и второй законы коммутации. Понятия о зависимых и независимых начальных условиях

До сих пор мы рассматривали относительно простые задачи пере­ходного процесса с независимыми начальными условиями это задачи на определения тока переходного процесса через индуктивность и на­пряжения переходного процесса на ёмкое!и. Задачи определения тока переходного процесса через сопротивление или через источник напря­жения решаются сложнее. Для понимания сложных переходных про­цессов очень важно понимать, что такое зависимые и независимые на­чальные условия. Начнем рассмотрения этих понятий с первого и вто­рого законов коммутации.

В электрической цепи, нс может быть мгновенного изменения на­копленной в электрических и магнитных полях энергии

^(0-)=|Г(0+) = 1Г(0).

Так как энергия электрического поля конденсатора и энергия магнитного поля индуктивной катушки равны соответственно это означает, что в момент коммутации остаются неизменными напря­жения на обкладках конденсатора и токи в индуктивных катушках. Для перераспределения энергии требуется время это процесс инерцион­ный, нс мгновенный. Поэтому существуют два закона коммутации.

Первый закон (правило) коммутации - ток через индуктив­ность непосредственно до коммутации i_£(0-) равен току через ин­дуктивность после коммутации /_£(0+):

i_£(0-) = 4(0+) = i_£(0). (*)

Второй закон (правило) коммутации - напряжение на ёмкости непосредственно до коммутации и_с(0-) равно напряжению на ёмко­сти после коммутации м_с(0+):

u_c(0-) = u_r(0+) = a_c(0). (**)

Это есть независимые начальные условия. Независимыми они называ­ются потому, что независимо от того до или после коммутации мы их наблюдаем, они всё равно одинаковы и равны, и поэтому знаки и + в выражениях (*) и (**) опускают. Важно помнить, что независимые на­чальные условия определяются в схеме до коммутации. Таким обра­зом, существует только два независимых начальных условия это на­пряжение на конденсаторе и ток через индуктивность.

Иначе дело обстоит с зависимыми начальными условиями, напри­мер с током через ёмкое! ь или с током через источник напряжения:

i_c(0-)\i_c(0+), _г-_£(0-)\/_£.(0+).

или с напряжением на индуктивности или на источнике тока: m_i(0-)4w_£(0+), м₇(0-)\ы₇ (0+).

Зависимые начальные условия могут изменятся скачком непосред­ственно до и после коммутации. То есть их значения «зависят» от того наблюдаем мы их до или после коммутации. Зависимые начальные ус­ловия определяются в схеме после коммутации. (При этом в после- коммутационной схеме ёмкость заменяется на источник напряжения равный величине м_г(0) и направленный против ёмкостного тока, а ин­дуктивность заменяется на источник тока равный /_£(0) и направлен он по индуктивному току).

Запишем последовательность действий для определения зависи­мых начальных условий:

1. 
   Определяем независимые начальные условия в схеме до комму­тации ток через индуктивность/^(0) и напряжения на конден­саторе м_с(0).
   
2. 
   Заменяем в схеме после коммутации индуктивность £, источ­ником тока равным значению /_£(0), а емкость С источником на­пряжения равным значению м_г(0).
   

Далее находим интересующие нас зависимые начальные условия.

Теперь можно приступить к решению примеров с зависимыми и незави­симыми начальными условиями.

Пример:

Определить независимые и_г(0) и зависи­мые начальные условия i_K(0+), f_c(0+) для заданной схемы, если заданы величины: Е = 50 В. R = 1 ООм, С = бОмкФ.











«с(°) = т

25В.

Определяем зависимые начальные условия в схеме после коммутации заменяем при этом ёмкость на источник напряжения:

i_E(0+) =

Е-и_с(0) Е-Е/2

А₌М₌₂.5А.

2R 20

i_E(0+) - = 2,5 - 5 - -2,5А.

Пример: Определить зависимые и j (0+), u_L (0+) и независимые /_£(0) начальные условия для за­данной схемы:

J =2А,/? =100м,£ = 0,1Гн.

Определяем независимые началь­ные условия в схеме до коммута­ции: /_£(0) = у = 1А.

Определяем зависимые начальные условия в схеме после коммутации заменяем при этом заменяем индуктивность на источник тока равный i_£(0)=J/2 = lA.



Определяем независимые начальные условия в схеме до коммутации:u,(0+)- J/? + — —-2-10+1-5-25В

⁷ 2 2

и, (0+) = -/?—-= 1-10-1-5 = 5B

в Mathcad