Файл: Лекция 11 постоянный ток.docx

Чтобы решить эти уравнения, воспользуемся символическим мето­дом

Ввсдсм изображения токов и напряжений



(3)
/(х,Г) -> 7(x)e^/ft>', u(x,t) -> U(x)e^j^.

Здесь Z(.r) и J7(x) комплексные величины тока и напряжения соответ -

1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   21

CTBCHHO.

Очевидно, что в этом случае мы можем получить следующие соот­ношения

du _jmldU(x)

> e^J ;

dx dx

L.l(x)- jtaL^x^;

dt dx

dx dx

C_o^-^ j^U(x)e^.

dt

Подставив вес выше полученные выражения в телеграфные уравнения, и сократив на множитель , получим

dU(x)	-( -L \ J ( V V
dx	V'O ■	(26)
dl(x) dx	-(g0+jcoC0)£7(x).

Введя обозначения Z_o -/5 + jcoAq, -g₀ +/оэС_о, и опуская зависи­мость напряжения и тока от пространственной координаты эти уравне­ния можно переписать

Продифференцируем первое уравнение по х и подставим в него второе получим дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

2 э _т

у=7ад. (2г)

dx dx

Будем искать решение в виде U = Ае^рх. Подставляя искомое решение в (2г) получим характеристическое уравнение относительно р р²-у²=0 -» р_1Д = ±у.

Теперь решение можно записать в виде

U - А + А₂е^р'^х = А^^х + А₂е<^х.

Здесь А₂ комплексные константы которые определяются с помощью граничных условий, комплексное число у - принято называть постоянной распространения. Запишем его в алгебраической форме

y = a + jp,

где а коэффициент затухания (характеризующий затухание падаю­щей волны на единицу длины линии); Р коэффициент фазы (про­странственная частота): он характеризует изменение фазы падающей волны на единицу длины линии. Размерность величин [у] = [а] = [р] = 1/ки.

Найдем ток из уравнений

dU_ _{7 t v} , 1 dU А^'-А^

dx °- - Z_o dx Z_n/y

Величину, стоящую в знаменателе Z₀/y называют волновым сопро­тивлением и обозначаю! Z,: о

Z = —

Следовательно, ток можно записать




Z_e

Z_e Z
_{, 4^ -А2}е<^х А^ А₂е^ух

Теперь можно перейти от комплексных величин к мгновенным значениям, то есть осуществить обратный переход от комплексных функций к мгновенным значениям тока и напряжения:

—>i(x₉t)₉ U{x]e^ —>u(x₉t).

В результате получим

м(л,/) = si п (со/ -рл + \|/|) + Лг!⁴'** sin(co/ + Р% + \\f₂),







Бегущая волна характеризуется волновыми параметрами длинной волны!. и фазовой скоростью и. Скорость распространения и и дли­ну X волны можно определить, используя выражения:

СО/ - 0Л' + \|/1 = const —>

J(tO/ -Рл +\|/|)

dt

„ ^^Х ZX ^^Х Ю

= (о-В — = 0 и = ,

dt dt Р

1. 
   Формулы для определения напряжения и тока в любой топке липни через комплексы напряжения и тока в начале линии
   

Выпишем комплексное представление волн напряжения и тока вдоль линии, и определим константы интегрирования входящие в эти выражения, используя граничные условия в начале линии:

■А₂е^1Х ■ (⁴)

Z'

—О —о

Пусть в начале линии при х = 0 напряжении и тогда можно по­лучить:

I £1=41+4₂;

[ZiZ’e =Ai 4₂-

Просуммируем первое, и второе уравнения в системе (4), в результате получим выражение для константы А_{:

_4i=L_l+Z₁^.₌^_<

Вычитая второе уравнение из первого в системе (4), получим выраже­ние для константы А.:

j i L\ z_Л. . /кр

— 2



е^т -е


Поставим найденные константы в выражения для напряжения:U Li +£|^_е-у.у ₊ Li L\?._{e е}-/х _ _и
^— 2 2

Напомним, что в скобках находятся гиперболические функции си­нус и косинус:






ch(ух) -

' _ev + e^yx>

sh(yx) -

(е^ух -е^ух>

к ² ,



Приведём графический вид функций сА(х), $Л(х).Теперь выражения для на­пряжения и тока можно перепи­сать в виде:

U(x) = U_ich(yx)-L_iZ_esh(yxY,

I(x)-I__{ch(yx)-^-sh(yx). ⁽⁵⁾

Используя это выражение можно получить связь между величинами в начале и в конце линии. Поста­вим х = ( в выражения (5), здесь / длина линии:

^(0 = с/₂-^сЛ(уП-/|^Л(тО;

£(/)-Л -Lich(yt)-^-sh(yf.). ⁽⁶⁾

—в

Решим уравнения (6) относительно t/₂ ^м получим систему уравне­ний позволяющую определять ток и напряжения в начале линии при из­вестных значения в конце линии.

V, -(/₂cA(yO4-£₂z^A(yO;

li -^-sh(yf)+I_₂ch(yt). ’
—6

Если ввести обозначения А - D=ch(£y), В - Z_esh(t,y),C = sh((y)/Z_e то мы получаем уравнение четырехполюсника

IU । = AU j + BI7:
. (8)

Ui -CU₂+DI_₂.

Для всякого пассивного четырехполюсника выполняется:

AD -ВС = ch²(yf.)-sh² (у () = 1. (9)

§5.2 Формулы для определения напряжения и тока в любой точке липни через комплексы напряжения и тока в конце линии

Обозначим расстояние от текущей точки на линии до конца линии v, а длину всей линии С:

у=£-х. (Ю)

Пусть известны напряжения и ток в конце линии £7₂ и Z₂. Будем ис­пользовать эти значения как граничные условии при у = 0. На основа­нии системы уравнений (4) получаем:

{/(0) = С7, = Л_|е’^ + Л,^



7(0) =/_{2
4 (}У^У> л У>



£_e Z_e

Решая систему относительно констант Л, и А->:


Т/₂ = Л|^ + Л₂е^;
А -^-⁺l2Z_eеу_{( =}



(12)
—I 2 ¹

Л₂

Подставив найденные значения постоянных А_} и Л₂ в систему (4) по­лучаем:



(13)
U(У) - + Li

I_(y) - + /₂сЛ(уу),

§5.3 Липин без потерь

Строго говоря, линии без потерь нс существует. Однако можно создать линию с очень малыми потерями (с очень малыми г_Г) и g₀ по сравнению с соЛ₀ и соС_о соответственно). В ряде случаев, в особенности при высо­ких частотах, когда соЛр»^ и (oC_o»g_o, можно пренебречь наличием потерь в линии и принять г₀ =0 и go =0. В этом случае коэффициент затухания а-0, и коэффициент распространения становится чисто мнимой величиной у = у’Р, [$ - co^/Z^Cp , а волновое сопротивление явля­ется чисто активным:

Z_e=z₆. (14)

Дтя определения напряжения и тока в любой точке линии обра­тимся к системе уравнений (13)

1л(у)=С7₂сЛ(_Уу)+£₂^Л(_Уу); I Ку) - ^sh(yy) + К^(:КТУ)-


(15)


и учтем, что сЛ(уу) - ch(jfiy) - cos(P.v), лЛ(уу) = лЛ(./Ру) = /sin(Py), и перепишем уравнения (15):


(7(у) = и_₂ cos(Py) + JLiZls sin(Py); КУ) = j =^-sin(P v) + Д cos(Py).


(16)


Используя те же выражения для системы (5) можно записать урав­нения линий без потерь через ток и напряжения в начале линии:


(/(V) = cos(Pv) - ;7, Z, sin(Pv);

Ку) = - 7 y-sin(py) +1_, cos(Py).


(17)


§5.4 Коэффициент отражения

Отношение напряжения отраженной волны в конце линии к напряже­нию падающей волны в конце линии называют коэффициентом от­ражения по напряжению и обозначаю i К_и. В соответствии с формулой (12) можно получить:


Из этого выражения видно, что при Z_n = Z_D согласованной нагрузке мы получаем /С_м=0, и следовательно нет отраженной волны, а при Z_w —> оо холостом ходе мы получаем К_и = 1 то есть волна полностью отражается.

5. 
   Действующие значения напряжения и тока вдоль линии без потерь
   

К_и=-0,5

5. 
   Стоячие волны
   

Если в конце линии без потерь нс потребляется активная мощность (линия разомкнута, закорочена, замкнута на реактивную нагрузку), то в такой линии возникают стоячие волны.

При разомкнутом (/₂ =0, Z₂ ⁼⁰°) конце линии без потерь напряже­ние и ток в любой се точке определяется с помощью уравнений в триго­нометрических функциях:

(7(у) = (/₂ cos(pv);




£(y) = J=¹sin(py).‘

—в

(176)

Если U_₂ то мгновенное значение напряжения и тока вычисляются

по уравнениям



(17в)



Каждое из этих уравнений представляет собой произведение двух функций, причем аргумент одной из них зависит только от времени, а другой только от координаты. Иначе говоря, в любой фиксированной точке линии напряжение и ток изменяются по синусоидальному закону со сдвигом по фазе на четверть периода. При этом распределение на­пряжения и тока вдоль линии для любого момента времени является также синусоидальным. В результате в конце линии в точках, находя­щихся от конца линии на расстоянии = (к - целое число), напря­жение имеет максимальные значения (пучности жирные точки на рис.

8. 
   , а токи нулевые значения (узлы). В точках, которые отстоят от X
   

конца линии на расстоянии v = — (2А +1), существуют ухлы (полые точ- 4

ки на рис. 5.8) напряжения и пучности тока. При этом узлы и пучности тока и напряжения нс перемещаются по линии. Стоячую волну можно представить как результат наложения падающей и отраженной волн с одинаковыми амплитудами.

8. 
   Входное сопротивление линии без потерь при холостом ходе
   

При холостом ходе ток в конце линии равен нулю /₂ = 0 . Поэтому можно записать (из 17)

_У_ _ C₂cos(P,y) . Z* . /С_о

На рисунке 5.9 приведена функция tg(y)₉ которая в ин­тервале от 0 до л/2 является положительной, следовательно, имеет емкостной характер (множитель -J) и изменяется по модулю от оо до 0 . Далее в интервале от л/2 до л функ­ция /g(v) отрицательна. В этом случае Z_BXXX имеет ин­дуктивный характер и изменя­ется от 0 до х. И так далее, та­ким образом, изменяя длину отрезка линии без потерь, можно имитиро­вать емкостное или индуктивное сопротивление любой величины. Практически это свойство используется при высокой частоте в различ­ных радиотехнических устройствах.

В точках линии, в которых существует узлы тока и пучно­сти напряжения, линия может быть представлена резонансным контуром с параллельным со­противлением емкости и индук­тивности, а в точках, в которых имеются узлы напряжения и пучности тока, ту же линию можно представить резонанс­ным контуром с последователь­ным соединением емкости и индуктивности.

При коротком замыкании линии (<Л ⁼ О* Z₂ = 0 ) из урав­

нений (17) определяем: tZ(>^,)=Z2Vⁱⁿ(₽y);

/(у) = /₂ COS(Pv).

В этом случае уравнения для мгновенных значений
u = I_2n,z₃s in(pv)cos((or)

i -1_2т cos(P v)sin((or)




(17г)

(17д)



определяют стоячие волны. В конце линии и в точках, отстоящих от ее X,конца на расстоянии у = —к , имеются узлы напряжения и пучности

тока, а в точках, которые находятся на расстоянии у = — (2 А' +1), пуч- 4




7 —ВХ к.3

L2 Sin(Pv)



ности напряжения и узлы тока. Входное сопротивление линии без по­терь, короткозамкнутой на конце,Эго сопротивление, так же как Z_!IXXX, является чисто реактивным и в зависимости от длины участка у линии и частоты со получается или индуктивным или емкостным (рис. 5.10).

На рисунке 5.11 показан график входного сопротивления вдоль короткозамкнутой линии, из которого следует, что при 0< у<А./4; А/2 < у < 31/4 и т.д. линия представляет собой индуктивное сопротивление; ток отстает по фазе от напря­жения на четверть периода.

При

1 / 4 < у < X / 2; 31 / 4 < у < 1 и т. д. линия представляет собой емкостное сопротивление; ток опережает по фазе напряжение линии на четверть периода.

Лекция № 13

8. 
   Аналогия между уравнениями линии с распределенными параметрами и уравнениями четырехполюсника
   

Напряжение и ток на входе линии с распределенными параметрами ((7_и/j)связаны с напряжением и током в конце линии ({А’/.2)^слс‘ дующими уравнениями:

c/i

L\ -^^(y0 + L₂ch(yf).

Сопоставим их с известными уравнениями четырехполюсника:
t/j -AU_₂+BI_₂\
/j -CU₂ + D7₂.

Из сопоставления следует что уравнения по форме полностью ана­логичны, а если принять обозначения, что

А - D -сЛ(/;у), В = Z_esh(ty\С = sh(ty)/Z_e (17с)

то зависимость между и (/₂, и 7₂и зависимость между и U_₂ ^и Li в линиях с распределенными параметрами Точно такие же, как в чсты- рехполюсникс. Другими словами, при соблюдении условий (17с) четы­рехполюсник эквивалентен линии с распределенными параметрами в отношении связи между входными и выходными токами и напряжения­ми.

При перемене местами источника и нагрузки токи в источнике и нагрузке нс изменятся. Таким же свойством обладав симметричный че­тырехполюсник. Поэтому однородная линия с распределенными пара­метрами может быть заменена симметричным четырехполюсником и. наоборот, симметричный четырехполюсник можно заменить участком однородной линии с распределенными параметрами.

1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   21