ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
I 0-1
О 1 I
о о
о о
^0
ЛОО
о о о о
ЛО
о ло
о '
о о
о
О'!
О О Л о
О О О Л;
Матрицу вектора правых частей тоже можно записать в виде произве
дения топологических матриц
вт
я.
Е.
О 1-1
I 1 О
О О I
0>
Е2о о
О ,
выразить через токи в ветвях,
И, наконец, контурные токи можно используя топологические матрицыСледовательно, можно формализовать метод контурных токов, используя топологические матрицы. Последовательность действий такова: записываем произведение матриц:
BRB -
4- Л т Л
-«4
-Л
Л 4- Л 4- Rh
-я?
Л т т R
40-20-10^
-20 43 -8 ,ВЕ-
-10 -8 30 ,
' Г 50^
- -15 , (25)
-30J
находим контурные токи, а затем и токи в ветвях: ( J,} (2329}
(26)
J=(BRB7) 1 ВЕ =
2,075
| I, | ' 2.329 -2,075 |
I =B'J = | к г к < A,) | 1,121 1.209 -0,254 4 0.955 , |
(27)
Проверим результат решения, проделав виртуальную лабораторную работу с помощью программы Electronics Workbench. Измерим токи в ветвях, подключив амперметры последовательно с сопротивлениями. Листинг программы Electronics Workbench, представленный на рисунке 1.11, свидетельствует о правильном расчете.
§ 1.7. Метод узловых потенциалов
Рассмотрим еще один метод понижения порядка СЛАУ. Прежде всего, обозначим все узлы на схеме. Зачем выбираем базовый узел, потенциал которого равен нулю. Пусть это будет узел 4. То есть потенциал узла 4 равен нулю ц)4 - 0. Для определения потенциалов остальных узлов нужно составить уравнения относительно неизвестных потенциалов узлов.
Прежде всего, запишем систему уравнений относительно токов по первому закону Кирхгофа.
-Z3-/4=0 (1уз);
74 + /5-/6-0 (2уз);
.Л + А + А,-0 (Зуз)-
Теперь запишем токи через неизвестные значения потенциалов и известные значения ЕДС и сопротивлений.
-
ф|-ф, ф,-ф3-^3 0
/?, Я4 R,
Л1-^+ДР2 ф2-ф.^0(2 у
Л,
Фз
Ei + Ф1
Фз
^з + Ф?
Фз -on V3\
Сгруппируем эти уравнения относительно неизвестных ф|,ф2,ф3 и в ре
зультате получаем
1 1 1 >
1 1 ф|
я, r4 /?3/'
1 1 Е. Е3
—Фг Фз - —;
/?4 - Я, Я, R.
V'+
Л,
фэ + 1 + ф3 —
^2 ^3
R, Л3
Сумма проводимостей ветвей, подходящих к узлу, называется собственной проводимостью узла. Например, для узлов 1, 2 и 3 это будет соответственно:
g|!-g| +^4+ЯЗ- — + — + —
1 1 1
» Я22 -S5 +8а +8б _'7Г + '7Г + Т
Язз-Яз+Яб+^з- —+
или в матричном виде: g-ф-Ь,
fill
где g-
R>
1
Ry
1
*4
1
Л3
'0,217
-0,05
-0,05 -0,067
0,375 -0,125
(29)
1
*3
-0,067-0,125 -0,275
и b - столбцевая матрица правых частей
Ч ! ^3
Л, Я3
О
(30)
. ^2 >
Решая систему уравнений (29), получаем потенциалы узлов:
1 Ь- ф2 -
И, наконец, находим токи во всех ветвях:
2,539 .
.-5,098,/
(31)
(£| Ф|)/7?,
(
^2 — Фз ^2 (ф)
Фз Лз (ф|-ф2)/Т?4
— ф 2 /
(ф2-фз)/^
< 2,329 '
-2,075
1,121
1,209
-0,254
< 0,955 ,
(32)
-
Метод узловых потенциалов на основе матричнотопологического метода
Решим задачу примера I матрично-топологическим методом. Прежде всего, запишем узловую топологическую матрицу учитывая, что базовым узлом является узел 4:
Г-1 0 1 1 О О')
(33)
А= 0 0 0-1-1 1
0-1-1 0 0 -1J
Теперь нам понадобятся диагональная матрица проводимостей, которая равна обратной диагональной матрице сопротивлений и матрица ЭДС.
— 0 0 0 0 0 я,
0
— 0 0 0 Я,
0
<0.1
0 0 0
0
0 >
Г яд
’ 50 >
g = R' =
0
0
0 —0 0 Я5
0 0 —0 я.
0
0
=
0
0
0
0
0,083 0 0
0 0.067 0
0 0 0.05
0 0 0
0
0
0
0.1
0
0
0
0
. Е-
II f Ч" с с
-15
-30
0
0
(34)
0
0 0 0 —
0
0 0 0
0
0.125,
10 J
< 0 ;
0 0 0 0 0 —
Я6;
Приведем произведение матриц, результатом которого будет матрица проводимостей узлов:
-1
0 1
1 0 0
A-g-Ar =
0
0
0
-1-1 1
0
-1
-1
0 0-1
Д+Д»
1
Д 1 < Д
1
1/Л, 0 0 0 0 0 '
'-1 0 0)
0 1/Я2 0 0 0 0
0 0-1
о о 1/тг3 о о о
1 0 -1
0 0 0 1/Л4 0 0
1 -1 0
0 0 0 0 1/^0
0-10
0 0 0 0 0 1/7^
<0 1-1,
1 _J_ J '
Д R4 Ry
111 1
*ЛЛ Д I 1 1 I
Д R2 R(> Ry j
'0,217 -0,05 -0,067^
-0,05 0,375 -0,125
(-0,067 - 0,125 -0.275,
'1/Я, 0 0 0 0 0 '
' F \
'-10110 0>
0 1/Л 0 0 0 0
-Es
0 0 0 111
0 0 1/R, 0 0 0
Е2
0 0 0 ]/R 0 0
0
о -1-1 о 0 -11
\ /
0 0 0 0 1/Л, 0
0
0 0 0 0 0 1//^,
<0 >
0>
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 21
(27)
Проверим результат решения, проделав виртуальную лабораторную работу с помощью программы Electronics Workbench. Измерим токи в ветвях, подключив амперметры последовательно с сопротивлениями. Листинг программы Electronics Workbench, представленный на рисунке 1.11, свидетельствует о правильном расчете.
§ 1.7. Метод узловых потенциалов
Рассмотрим еще один метод понижения порядка СЛАУ. Прежде всего, обозначим все узлы на схеме. Зачем выбираем базовый узел, потенциал которого равен нулю. Пусть это будет узел 4. То есть потенциал узла 4 равен нулю ц)4 - 0. Для определения потенциалов остальных узлов нужно составить уравнения относительно неизвестных потенциалов узлов.
Прежде всего, запишем систему уравнений относительно токов по первому закону Кирхгофа.
-Z3-/4=0 (1уз);
74 + /5-/6-0 (2уз);
.Л + А + А,-0 (Зуз)-
Теперь запишем токи через неизвестные значения потенциалов и известные значения ЕДС и сопротивлений.
-
ф|-ф, ф,-ф3-^3 0
/?, Я4 R,
Л1-^+ДР2 ф2-ф.^0(2 у
Л,
Фз
Ei + Ф1
Фз
^з + Ф?
Фз -on V3\
Сгруппируем эти уравнения относительно неизвестных ф|,ф2,ф3 и в ре
зультате получаем
1 1 1 >
1 1 ф|
я, r4 /?3/'
1 1 Е. Е3
—Фг Фз - —;
/?4 - Я, Я, R.
V'+
Л,
фэ + 1 + ф3 —
^2 ^3
R, Л3
Сумма проводимостей ветвей, подходящих к узлу, называется собственной проводимостью узла. Например, для узлов 1, 2 и 3 это будет соответственно:
g|!-g| +^4+ЯЗ- — + — + —
1 1 1
» Я22 -S5 +8а +8б _'7Г + '7Г + Т
Язз-Яз+Яб+^з- —+
или в матричном виде: g-ф-Ь,
fill
где g-
R>
1
Ry
1
*4
1
Л3
'0,217
-0,05
-0,05 -0,067
0,375 -0,125
(29)
1
*3
-0,067-0,125 -0,275
и b - столбцевая матрица правых частей
Ч ! ^3
Л, Я3
О
(30)
. ^2 >
Решая систему уравнений (29), получаем потенциалы узлов:
1 Ь- ф2 -
И, наконец, находим токи во всех ветвях:
2,539 .
.-5,098,/
(31)
(£| Ф|)/7?,
(
^2 — Фз ^2 (ф)
Фз Лз (ф|-ф2)/Т?4
(27)
Проверим результат решения, проделав виртуальную лабораторную работу с помощью программы Electronics Workbench. Измерим токи в ветвях, подключив амперметры последовательно с сопротивлениями. Листинг программы Electronics Workbench, представленный на рисунке 1.11, свидетельствует о правильном расчете.
§ 1.7. Метод узловых потенциалов
Рассмотрим еще один метод понижения порядка СЛАУ. Прежде всего, обозначим все узлы на схеме. Зачем выбираем базовый узел, потенциал которого равен нулю. Пусть это будет узел 4. То есть потенциал узла 4 равен нулю ц)4 - 0. Для определения потенциалов остальных узлов нужно составить уравнения относительно неизвестных потенциалов узлов.
Прежде всего, запишем систему уравнений относительно токов по первому закону Кирхгофа.
-Z3-/4=0 (1уз);
74 + /5-/6-0 (2уз);
.Л + А + А,-0 (Зуз)-
Теперь запишем токи через неизвестные значения потенциалов и известные значения ЕДС и сопротивлений.
-
ф|-ф, ф,-ф3-^3 0
/?, Я4 R,
Л1-^+ДР2 ф2-ф.^0(2 у
Л,
Фз
Ei + Ф1
Фз
^з + Ф?
Фз -on V3\
(27)
Проверим результат решения, проделав виртуальную лабораторную работу с помощью программы Electronics Workbench. Измерим токи в ветвях, подключив амперметры последовательно с сопротивлениями. Листинг программы Electronics Workbench, представленный на рисунке 1.11, свидетельствует о правильном расчете.
§ 1.7. Метод узловых потенциалов
Рассмотрим еще один метод понижения порядка СЛАУ. Прежде всего, обозначим все узлы на схеме. Зачем выбираем базовый узел, потенциал которого равен нулю. Пусть это будет узел 4. То есть потенциал узла 4 равен нулю ц)4 - 0. Для определения потенциалов остальных узлов нужно составить уравнения относительно неизвестных потенциалов узлов.
Прежде всего, запишем систему уравнений относительно токов по первому закону Кирхгофа.
-Z3-/4=0 (1уз);
74 + /5-/6-0 (2уз);
.Л + А + А,-0 (Зуз)-
Теперь запишем токи через неизвестные значения потенциалов и известные значения ЕДС и сопротивлений.
-
ф|-ф, ф,-ф3-^3 0
/?, Я4 R,
Л1-^+ДР2 ф2-ф.^0(2 у
Л,
Фз
Ei + Ф1
Фз
(27)
Проверим результат решения, проделав виртуальную лабораторную работу с помощью программы Electronics Workbench. Измерим токи в ветвях, подключив амперметры последовательно с сопротивлениями. Листинг программы Electronics Workbench, представленный на рисунке 1.11, свидетельствует о правильном расчете.
§ 1.7. Метод узловых потенциалов
Рассмотрим еще один метод понижения порядка СЛАУ. Прежде всего, обозначим все узлы на схеме. Зачем выбираем базовый узел, потенциал которого равен нулю. Пусть это будет узел 4. То есть потенциал узла 4 равен нулю ц)4 - 0. Для определения потенциалов остальных узлов нужно составить уравнения относительно неизвестных потенциалов узлов.
Прежде всего, запишем систему уравнений относительно токов по первому закону Кирхгофа.
-Z3-/4=0 (1уз);
74 + /5-/6-0 (2уз);
.Л + А + А,-0 (Зуз)-
Теперь запишем токи через неизвестные значения потенциалов и известные значения ЕДС и сопротивлений.
-
ф|-ф, ф,-ф3-^3 0
/?, Я4 R,
Л1-^+ДР2 ф2-ф.^0(2 у
Л,
Фз Сгруппируем эти уравнения относительно неизвестных ф|,ф2,ф3 и в ре
зультате получаем
1 1 1 >
1 1 ф|
я, r4 /?3/'
1 1 Е. Е3
—Фг Фз - —;
/?4 - Я, Я, R.
V'+
Л,
фэ + 1 + ф3 —
^2 ^3
R, Л3
Сумма проводимостей ветвей, подходящих к узлу, называется собственной проводимостью узла. Например, для узлов 1, 2 и 3 это будет соответственно:
g|!-g| +^4+ЯЗ- — + — + —
1 1 1
» Я22 -S5 +8а +8б _'7Г + '7Г + Т
Язз-Яз+Яб+^з- —+
или в матричном виде: g-ф-Ь,
fill
где g-
R>
1
Ry
1
*4
1
Л3
'0,217
-0,05
-0,05 -0,067
0,375 -0,125
(29)
1
*3
-0,067-0,125 -0,275
и b - столбцевая матрица правых частей
Ч ! ^3
Л, Я3
О
(30)
. ^2 >
Решая систему уравнений (29), получаем потенциалы узлов:
1 Ь- ф2 -
И, наконец, находим токи во всех ветвях:
2,539 .
.-5,098,/
(31)
(£| Ф|)/7?,
(
— ф 2 /
(ф2-фз)/^
< 2,329 '
-2,075
1,121
1,209
-0,254
< 0,955 ,
(32)
-
Метод узловых потенциалов на основе матричнотопологического метода
Решим задачу примера I матрично-топологическим методом. Прежде всего, запишем узловую топологическую матрицу учитывая, что базовым узлом является узел 4:
Г-1 0 1 1 О О')
(33)
А= 0 0 0-1-1 1
0-1-1 0 0 -1J
Теперь нам понадобятся диагональная матрица проводимостей, которая равна обратной диагональной матрице сопротивлений и матрица ЭДС.
— 0 0 0 0 0 я,
| 0 | — 0 0 0 Я, | 0 | | <0.1 | 0 0 0 | 0 | 0 > | | Г яд | ’ 50 > | |
g = R' = | 0 0 | 0 —0 0 Я5 0 0 —0 я. | 0 0 | = | 0 0 0 0 | 0,083 0 0 0 0.067 0 0 0 0.05 0 0 0 | 0 0 0 0.1 | 0 0 0 0 | . Е- | II f Ч" с с | -15 -30 0 0 | (34) |
| 0 | 0 0 0 — | 0 | | | 0 0 0 | 0 | 0.125, | | 10 J | < 0 ; | |
0 0 0 0 0 —
Я6;
Приведем произведение матриц, результатом которого будет матрица проводимостей узлов:
| -1 | 0 1 | 1 0 0 | |
A-g-Ar = | 0 | 0 | 0 | -1-1 1 |
| 0 | -1 | -1 | 0 0-1 |
Д+Д»
1
Д 1 < Д
1 1/Л, 0 0 0 0 0 ' | '-1 0 0) |
0 1/Я2 0 0 0 0 | 0 0-1 |
о о 1/тг3 о о о | 1 0 -1 |
0 0 0 1/Л4 0 0 | 1 -1 0 |
0 0 0 0 1/^0 | 0-10 |
0 0 0 0 0 1/7^ | <0 1-1, |
1 _J_ J '
Д R4 Ry
111 1
*ЛЛ Д I 1 1 I
Д R2 R(> Ry j
'0,217 -0,05 -0,067^
-0,05 0,375 -0,125
(-0,067 - 0,125 -0.275,
| '1/Я, 0 0 0 0 0 ' | ' F \ |
'-10110 0> | 0 1/Л 0 0 0 0 | -Es |
0 0 0 111 | 0 0 1/R, 0 0 0 | Е2 |
| 0 0 0 ]/R 0 0 | 0 |
о -1-1 о 0 -11 | | |
\ / | 0 0 0 0 1/Л, 0 | 0 |
| 0 0 0 0 0 1//^, | <0 > |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 21
Следующим шагом будет произведение матриц:
b = Ag Е =
(35)
Теперь можно найти потенциалы узлов, используя следующие соотношения:
(37)
' 26,7 D
2,539
к-5,098,
При известных потенциалах узлов находим напряжения на каждой ветви:
U-
(72
#3
^4 US Wb
- Аг<р + Е -
г-1
0
1
1
0
< 0
0 0 )
<(Р| *
Ф2
<Фз>
+
' к
0
0
Ч ° 2
—
( 23,29 '
-24,902 16,808
24,171
-2,539
ч 7,637 ,
. (38)
с
0
-1
-1
1
-1
-1
0
1 0
-1 ,
И, наконец, находим токи во всех ветвях:
(
2,329
Л
C/2//?2
—
2,075
1
3
Л
—
g-U
—
(/4/Л4
=
1,121
1,209
•
(39)
А
^5/Л5
0,254
<>>
<
0,955
)
В завершении задачи рекомендуется проверить баланс мощностей и убедиться, что расчет сделан правильно. В матричной форме баланс мощностей записывается в следующем виде:
P/7=Tt R 1 = 161,899 Вт. РЯ=1ЧЕ = Е1 = 161,899 Вт.
Проверим наши данные, проделав виртуальную лабораторную работу в Electronics Workbench. Подключив параллельно сопротивлениям вольтметры можно определить напряжения. Разделив показание вольтметров на соответствующие сопротивления можно найти токи в ветвях.
Лекция М> 3
-
Метод эквивалентных преобразовании
Рассмотрим фрагмент электрической цепи, приведённой на рисунке 1.14:
Токи в каждой ветви с ЭДС определяются выражениями:
Л| к2
кк
Результирующий ток будет определяться суммой всех токов в ветвях:
+ /2 +/3 +... + /| + '£jk ^^^kSk + • (40)
k k-0 k-0 k
С другой стороны, мы видим, что ток в эквивалентной ветви определяется выражением:
Хёк it-0 Рассмотрим некоторые частные случаи:
а о
Рис. 1.15. Преобразование параллельных ветвей
Для рисунка 1.15 ветви будут преобразованы по формулам для схем а и б соответственно:
+£о-/?1 /?| • 7?э
= d , d * =
d d
* =E\+J\&\9 Лэ - Л • (43)
В соответствии с методом эквивалентных преобразований легко получить полезные преобразования, приведённые на рисунках 1.16 и 1.17.
-
Преобразование треугольника в звезду и звезды в треугольник
Мы рассматривали преобразование сопротивлений, соединённых последовательно или параллельно. В ряде случаев бывают соединения сопротивлений нс подчиняющиеся ни правилу параллельного соединения, ни последовательного (например, в грехфазных цепях). В таких случаях могут быть полезными правила преобразования треугольника в звезду или наоборот, звезды в треугольник, которые мы приведем без доказательств.
Пример 2: Даны сопротивления Ry =15 Ом, соединённые треугольником, треугольником в соединение звездой.
Решение:
7?1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом,
Преобразовав ь соединение
=—ад—=4
“ Л1+Л2+/?3
R\Ri
-%
R
>R
x
Следующим шагом будет произведение матриц:
b = Ag Е =
(35)
Теперь можно найти потенциалы узлов, используя следующие соотношения:
(37)
' 26,7 D
2,539
к-5,098,
При известных потенциалах узлов находим напряжения на каждой ветви:
U-
(72
#3
^4 US Wb
- Аг<р + Е -
г-1
0
1
1
0
< 0
0 0 )
<(Р| *
Ф2
<Фз>
+
' к
0
0
Ч ° 2
—
( 23,29 '
-24,902 16,808
24,171
-2,539
ч 7,637 ,
. (38)
с
0
-1
-1
1
-1
-1
0
1 0
-1 ,
И, наконец, находим токи во всех ветвях:
(
2,329
Л
C/2//?2
—
2,075
1
3
Л
—
g-U
—
(/4/Л4
=
1,121
1,209
•
(39)
А
^5/Л5
0,254
<>>
<
0,955
)
В завершении задачи рекомендуется проверить баланс мощностей и убедиться, что расчет сделан правильно. В матричной форме баланс мощностей записывается в следующем виде:
P/7=Tt R 1 = 161,899 Вт. РЯ=1ЧЕ = Е1 = 161,899 Вт.
Проверим наши данные, проделав виртуальную лабораторную работу в Electronics Workbench. Подключив параллельно сопротивлениям вольтметры можно определить напряжения. Разделив показание вольтметров на соответствующие сопротивления можно найти токи в ветвях.
Лекция М> 3
-
Метод эквивалентных преобразовании
Рассмотрим фрагмент электрической цепи, приведённой на рисунке 1.14:
Токи в каждой ветви с ЭДС определяются выражениями:
Л| к2
кк
Результирующий ток будет определяться суммой всех токов в ветвях:
+ /2 +/3 +... + /| + '£jk ^^^kSk + • (40)
k k-0 k-0 k
С другой стороны, мы видим, что ток в эквивалентной ветви определяется выражением:
Хёк it-0 Рассмотрим некоторые частные случаи:
а о
Рис. 1.15. Преобразование параллельных ветвей
Для рисунка 1.15 ветви будут преобразованы по формулам для схем а и б соответственно:
+£о-/?1 /?| • 7?э
= d , d * =
d d
* =E\+J\&\9 Лэ - Л • (43)
В соответствии с методом эквивалентных преобразований легко получить полезные преобразования, приведённые на рисунках 1.16 и 1.17.
-
Преобразование треугольника в звезду и звезды в треугольник
Мы рассматривали преобразование сопротивлений, соединённых последовательно или параллельно. В ряде случаев бывают соединения сопротивлений нс подчиняющиеся ни правилу параллельного соединения, ни последовательного (например, в грехфазных цепях). В таких случаях могут быть полезными правила преобразования треугольника в звезду или наоборот, звезды в треугольник, которые мы приведем без доказательств.
Пример 2: Даны сопротивления Ry =15 Ом, соединённые треугольником, треугольником в соединение звездой.
Решение:
7?1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом,
Преобразовав ь соединение
=—ад—=4
“ Л1+Л2+/?3
R\Ri
-%
R
Следующим шагом будет произведение матриц:
b = Ag Е =
(35)
Теперь можно найти потенциалы узлов, используя следующие соотношения:
(37)
' 26,7 D
2,539
к-5,098,
При известных потенциалах узлов находим напряжения на каждой ветви:
U-
(72
#3
^4 US Wb
- Аг<р + Е -
г-1
0
1
1
0
< 0
0 0 )
<(Р| *
Ф2
<Фз>
+
' к
0
0
Ч ° 2
—
( 23,29 '
-24,902 16,808
24,171
-2,539
ч 7,637 ,
. (38)
с
0
-1
-1
1
-1
-1
0
1 0
-1 ,
И, наконец, находим токи во всех ветвях:
(
2,329
Л
C/2//?2
—
2,075
1
3
Л
—
g-U
—
(/4/Л4
=
1,121
1,209
•
(39)
А
^5/Л5
0,254
<>>
<
0,955
)
В завершении задачи рекомендуется проверить баланс мощностей и убедиться, что расчет сделан правильно. В матричной форме баланс мощностей записывается в следующем виде:
P/7=Tt R 1 = 161,899 Вт. РЯ=1ЧЕ = Е1 = 161,899 Вт.
Проверим наши данные, проделав виртуальную лабораторную работу в Electronics Workbench. Подключив параллельно сопротивлениям вольтметры можно определить напряжения. Разделив показание вольтметров на соответствующие сопротивления можно найти токи в ветвях.
Лекция М> 3
-
Метод эквивалентных преобразовании
Рассмотрим фрагмент электрической цепи, приведённой на рисунке 1.14:
Токи в каждой ветви с ЭДС определяются выражениями:
Л| к2
кк
Результирующий ток будет определяться суммой всех токов в ветвях:
+ /2 +/3 +... + /| + '£jk ^^^kSk + • (40)
k k-0 k-0 k
С другой стороны, мы видим, что ток в эквивалентной ветви определяется выражением:
Хёк it-0 Рассмотрим некоторые частные случаи:
а о
Рис. 1.15. Преобразование параллельных ветвей
Для рисунка 1.15 ветви будут преобразованы по формулам для схем а и б соответственно:
+£о-/?1 /?| • 7?э
= d , d * =
d d
* =E\+J\&\9 Лэ - Л • (43)
В соответствии с методом эквивалентных преобразований легко получить полезные преобразования, приведённые на рисунках 1.16 и 1.17.
-
Преобразование треугольника в звезду и звезды в треугольник
Мы рассматривали преобразование сопротивлений, соединённых последовательно или параллельно. В ряде случаев бывают соединения сопротивлений нс подчиняющиеся ни правилу параллельного соединения, ни последовательного (например, в грехфазных цепях). В таких случаях могут быть полезными правила преобразования треугольника в звезду или наоборот, звезды в треугольник, которые мы приведем без доказательств.
Пример 2: Даны сопротивления Ry =15 Ом, соединённые треугольником, треугольником в соединение звездой.
Решение:
7?1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом,
Преобразовав ь соединение
=—ад—=4
“ Л1+Л2+/?3
R\Ri
Следующим шагом будет произведение матриц:
b = Ag Е =
(35)
Теперь можно найти потенциалы узлов, используя следующие соотношения:
(37)
' 26,7 D
2,539
к-5,098,
При известных потенциалах узлов находим напряжения на каждой ветви:
U-
(72
#3
^4 US Wb
- Аг<р + Е -
г-1
0
1
1
0
< 0
0 0 )
<(Р| *
Ф2
<Фз>
+
' к
0
0
Ч ° 2
—
( 23,29 '
-24,902 16,808
24,171
-2,539
ч 7,637 ,
. (38)
с
0
-1
-1
1
-1
-1
0
1 0
-1 ,
И, наконец, находим токи во всех ветвях:
(
2,329
Л
C/2//?2
—
2,075
1
3
Л
—
g-U
—
(/4/Л4
=
1,121
1,209
•
(39)
А
^5/Л5
0,254
<>>
<
0,955
)
В завершении задачи рекомендуется проверить баланс мощностей и убедиться, что расчет сделан правильно. В матричной форме баланс мощностей записывается в следующем виде:
P/7=Tt R 1 = 161,899 Вт. РЯ=1ЧЕ = Е1 = 161,899 Вт.
Проверим наши данные, проделав виртуальную лабораторную работу в Electronics Workbench. Подключив параллельно сопротивлениям вольтметры можно определить напряжения. Разделив показание вольтметров на соответствующие сопротивления можно найти токи в ветвях.
Лекция М> 3
-
Метод эквивалентных преобразовании
Рассмотрим фрагмент электрической цепи, приведённой на рисунке 1.14:
Токи в каждой ветви с ЭДС определяются выражениями:
Л| к2
кк
Результирующий ток будет определяться суммой всех токов в ветвях:
+ /2 +/3 +... + /| + '£jk ^^^kSk + • (40)
k k-0 k-0 k
С другой стороны, мы видим, что ток в эквивалентной ветви определяется выражением:
Хёк it-0 Рассмотрим некоторые частные случаи:
а о
Рис. 1.15. Преобразование параллельных ветвей
Для рисунка 1.15 ветви будут преобразованы по формулам для схем а и б соответственно:
+£о-/?1 /?| • 7?э
= d , d * =
d d U- | (72 #3 ^4 US Wb | - Аг<р + Е - | г-1 0 1 1 0 < 0 | 0 0 ) | <(Р| * Ф2 <Фз> | + | ' к 0 0 Ч ° 2 | — | ( 23,29 ' -24,902 16,808 24,171 -2,539 ч 7,637 , | . (38) | ||||||||||
с 0 -1 -1 1 | -1 -1 0 1 0 -1 , | |||||||||||||||||||
И, наконец, находим токи во всех ветвях: | | | | | | |||||||||||||||
| | | | | | | | | ( | 2,329 | | | | | ||||||
| | | Л | | | | C/2//?2 | | — | 2,075 | | | | | ||||||
| | 1 | 3 Л | — | g-U | — | (/4/Л4 | = | 1,121 1,209 | | • | | (39) | |||||||
| | | А | | | | ^5/Л5 | | | 0,254 | | | | | ||||||
| | | | | | | | <>> | | < | 0,955 | ) | | | |
-
Метод эквивалентных преобразовании
-
Преобразование треугольника в звезду и звезды в треугольник
, j-
з = — = 3,333 Ом, R-fy = — = 6,666
/?1 + R-> 4- Ry 7?| 4- R-) 4- R
Пример 3: Даны сопротивления у?12 =4,444 Ом,
/?13 =3,333 Ом, /?2з = 6,666Ом. соединённые звездой. Преобразован, соединение звездой в соединение треугольником.
Решение:
7?! -/?|2 + 7?|3 +
R, - Rр + R^ + = 20Ом, /?3 =Л|3 + 7?о3 + - 15Ом.
^13 ^12
-
Метод эквивалентного генератора
В ряде случаев возникает необходимость найти ток в отдельно взятой ветви электрической цепи. В этом случае нет необходимости использовать громоздкие методы расчетов определения токов во всех ветвях. В таких случаях следует использовать метод эквивалентного генератора (МЭГ). МЭГ хорош еще и тем, что позволяет определить сопротивление нагрузки двухполюсника, при котором выделяется максимальная мощность, что очень важно при последовательном включении каскадов, согласованных по мощности. Иногда этот метод называют методом холостого хода и короткого замыкания. Суть метода заключается в том, что в схеме выделяется ветвь, в которой нужно найти ток, а вся оставшаяся часть схемы заменяется активным двухполюсником эквивалентным гснсраторором. Сущесзвуюх две схемы замещения активного двухполюсника (см. рис. 1.20.):
1-я схема двухполюсник состоит из источника напряжения, ЭДС Ег и сопротивления 7?г;
2-я схема двухполюсник состоит из источника тока 7