ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 256
Скачиваний: 0
характеризувати точними значеннями їх координат й імпульсу. Причина цього полягає у тому, що будь-яка мікрочастинка має як корпускулярні, так і хвильові властивості.
Не можна сказати, що в певній точці простору довжина хвилі дорівнює l , якщо про хвильове поле у всіх інших точках простору нічого не відомо. Довжина хвилі є
характеристикою синусоїди, а синусоїда – нескінченна періодична крива. Вираз «довжина хвилі в даній точці простору x дорівнює l » або «частота хвильового процесу в цей момент часу t дорівнює ω » не мають ніякого змісту – величина l не є функцією x , а величина ω – функцією t .
З іншого боку, якщо деяке хвильове утворення займає обмежену область простору, то його завжди можна подати синусоїдами. Тільки однієї синусоїди для цього недостатньо. Необхідний хвильовий пакет – суперпозиція великої кількості синусоїд різних частот, які підсилювалися б у певному інтервалі простору й взаємно гасили б один одного поза цим інтервалом. Якщо довжина хвильового пакета дорівнює Dx (заради простоти ми обмежуємося одним виміром), то хвильові числа k , які необхідні для його утворення, не можуть займати який завгодно вузький інтервал Dk . Мінімальна ширина інтервалу хвильових чисел хвильового пакета Dk , як доводять математики, повинна приблизно задовольняти співвідношення
Dx × Dk ³ 2p . |
(83.1) |
Це – чисто хвильове співвідношення.
Розглянемо тепер хвильовий пакет із хвиль де Бройля, розміри якого й відповідні межі хвильових чисел задовольняють умову (83.1). Відповідно до статистичної інтерпретації ймовірність виявлення частинки буде відмінна від нуля тільки в межах пакета. А чому буде дорівнювати імпульс частинки? Кожній хвилі де Бройля із хвильовим числом k відповідає значення імпульсу px = hk (заради простоти ми розглядаємо випадок руху вздовж осі X ).
Певного імпульсу для всього пакета не існує. Існує набір імпульсів, що заповнюють інтервал px = hk до px + Dpx = h(k + Dk) . Невідомо, який імпульс буде виявлений у хвильовому пакеті при вимірі. У найкращому разі можна з’ясувати тільки його ймовірність. При вимірі імпульс
буде виявлений з тією або іншою ймовірністю між px = hk і px + Dpx = h(k + Dk) . |
Тому, |
||
виражаючи k через px , співвідношення (83.1) можна переписати у вигляді |
|
||
|
Dx ×Dpx ³ 2ph = h |
. |
(83.2) |
Це співвідношення називається співвідношенням або принципом невизначеностей Гейзенберга для координати й імпульсу частинки.
Співвідношення Гейзенберга визначає допустиму принципову межу неточностей Dx і Dpx , з якими стан частинки можна характеризувати класично, тобто координатою x й
імпульсом px . Чим точніше x , тим з меншою точністю можливо характеризувати px , і навпаки. Але співвідношення Гейзенберга жодним чином не можна тлумачити у тому розумінні, що частинка в кожний момент часу має певні значення x й px , але ми їх
принципово не можемо визначити з більшою точністю, чим це дозволяє співвідношення невизначеностей (83.2). Така точка зору зовсім не відповідає природі досліджуваних мікрооб'єктів. Справжній зміст співвідношення (83.2) відображає той факт, що в природі об'єктивно не існує станів частинок з точно визначеними значеннями обох змінних x і px .
Принцип невизначеностей був сформульований Гейзенбергом у 1927 р. і став важливим кроком в інтерпретації закономірностей мікросвіту й побудові квантової механіки.
2 У тривимірному випадку класична частинка характеризується трьома прямокутними координатами x, y, z й пов’язаними з ними імпульсами px , py , pz . У цьому випадку
співвідношення невизначеностей Гейзенберга виражаються трьома нерівностями
|
, |
|
, |
|
. |
|
Dx ×Dpx ³ h |
Dy ×Dpy ³ h |
Dz ×Dpz ³ h |
(83.3) |
|||
169 |
|
|
|
|
||
Ніяких обмежень на добутки типу Dx ×Dpy , Dy ×Dpz співвідношення невизначеностей не накладають. Величини x й py , x і pz одночасно можуть мати й зовсім точні значення.
3 Разом зі співвідношенням (83.1) у хвильовій теорії виводиться також формула
Dt ×Dw ³ 2p . |
(83.4) |
Зміст цього співвідношення полягає в тому, що обмежений у часі хвильовий процес не може бути монохроматичним. Якщо процес триває протягом часу Dt , то розкид частот Dw хвиль, якими цей процес характеризується, у найкращому разі задовольняє співвідношенню (83.4). Тому якщо для спостереження навіть монохроматичного процесу надано малий час Dt , то частота процесу принципово буде знайдена в найкращому разі з помилкою, що підпорядковується співвідношенню (83.4).
Якщо частоті зіставити енергію за формулою E = hw , то вираз (83.4) перейде в
Dt ×DE ³ 2ph = h |
. |
(83.5) |
Формула (83.5) називається співвідношенням невизначеностей Гейзенберга для часу й енергії.
4 Вимірювання у квантовій області принципово відрізняються від класичних вимірів. Звичайно, і ті й інші вимірювання супроводжуються помилками. Однак класична фізика вважала, що шляхом поліпшення методики й техніки вимірів помилки в принципі можуть бути зроблені як завгодно малими. Навпроти, відповідно до квантової фізики існує
принципова межа точності вимірювань. Вона лежить у природі речей і не може бути зменшена ніяким удосконалюванням приладів і методів вимірювань. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга й встановлюють одну з таких меж. Взаємодію між макроскопічним вимірювальним приладом і мікрочастинкою під час вимірювання принципово не можна зробити як завгодно малою. Якщо виміряється, наприклад, координата частинки, то вимірювання неминуче приводить до принципово непереборної неконтрольованої зміни початкового стану частинки, а отже, і до невизначеності в значенні імпульсу при подальшому вимірюванні. Те саме відбувається, якщо порядок вимірювання координати й імпульсу частинки поміняти місцями.
ТЕМА 15 КВАНТУВАННЯ ФІЗИЧНИХ ВЕЛИЧИН
§ 84 Хвильова функція. Фізична сутність ψ-функції. Стандартні умови для
хвильової функції [6]
1 Розглянемо частинку, яка рухається вільно у просторі з сталим імпульсом p уздовж
осі X . Де Бройль припустив, що з такою частинкою пов'язана деяка плоска монохроматична хвиля
x = Acos(wt - kx),
яка поширюється в напрямку тієї самої осі X . Сутність цієї хвилі спочатку залишалась незрозумілою. Замінивши відповідно до гіпотези де Бройля ω й l через E і p , рівняння
хвилі де Бройля для вільної частинки запишемо у вигляді |
|
Y = Aexp[(i / h(px - Et))] . |
(84.1) |
Функцію Y називають хвильовою функцією (або псі-функцією). Вона описує стан частинки. Функція Y , як правило, буває комплексною й у ряді випадків (коли частинка рухається в силовому полі) має не властивий для хвилі неперіодичний характер. Незважаючи на це, її й у цих випадках називають хвильовою.
2 Правильну інтерпретацію хвильової функції дав у 1926 р. Борн. Згідно з Борном
квадрат модуля хвильової функції визначає ймовірність dP того, що частинка буде виявлена в межах об'єму dV :
170
dP = |
|
Ψ |
|
2 dV = Ψ*ΨdV |
. |
(84.2) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Співвідношення визначає фізичну сутність хвильової функції: квадрат модуля хвильової
функції в деякій точці простору є густиною ймовірності знаходження частинки в цій точці простору ( dP / dV = Ψ 2 ).
Виходячи з фізичного змісту квадрата модуля хвильової функції можемо знайти, що інтеграл від виразу (84.2), узятий в усьому просторі, повинен дорівнювати одиниці:
òΨ*ΨdV = 1. |
(84.3) |
Дійсно, цей інтеграл дає ймовірність того, що частинка знаходиться в одній із точок простору, що є подією достовірною. Відомо, що ймовірність достовірної події дорівнює одиниці. Співвідношення (84.3) називають умовою нормування.
3 З інтерпретації Борна (84.2) випливає, що квадрат модуля хвильової функції є густиною імовірності (імовірністю, віднесеною до одиниці об'єму) знаходження частинки у відповідному місці простору. З цього випливають такі властивості хвильової функції. Псі-функція повинна:
1)бути однозначною, неперервною й скінченною (за винятком, може бути, особливих точок);
2)мати однозначну, неперервну та скінченну похідну;
3)інтеграл òΨ*ΨdV , узятий по всьому простору, повинен бути скінченним.
Сукупність перелічених вище вимог називають стандартними умовами для хвильової функції.
§ 85 Загальне й стаціонарне рівняння Шредінгера [6]
1 Розвиваючи ідеї де Бройля про хвильові властивості речовини, Шредінгер отримав у 1926 р. рівняння для визначення хвильової функції. Воно дозволяє знайти хвильові функції частинок, які рухаються в різних силових полях. Рівняння виглядає так:
|
|
h2 |
∂ψ |
|
|
|
|
|
− |
|
ΔΨ +UΨ = ih |
∂t |
. |
(85.1) |
|
2m |
|||||||
Тут m – маса частинки; i – уявна одиниця; U – |
потенціальна енергія частинки; |
– |
|||||
оператор Лапласа, результат дії якого на деяку функцію є сумою других частинних похідних за координатами:
ΔΨ = |
∂2 |
Ψ |
+ |
∂2 |
Ψ |
+ |
∂2 |
Ψ |
. |
(85.2) |
|
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
Рівняння (85.1) називають загальним рівнянням Шредінгера. З рівняння (85.1) випливає, що вигляд хвильової функції визначається потенціальною енергією U , тобто в остаточному підсумку характером сил, що діють на частинку.
Рівняння Шредінгера є основним рівнянням нерелятивістської квантової механіки. Воно не може бути доведене з інших співвідношень. Його варто розглядати як вихідне основне припущення, справедливість якого доводиться тим, що всі наслідки, які випливають із нього, точно узгоджуються з дослідними фактами.
Шредінгер установив своє рівняння, виходячи з оптико-механічної аналогії. Ця аналогія полягає в подібності рівнянь, які описують хід світлових променів, з рівняннями, що визначають траєкторії частинок у класичній механіці.
Пояснимо, як можна прийти до загального рівняння Шредінгера. Для простоти обмежимося одновимірним випадком. Розглянемо частинку, яка вільно рухається.
171