ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 257
Скачиваний: 0
- |
h2 |
exp[- i(E / h)t] Dy +Uy exp[-i(E / h)t] = ih[-i(E / h)]y exp[- i(E / h)t] . |
|
2m |
|||
|
|
Скоротивши на загальний множник exp[- i(E / h)t] , прийдемо до диференціального рівняння, що визначає функцію ψ :
- |
h2 |
Dy +Uy = Ey |
. |
(85.5) |
|
2m |
|||||
|
|
|
|
Рівняння (85.5) називається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів
(стаціонарне рівняння Шредінгера) . Надалі ми будемо мати справу тільки із цим рівнянням і для стислості будемо називати його просто рівнянням Шредінгера. Рівняння (85.5) часто пишуть у вигляді
Dy + |
2m |
(E -U )y = 0. |
(85.6) |
|
|
||||
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
У випадку стаціонарного силового поля хвильова функція має вигляд (85.4). Тоді
Y*Y = exp[i(E / h)t]y* ×exp[-i(E / h)t]y = y*y .
Таким чином, густина імовірності дорівнює y*y й, отже, від часу не залежить. Саме тому
стани, які описуються хвильовими функціями вигляду (85.4), називають стаціонарними.
3 У класичній механіці стан частинки (матеріальної точки) визначається завданням положення і швидкості (або імпульсу) частинки. Якщо є відомим стан у початковий момент часу й силове поле, у якому знаходиться частинка, то, розв’язавши рівняння Ньютона, можна знайти положення й швидкість частинки у будь-який наступний момент часу. У цьому полягає сутність причинності в класичній механіці.
Уквантовій механіці класичне поняття стану позбавлене змісту, тому що координата
йшвидкість частинки принципово не можуть мати одночасно певних значень. Тому класичне поняття причинності також не можна застосовувати у квантовій теорії. Стан частинки задається у квантовій механіці хвильовою функцією. Якщо відомі хвильова функція в початковий момент часу й силове поле, у якому рухається частинка, то, розв’язавши рівняння Шредінгера, можна знайти хвильову функцію в наступні моменти часу. У цьому полягає сутність причинності у квантовій механіці. Таким чином, квантова механіка не скасувала принцип причинності. Вона лише надала йому форму, яка відповідає дійсній природі речей.
§ 86 Рівняння Шредінгера та квантування енергії [6]
1 Квантування енергії виникає тому, що на хвильові функції ψ , які є розв’язками рівняння Шредінгера
- |
h2 |
Dy +Uy = Ey , |
(86.1) |
|
2m |
||||
|
|
|
накладаються певні обмеження – стандартні умови для хвильової функції. При цих обмеженнях рівняння (86.1) має розв’язки, у загальному випадку, не при всіх, а тільки при вибраних значеннях параметра E ( E визначає енергію частинки). Тут маємо випадок,
аналогічний до того, що має місце в задачі про вільні коливання струни із закріпленими кінцями. Через закріпленість кінців ці коливання є стоячими хвилями з такими вибраними частотами, що на довжині струни вкладається ціле число напівхвиль.
Стандартні умови для хвильової функції, що накладаються на розв’язки рівняння Шредінгера, полягають у тому, що хвильова функція y(x, y, z) і її перші просторові похідні повинні бути скінченними, однозначними й неперервними, інтеграл від y(x, y, z) по усьому
173
простору повинен бути скінченним. Вибрані значення параметра E , для яких рівняння Шредінгера має розв’язки, що задовольняють стандартні умови, називаються власними значеннями величини E для диференціального рівняння (86.1), а відповідні їм розв’язки – власними функціями того самого рівняння. Власні значення E і беруть за можливі значення енергії у стаціонарних станах. Власні значення енергії E можуть бути
дискретними, а можуть неперервно заповнювати скінченний або нескінченний інтервал. У першому випадку говорять, що енергетичний спектр дискретний, а в другому – неперервний.
Таким чином, квантування енергії випливає з основних положень квантової механіки без будь-яких додаткових припущень.
§ 87 Частинка в одновимірній потенціальній ямі. Енергія і хвильова функція частинки в потенціальній ямі [6]
1 У нерелятивістській квантовій механіці основним принципом є рівняння Шредінгера. Пошук розв’язків цього рівняння, які задовольняють стандартні умови, приводить до дискретності енергетичних рівнів. Продемонструємо це на прикладі задачі про частинку, яка знаходиться в одновимірній нескінченно глибокій потенціальній ямі.
Знайдемо власні значення енергії й відповідні їм власні функції для частинки, що знаходиться в нескінченно глибокій одновимірній потенціальній ямі. Припустимо, що частинка може рухатися тільки уздовж осі X . Нехай рух обмежений непроникними для частинки стінками з такими координатами: x = 0 і x = l . Потенціальна енергія U має в цьому випадку такий вигляд (рис. 87.1а): вона дорівнює нулю при 0 ≤ x ≤ l й перетворюється у нескінченність при x < 0 й x > l . Для розв’язання задачі використаємо стаціонарне рівняння Шредінгера
|
|
ψ + |
2m |
(E −U )ψ = 0. |
|
(87.1) |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 4 |
|
E4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U = ∞ |
|
|
|
U = ∞ |
|
|
n = 3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
E3 |
|||||
|
|
|
|
|
n = 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
l |
|
|
x |
|
|
|
01 |
|||
|
|
a |
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
Рисунок 87.1: а – нескінченно глибока потенціальна яма; б – схема рівнів енергії частинки, що знаходиться в такій ямі
2 Оскільки хвильова функція залежить тільки від координати x , то рівняння (87.1) спрощується:
∂2ψ |
+ 2m (E −U )ψ = 0 . |
(87.2) |
∂x2 |
h2 |
|
За межі потенціальної ями частинка потрапити не може (там потенціальна енергія дорівнює нескінченності U = ∞ ). Тому ймовірність виявлення частинки за межами ями дорівнює нулю. Відповідно й функція ψ за межами ями дорівнює нулю. З умови
неперервності випливає, що ψ повинна дорівнювати нулю й на межах ями, тобто |
|
ψ(0)= ψ(l)= 0. |
(87.3) |
174
Це і є одна із стандартних умов, яку повинен задовольняти розв’язок рівняння (87.2). В області, де ψ не дорівнює тотожно нулю, рівняння (87.2) має вигляд
¶2y |
+ |
2m |
Ey = 0 |
(87.4) |
|
¶x2 |
h2 |
||||
|
|
|
|||
(у цій області U = 0 ). Увівши позначення |
|
|
|
|
|
k2 = 2m E , |
(87.5) |
||||
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
прийдемо до рівняння |
|
|
|
|
|
y¢¢ + k 2y = 0 , |
|
||||
яке в теорії коливань називають диференціальним рівнянням |
гармонічних коливань. |
||||
Розв’язок такого рівняння має вигляд |
|
|
|
|
|
y(x)= Asin(kx + a) |
(87.6) |
||||
(у цьому випадку зручніше взяти синус замість косинуса). Умови (87.3) можна задовольнити
відповідним вибором сталих k |
і α . Насамперед з умови y(0)= 0 отримуємо |
|
|
y(0)= Asin a = 0 , |
|
звідки випливає, що α повинна дорівнювати нулю. Також повинна виконуватися умова |
||
|
y(l)= Asin(kl)= 0 , |
|
що можливо лише у випадку, коли |
|
|
|
kl = ±np (n =1, 2, 3, ...) |
(87.7) |
( n = 0 не беремо до уваги, |
оскільки при цьому виходить, що ψ = 0 |
– частинка у |
потенціальній ямі відсутня).
Виключивши k з рівнянь (87.5) і (87.7), знайдемо власні значення енергії частинки:
E = En = |
p2h2 |
n2 |
(n =1, 2, 3, ...) |
. |
(87.8) |
|
2ml2 |
||||||
|
|
|
|
|
Спектр енергії виявився дискретним. На рис. 87.1б зображена схема енергетичних рівнів. Відповідно до формули (87.8) мінімальна енергія, яку може мати частинка, що
знаходиться в потенціальній ямі, відмінна від нуля. Цей результат обумовлений хвильовими властивостями частинки й може бути отриманий зі співвідношення невизначеностей.
3 Далі знайдемо власну хвильову функцію рівняння Шредінгера. Підставивши в (87.6) значення k , яке отримали з умови (87.7), знайдемо власні хвильові функції:
|
|
|
|
|
|
y = yn (x)= Asin |
npx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(нагадаємо, що α = 0 ). Для знаходження коефіцієнта |
A використаємо умову нормування, |
|||||||||||||||||||
яку у цьому випадку запишемо так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
l |
npx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 òsin2 |
dx =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нескладно отримати, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l |
|
2 npx |
|
l |
1- cos(2npx / l) |
æ x |
|
sin(2npx / l)ö |
|
l |
|
l |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ò |
|
|
|
|
ò |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
l |
dx = |
|
2 |
dx = ç |
2 |
|
- |
2 |
×(2np/ l) |
÷ |
|
|
= |
2 |
. |
||
0 |
|
|
|
0 |
|
è |
|
|
ø |
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
175
Звідси A2 ×l / 2 =1, або A = |
2 / l . Таким чином, власні функції частинки в потенціальній |
||||
ямі мають вигляд |
|
|
|
|
|
|
yn (x)= |
2 sin |
npx |
(n =1, 2, 3, ...). |
(87.9) |
|
|
l |
l |
|
|
ψ |
n = 4 |
|
y y |
|
n = 4 |
|
|
|
|||
|
n = 3 |
|
|
|
n = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
n = 2 |
|
|
|
n = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
n =1 |
|
|
|
|
0 |
|
l x |
|
0 |
l x |
a |
|
|
|
б |
|
Рисунок 87.2: а – графіки власні функції частинки, що знаходиться в потенціальній ямі, яка зображена на рис. 87.1а; б – густина ймовірності знаходження частинки в точках з різними значеннями координати x
Графіки власних функцій зображені на рис. 87.2а. На рис. 87.2б подана густина ймовірності виявлення частинки на різних відстанях від стінок ями, що дорівнює y*y . Із
графіків, наприклад, випливає, що в стані із n = 2 частинка не може бути виявлена всередині ями й разом з цим однаково часто буває як у лівій, так і в правій половині ями. Така поведінка частинки є несумісною з класичними уявленнями про траєкторії. Відзначимо, що відповідно до класичних уявлень усі положення частинки в ямі мають однакову ймовірність.
§ 88 Тунельний ефект. Коефіцієнт проходження [3] 1 Нехай частинка, яка рухається зліва направо, зустрічає на своєму шляху
потенціальний бар'єр висотою U0 й шириною l |
(рис. 88.1). За класичними уявленнями |
|||||||||
частинка повинна вести себе так. Якщо енергія частинки більша за висоту бар'єра ( E >U0 ), |
||||||||||
частинка безперешкодно проходить над бар'єром (на ділянці |
0 ≤ x ≤ l |
лише зменшується |
||||||||
швидкість частинки, але потім при x > l знову набуде початкового значення). Якщо ж |
E |
|||||||||
менше U0 (як зображено |
на рисунку), то частинка відбивається від бар'єра й летить |
у |
||||||||
зворотній бік; крізь бар'єр частинка проникнути не може. |
|
|
|
|
|
|
||||
Зовсім інакше виглядає поведінка частинки з точки зору |
|
U (x) |
|
|
||||||
до квантової механіки. По-перше, навіть при E >U0 |
є відмінна |
|
|
|
||||||
|
U0 |
|
|
|
||||||
від нуля ймовірність того, що частинка відіб'ється від бар'єра й |
|
|
|
|
||||||
|
E |
|
|
|
|
|||||
полетить у зворотній бік. По-друге, при E <U0 |
є відмінна від |
|
|
|
|
|
||||
|
I |
|
II |
III |
|
|||||
нуля ймовірність того, що частинка проникне «крізь» бар'єр і |
|
|
|
|||||||
опиниться в області, де |
x > l . Така поведінка |
є цілком |
|
|
|
|
|
x |
||
неможливою з класичної точки зору. Ця |
поведінка |
|
|
0 |
l |
|||||
мікрочастинки |
випливає |
безпосередньо |
з |
рівняння |
Рисунок 88.1 |
|
|
|||
Шредінгера. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Розглянемо випадок E <U0 . Рівняння Шредінгера має вигляд
176