ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 258
Скачиваний: 0
|
βA eβl |
−βB |
e−βl = iaA eiαl . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
Розділимо всі рівняння на A1 й введемо позначення: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
b = |
B1 |
, a |
2 |
= |
|
A2 |
, b = |
B2 |
|
, a |
3 |
= |
A3 |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
A1 |
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
2 |
|
|
A1 |
|
|
A1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а також |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n = |
= |
|
|
|
U0 − E |
. |
|
|
|
(88.8) |
|||||||||||||
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
||||||||||
Тоді рівняння (88.7) наберуть вигляду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1+ b1 = a2 + b2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
a |
eβl |
+ b e−βl |
|
= a eiαl , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
(88.9) |
||||||
|
i − ib1 = na2 − nb2 , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
na |
eβl − nb e−βl = ia |
eiαl . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
Відношення квадратів модулів амплітуд відбитої й падаючої хвилі |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
R = |
|
1 |
|
|
|
= |
b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
визначає ймовірність відбиття частинки від потенціального бар'єра й називається
коефіцієнтом відбиття.
Відношення квадратів модулів амплітуд хвилі, що пройшла, й падаючої хвилі
|
|
A |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D = |
|
3 |
|
|
|
|
= |
a3 |
|
(88.10) |
|
A |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
визначає ймовірність проходження частинки через бар'єр і називається коефіцієнтом проходження (або коефіцієнтом прозорості).
Нас буде цікавити тільки проходження частинок через бар'єр, і ми обмежимося знаходженням величини D . Слід зазначити, знайшовши D , легко знайти R , оскільки ці коефіцієнти пов'язані очевидним співвідношенням R + D =1.
Помножимо перше з рівнянь (88.9) на i й складемо з третім. У результаті отримаємо
2i = (n + i)a2 − (n − i)b2 . |
(88.11) |
Тепер помножимо друге з рівнянь (88.9) на i й віднімемо його від четвертого. Отримаємо:
(n − i)eβl a |
2 |
− (n + i)e−βlb = 0 . |
(88.12) |
|
2 |
|
Вирішивши спільно рівняння (88.11) і (88.12), знайдемо, що
a2 = |
2i(n + i)e−βl |
, |
|
(n + i)2 e−βl − (n − i)2 eβl |
|||
|
|
||
b2 = |
2i(n − i)eβl |
. |
|
(n + i)2 e−βl − (n − i)2 eβl |
|||
|
|
Нарешті, підставивши знайдені нами значення a2 й b2 у друге з рівнянь (88.9), отримаємо вираз для a3 :
a = |
4ni |
e−iαl . |
|
||
3 |
(n + i)2 e−βl − (n − i)2 eβl |
|
|
|
Величина
178
bl = 2m(U0 - E) l , h
як правило, є набагато більшою за одиницю. Тому в знаменнику виразу для a3 доданком, який містить множник e−βl , можна знехтувати у порівнянні з доданком, який містить
множник eβl (комплексні числа n + i й n − i мають однаковий модуль). Отже, можна припустити
a » - 4nie−iαl e−βl .
3 (n -i)2
Згідно з (88.10) квадрат модуля цієї величини дає ймовірність проходження частинки через потенціальний бар'єр. Урахувавши, що | n -i |= n2 +1 , отримаємо
D = |
|
a |
|
2 |
» |
16n2 |
|
e−2βl , |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
(n2 +1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
де
n2 = U0 - E = U0 -1 E E
(див. формулу (88.8)).
Вираз 16n2 /(n2 +1)2 має величину порядку одиниці. Тому можна вважати, що
|
|
|
|
|
é |
2×l |
|
|
ù |
. |
|
|
(88.13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
D » e−2βl = expê- |
h |
2m(U0 - E)ú |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ë |
|
û |
|
|
|
|
||
З отриманого нами виразу випливає, що ймовірність |
|
U(x) |
|
|
|
||||||||
проходження частинки через потенціальний бар'єр істотно |
|
|
|
|
|||||||||
залежить від ширини бар'єра l |
й від величини U0 - E . |
|
E |
|
|
|
|||||||
Якщо при якійсь ширині бар'єра коефіцієнт проходження |
|
|
|
|
|||||||||
D дорівнює, припустимо, 0,01, то при збільшенні ширини |
|
|
|
|
|
|
|||||||
у |
два |
рази |
D |
буде |
дорівнювати |
|
|
|
|
|
|
||
0,012 = 0,0001, тобто зменшується в 100 разів. Той самий |
|
|
|
a |
b |
x |
|||||||
ефект у цьому випадку викликало б зростання в чотири |
0 |
||||||||||||
рази |
величини |
U0 - E . |
Коефіцієнт проходження різко |
Рисунок 88.2 |
|
|
|||||||
зменшується при збільшенні маси частинки m .
3 Подібний розрахунок можна виконати у випадку потенціального бар'єра довільної форми (рис. 88.2). У цьому разі формула (88.13) повинна бути замінена більше загальною:
é |
2 b |
|
ù |
|
|
|
|
|
|
||||
D » expê- |
|
ò |
2m(U - E)dxú |
, |
(88.14) |
|
|
||||||
ë |
h a |
û |
|
|
||
де U = U (x) .
При подоланні потенціального бар'єра частинка ніби проходить через «тунель» у цьому бар'єрі (див. заштриховану область на рис. 88.2). У зв'язку з цим розглянуте нами явище називають тунельним ефектом.
§ 89 Оператори фізичних величин. Власні функції та власні значення. Принцип суперпозиції [6]
Операторний метод широко використовується у більшості досліджень з квантової механіки. Розглянемо сутність цього методу.
179
1 Оператори. У квантовій механіці кожній фізичній величині ставиться у відповідність оператор. Під оператором мається на увазі правило, за допомогою якого одній функції (позначимо її через ϕ ) зіставляється інша функція (позначимо її через f ).
Символічно це записується так:
ˆ |
(89.1) |
f = Qϕ . |
ˆ
Тут Q – позначення оператора. Для того щоб відрізнити оператори від чисел, їх позначають
ˆ
через Q , тобто ставлять кришечку над Q або використовують інше позначення.
Таким чином, під символом оператора розуміють сукупність дій, за допомогою яких вихідна функція ( ϕ ) перетворюється в іншу функцію ( f ).
Наприклад, символ оператора Лапласа |
|
|
|
ˆ |
позначає дворазове частинне |
|||||||||||
|
|
= Q1 |
||||||||||||||
диференціювання за усіма трьома координатами x , |
|
y і z |
з подальшим підсумовуванням |
|||||||||||||
отриманих виразів. Тобто оператор Лапласа можна подати у вигляді |
|
|||||||||||||||
|
ˆ |
|
∂2 |
|
|
∂2 |
|
|
∂2 |
|
|
|
||||
= Q1 = |
|
∂x2 |
+ |
∂y2 |
+ |
∂z2 |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
За допомогою оператора можемо подати множення вихідної функції |
ϕ на деяку |
|||||||||||||||
функцію U . Тоді наступне перетворення |
|
f =U ×j |
можна записати у вигляді |
ˆ |
||||||||||||
|
f = Q2ϕ , де |
|||||||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Q2 = U . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Використовуючи операторний підхід, рівняння Шредінгера |
|
|||||||||||||||
− |
h2 |
|
|
ψ +Uψ = Eψ |
|
|
(89.2) |
|||||||||
2m |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
можна записати в операторному вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(89.3) |
||
|
|
Hψ = Eψ |
|
|
|
|
|
|||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
У цьому рівнянні символом H позначений оператор, який дорівнює |
|
|||||||||||||||
|
ˆ |
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
H = − |
2m |
|
+U . |
|
|
|
(89.4) |
||||||||
Цей оператор називають гамільтоніаном, або оператором Гамільтона. Гамільтоніан є оператором енергії E .
2 Сутність операторного методу. У квантовій механіці кожній фізичній величині ставиться у відповідність оператор. Розглядаються оператори координат, імпульсу, моменту
імпульсу і т.д. Для кожної фізичної величини q складається рівняння, |
аналогічне до |
||
рівняння Шредінгера в операторному вигляді (89.3). Воно має вигляд |
|
||
|
|
|
|
|
ˆ |
, |
(89.5) |
|
Qψ = qψ |
||
ˆ
де Q – оператор, який ставиться у відповідність фізичній величині q .
Значення q , при яких розв’язок рівняння (89.4) задовольняє стандартні умови для хвильової функції, називаються власними значеннями величини q , а самі розв’язки – її власними функціями. Власні значення величини q і беруться за можливі значення цієї
величини, які спостерігаються в експерименті.
Розглядаючи з цих позицій рівняння Шредінгера (89.3), можемо стверджувати, що воно є рівнянням для власних значень енергії ( q = E ). Оператор енергії визначається
ˆ = ˆ співвідношенням (89.4) (Q H ).
180
3 Принцип суперпозиції. Спектр власних значень може бути як дискретним, так і суцільним. У випадку дискретного спектра власні значення й власні функції можна пронумерувати:
q1, q2 , ..., qn , ..., |
(89.6) |
|
ψ1, ψ2 , ..., ψn , ... |
||
|
||
За умови дискретного спектра власних значень фізичної величини спостерігаємо дві |
||
ситуації. Можливі стани, для яких при вимірюванні деякої величини q завжди отримуємо |
||
однакові значення qn . Про такі стани говорять як про стани, у яких величина q має певне |
||
значення. Цей стан описується функцією ψn . Однак можливі також стани, |
для яких при |
||
|
|
|
ˆ |
вимірюваннях отримуємо з різною ймовірністю різні власні значення оператора Q . Про такі |
|||
стани говорять як про стани, у яких величина q не має певного значення. |
|
||
Хвильова функція стану, у якому q не має певного значення, є |
суперпозицією |
||
(накладенням) власних функцій величини q : |
|
||
|
|
|
|
|
ψ = åcnψn |
, |
(89.7) |
|
n |
|
|
де cn , у загальному випадку, є комплексними числами, які не залежать від координат. Кількість доданків у сумі дорівнює числу різних власних функцій величини q .
Формула (89.7) виражає принцип суперпозиції хвильових функцій: коли хвильові функції ψ1, ψ2 , ..., ψn , ... описують деякі стани, то і функція ψ = c1ψ1 + c2ψ2 + ...+ cnψn +...
подає деяку хвильову функцію, що описує деякий стан системи. Обґрунтуванням принципу суперпозиції є узгодженість з дослідом наслідків, які випливають з нього. Так, за допомогою принципу суперпозиції квантова механіка пояснює дифракцію та інтерференцію частинок.
Квадрати модулів коефіцієнтів cn дорівнюють імовірності того, що при вимірах, які виконуються над системою, що перебуває у стані ψ , будуть отримані відповідні значення величини q . Оскільки сума всіх таких ймовірностей повинна дорівнювати одиниці, коефіцієнти cn задовольняють умову
å cn 2 =1.
n
§ 90 Середні значення фізичних величин з точки зору операторного підходу. Оператори радіуса-вектора, імпульсу, енергії. Зв'язок між власними й середніми значеннями [11]
1 Як визначають середнє значення фізичної величини в квантовій механіці,
використовуючи операторний підхід? Для відповіді на це питання розглянемо приклад. Припустимо, що багаторазово проводиться вимір координати x частинки, причому частинка кожного разу перебуває в однакових макроскопічних умовах. Тоді стан частинки в цих дослідах можна характеризувати хвильовою функцією ψ(x) , яку для спрощення будемо
вважати функцією тільки однієї просторової координати x . Середнє значення координати, яке буде знайдено в результаті вимірів, можна записати у вигляді
x = ò xdP = ò xψ*ψdx = òψ*xψdx . |
(90.1) |
Тут використано, що dP = ψ 2 dV = ψ*ψdx є, виходячи з фізичного змісту квадрата модуля хвильової функції, ймовірністю того, що частинка буде знайдена в інтервалі x, x + dx .
181