Файл: Lysenko_physics_lek_2.pdf

Використовуючи операторний підхід, вираз для середнього значення x записують

де xˆ оператор величини x . Порівнюючи вирази (90.1) і (90.2), бачимо, що оператор x -й

координати має вигляд

Вищевикладений метод знаходження середніх значень поширюють у квантовій механіці на будь-яку фізичну величину (яка залежить не тільки від координат, а й від імпульсів). Для будь-якої фізичної величини F(r, p) середнє значення визначається як

ˆ

де F – оператор величини F(r, p) , який має вигляд

2 Знайдемо в явному вигляді оператор імпульсу.

Як відомо, енергія частинки дорівнює сумі кінетичної та потенціальної енергії і визначається функцією

Використовуючи правило (90.10), енергії (90.11) можна поставити у відповідність оператор

Порівняємо оператор (90.12) з оператором Гамільтона (оператор енергії, який визначили з рівняння Шредінгера)

182

Зрозуміло, що оператор енергії визначається співвідношенням (90.13).

3 З’ясуємо, як пов’язані між собою середні значення, що визначаються способом (90.9) та власні значення фізичних величин.

Для спрощення математичних перетворень розглянемо випадок стану системи, у яких величина q має певне значення. Це означає, що цей стан описується хвильовою функцією

y = yn , яка відповідає власному значенню qn . Хвильова функція yn і власне значення qn задовольняють рівнянню

ˆ

де Q – оператор величини q . Середнє значення величини q в цьому випадку відповідає власному значенню, тобто q = qn .

З іншого боку, середнє значення можемо також визначити у спосіб (90.9). Тому

Таким чином, середні значення, що визначаються способом (90.9) та за допомогою власних значень, мають одне і те саме значення.

§ 91 Комутативність операторів. Умови, за яких дві фізичні величини можуть бути виміряні одночасно [11]

завжди існує стан ψ , у якому обидва оператори мають визначені власні значення a та b ?

ˆ

Тобто, чи завжди хвильова функція ψ є власною функцією одночасно як для оператора A ,

ˆ

так і для оператора B ? Іншими словами, чи можливо обидві фізичні величини a та b точно виміряти одночасно?

ˆ

Для відповіді на це питання припустимо, що ψ є власною функцією як оператора A ,

ABy = Aby = bAy = b ×a ×y .

Звідси випливає, що

183

Можна виділити чотири величини, які пов'язані з моментом імпульсу частинки. Це три проекції і квадрат моменту імпульсу: Lx , Ly , Lz і L2 = L2x + L2y + L2z . Виникає питання: чи

можна одночасно виміряти усі вищеперелічені чотири величини? Щоб відповісти на це питання, потрібно перевірити: чи комутують один з одним оператори цих фізичних величин? А саме, чи комутують оператори проекцій

і оператор квадрата моменту імпульсу

між собою? Нескладно провести розрахунки й переконатися, що комутують між собою тільки дві величини: оператор z -компоненти моменту імпульсу частинки й оператор квадрата моменту імпульсу. Це означає, що одночасно можливо визначити лише z -компоненту моменту імпульсу частинки й оператор квадрата моменту імпульсу. Дві інші проекції виявляються при цьому абсолютно невизначеними. Це означає, що «вектор» моменту не має певного напрямку й, отже, не може бути зображений, як у класичній механіці, за допомогою спрямованого відрізка прямої.

2 Знайдемо квадрат модуля моменту імпульсу. Для цього потрібно розв’язати рівняння на визначення власних значень квадрата моменту імпульсу

значення квадрата моменту імпульсу частинки. Розв’язання цього рівняння є досить складним. Тому ми обмежимося наведенням лише кінцевих результатів: власні значення оператора квадрата моменту імпульсу дорівнюють

Тут l – квантове число, яке отримало назву азимутального. Отже, модуль моменту імпульсу може мати лише дискретні значення, які описуються формулою

3 Знайдемо z -компоненту моменту імпульсу. Для цього потрібно розв’язати рівняння на визначення власних значень z -компоненти моменту імпульсу

ˆ

де Lz – оператор z -компоненти моменту імпульсу частинки; Lz – власне значення цієї величини. У сферичних координатах ( r,θ,ϕ ) оператор проекції моменту імпульсу на полярну вісь Z (від якої відлічується полярний кут θ ) має достатньо простий вигляд

Підстановка y = exp(aj) у рівняння (92.8) приводить після скорочення на загальний множник exp(aj) до алгебраїчного рівняння

-iha = Lz ,

зякого для α отримуємо значення iLz / h . Таким чином, розв’язок рівняння (92.8) має вигляд

185

y = C exp[i(Lz / h)j] .

Для того щоб ця функція була однозначною (одна з стандартних умов для хвильової функції), необхідно виконати умову y(j + 2p)= y(j), або

exp[i(Lz / h)(j + 2p)]= exp[i(Lz / h)(j)] .

Ця умова буде виконаною, коли буде виконуватись співвідношення exp[i(Lz / h)×2p] =1, або

Із причин, які з'ясуються далі, число m називається магнітним квантовим числом. Оскільки проекція вектора не може перевищувати модуль цього вектора, то повинна

виконуватися умова

mh £ hl(l +1) .

Звідси випливає, що максимальне можливе значення m дорівнює l . Таким чином, можемо записати

L = hl(l +1) (l = 0, 1, 2, ...),

(92.10)

Із цих формул випливає, що Lz завжди менше L . Отже, напрям моменту імпульсу не може

збігатися з виділеним у просторі напрямом Z . Це узгоджується з тією обставиною, що напрям моменту в просторі є невизначеним.

Слід відзначити, що з правил квантування моменту випливає, що сталу Планка h можна розглядати як природну одиницю моменту імпульсу.

4 Момент імпульсу системи, що складається з декількох мікрочастинок, дорівнює сумі моментів окремих часток. Сумарний момент, як і будь-який момент взагалі,

ТЕМА 16 ФІЗИКА АТОМІВ І МОЛЕКУЛ

§ 93 Атом водню з погляду квантової механіки. Квантові числа: n, l, ml. Кратність виродження. Правило відбору [6]

1 Розглянемо систему, яка складається з нерухомого ядра із зарядом Ze ( Z – ціле число), і електрона, який рухається навколо нього. При Z > 1 така система називається воднеподібним іоном; при Z = 1 вона є атомом водню.

Потенціальна енергія електрона дорівнює

186