Файл: Lysenko_physics_lek_2.pdf

скористатися сферичною системою координат: r,θ,ϕ . Підставивши в (93.1) вираз оператора Лапласа в сферичних координатах, прийдемо до рівняння

задовольняють стандартні умови (тобто однозначні, скінченні й безперервні), у таких випадках: 1) при будь-яких додатних енергіях E ; 2) при дискретних від’ємних значеннях енергії, що дорівнюють

Порівняння з виразом для енергії, яке отримано в теорії Бора, показує, що квантова механіка приводить до таких самих значень енергії водневого атома. Однак у квантовій механіці ці значення утворюються як наслідок основних положень цієї науки. Бору ж для отримання такого результату довелося вводити спеціальні додаткові припущення.

енергії (див. формулу (93.3)). Параметри l і m є азимутальним й магнітним квантовим числом, які визначають за відповідними формулами модуль моменту імпульсу й проекцію моменту на деякий напрям Z .

Розв'язки для хвильової функції, які задовольняють стандартні умови, мають місце лише для значень l , які не перевищують n −1. Отже, при заданому n квантове число l

може набувати n різних значень:

l = 0,1, 2,...,n −1.

При заданому l квантове число m може набувати 2l +1 різних значень: m = −l, − l +1,...,−1,0, +1,...,l −1,l .

2 Згідно з (93.3) енергія електрона залежить тільки від головного квантового числа n . Отже, кожному власному значенню енергії En (крім E1 ) відповідає кілька власних функцій

y , які відрізняються значеннями квантових чисел l і m . Це означає, що атом водню

може мати одне і те саме значення енергії, перебуваючи в декількох різних станах. У табл. 1 наведені стани, що відповідають першим трьом енергетичним рівням.

Стани з однаковою енергією називаються виродженими, а число різних станів з яким-небудь значенням енергії називається кратністю виродження відповідного енергетичного рівня.

187

Кратність виродження рівнів водню легко обчислити, виходячи з можливих значень

l=0

(див. також пункт 5 цього параграфа). Для обчислення суми в (93.5) використали формулу арифметичної прогресії.

Таблиця 93.1

Таким чином, кратність виродження енергетичних рівнів водневого атома дорівнює

n2 (див. також табл. 1, п.5 цього параграфа).

3 Стани з різними значеннями азимутального квантового числа l відрізняються величиною моменту імпульсу. В атомній фізиці застосовуються запозичені зі спектроскопії умовні позначення станів електрона з різними значеннями моменту імпульсу. Електрон, що перебуває у стані з l = 0 , називають s -електроном (відповідний стан – s -станом), з l = 1 – p -електроном, з l = 2 – d -електроном, з l = 3 – f -електроном, потім ідуть g, h і т.д.

вже за алфавітом. Значення головного квантового числа записують перед умовною позначкою квантового числа l . Таким чином, електрон у стані з n = 3 і l = 1 позначається символом 3p і т.д.

Оскільки l завжди менше n , можливі такі стани електрона: 1s,

2s, 2 p,

3s, 3p, 3d, 4s, 4 p, 4d, 4 f

Схема рівнів енергії зображена на рис. 93.1. На цій схемі відображено (правда, частково) виродження рівнів, крім того, вона має ще ряд істотних переваг, які скоро стануть очевидними.

4 Ми знаємо, що випромінювання й поглинання світла відбувається при переходах електрона з одного рівня на інший. У квантовій механіці доводять, що для азимутального квантового числа l є правило відбору

Стан 1s є основним станом атома водню. У цьому стані атом має мінімальну енергію. Щоб перевести атом з основного стану в збуджене (тобто в стан з більшою енергією), йому необхідно передати енергію. Це може бути здійснене за рахунок теплового зіткнення атомів (із цієї причини нагріті тіла світяться – атоми випромінюють, повертаючись зі збудженого в основний стан), або за рахунок зіткнення атома з досить швидким електроном, або, нарешті, за рахунок поглинання атомом фотона.

Фотон при поглинанні його атомом зникає, передаючи атому всю свою енергію. Атом не може поглинути тільки частину фотона, тому що фотон, як і електрон, як й інші елементарні частинки, є неподільним. Оскільки атом, який поглинає, як правило, знаходиться в основному стані, спектр поглинання водневого атома повинен складатися з ліній, що відповідають переходам

1s → np (n = 2,3,...).

Цей результат повністю узгоджується з дослідом.

5 Слід зазначити, що в даному параграфі не було враховано, що електрон також має власний момент імпульсу (спін електрона). Спін електрона характеризується квантовим числом s = 1/ 2 (аналог орбітального квантового числа l ). При цьому власний момент

моменту імпульсу дорівнює Ls z = msh , де спінове квантове число ms (аналог магнітного

квантового числа m ) може набувати двох значень: + s = 1/ 2 і − s = −1/ 2. Щоб урахувати спінове виродження, необхідно формулу (93.5) помножити на 2. Тобто виродження в атомі

водню дорівнює 2n2 .

§ 94 Магнетизм атомів. Дослід Штерна й Герлаха. Спін електрона [11]

1 Магнетизм атомів. Із часу Ампера магнетизм пояснювався електричними струмами, які, за його уявленнями, циркулюють усередині малих частинок речовини (атомів і молекул). Природа цих струмів була встановлена з появою електронних уявлень про будову речовини і теорії Бора. Вважалося, що молекулярні струми Ампера створюються електронами, які обертаються навколо ядра атома.

Оскільки електрони, які утворюють оболонку атома, електрично заряджені й мають маси, з їх рухом в оболонці (такий рух називають орбітальним) пов'язаний не тільки момент

= [r ´ r] r = ×

імпульсу L r p , але й магнітний момент атома pm I S . Зв'язок між цими двома

моментами вже розглядався раніше. Для одного електрона, який рухається по круговій орбіті, використовуючи методи класичної фізики, було отримано

називається гіромагнітним відношенням для орбітального руху електрона.

Такий самий зв'язок між магнітним моментом і моментом імпульсу зберігається й у квантовій механіці. Однак тепер необхідно класичні уявлення замінити квантовими. Як і у випадку моменту імпульсу квантова механіка розв’язує задачу про магнітний момент атома з використанням операторного методу. Таким чином, вивчення магнітного моменту частинки

rˆ

зводиться до вивчення властивостей оператора pm , який відповідно до (94.1) має вигляд

190