ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 177
Скачиваний: 0
L |
zi |
= ωR2 |
m . |
(24.3) |
|
|
|
i |
i |
|
|
Проекція повного моменту імпульсу тіла Lz |
дорівнює сумі проекцій Lzi : |
|
|||
Lz = åLzi = åωRi2 |
mi = ωåRi2 mi . |
(24.4) |
|||
Отриманий вираз не залежить від розміщення на осі обертання точки O , відносно якої
визначається момент імпульсу тіла L .
Величина
I = åRi2 mi |
, |
(24.5) |
що дорівнює сумі добутків елементарних мас на квадрат їх відстаней до осі обертання,
називається моментом інерції тіла відносно цієї осі.
Скориставшись поняттям моменту інерції, подамо вираз (24.4) для моменту імпульсу відносно осі Z у вигляді
|
|
|
Lz = Iω |
, |
(24.6) |
де I – момент інерції твердого тіла відносно осі обертання Z .
Як відомо, для системи матеріальних точок є справедливим рівняння моментів
відносно осі обертання |
|
dLz / dt = åM зовн,z . |
(24.7) |
Підставивши в це рівняння (24.6) і прийнявши до уваги, що |
I = const , а dω/ dt = βz – |
проекція кутового прискорення на вісь Z (ми припускаємо, що напрямки вектора ω й осі Z збігаються), прийдемо до рівняння
Iβz = åM зовн,z |
. |
(24.8) |
Це рівняння називають рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі. Воно аналогічно рівнянню другого закону Ньютона maz = åFz . Роль маси
тут відіграє момент інерції, роль лінійного прискорення – кутове прискорення й, нарешті, роль результуючої сили – сумарний момент зовнішніх сил.
§ |
25 Момент інерції циліндра (диска) відносно осі симетрії [4] |
|
1 |
Момент інерції тіла, як відомо, визначається співвідношенням |
|
|
I = åRi2 mi . |
(25.1) |
Бачимо, що вираз (25.1) не є цілком однозначним, оскільки відстань Ri від осі обертання до різних точок i -й малої маси mi є різною. Щоб усунути цю невизначеність, потрібно взяти границю виразу цього виразу за умови, що всі mi прямують до нуля. Тобто суму в (25.1) потрібно замінити інтегруванням:
I = lim |
å |
R2 |
m = |
ò |
R2 dm |
. |
(25.2) |
mi →0 |
i |
i |
|
Якщо ми візьмемо до уваги визначення густини неоднорідного тіла ρ = dm / dV , то отримаємо наступну формулу для моменту інерції твердого тіла
|
I = òρR2dV |
, |
(25.3) |
де ρ – густина тіла в точці, яка входить в об’єм dV , R |
– відстань цього об’єму до осі |
||
обертання, відносно якої обчислюється момент інерції. |
|
||
45
З формул (25.1)-(25.3) випливає, що момент інерції є адитивною величиною. Це означає, що момент інерції тіла відносно деякої осі дорівнює сумі моментів інерції частин тіла відносно тієї ж осі. З цих же співвідношень випливає також, що момент інерції тіла відносно різних осей буде різним.
2 Обчислення інтеграла (25.3) являє собою достатньо складне завдання. Справа значно спрощується у випадку однорідних осесиметричних тіл. Як приклад, знайдемо момент інерції однорідного циліндра відносно його геометричної осі OO (рис. 25.1).
Розіб'ємо циліндр на циліндричні шари радіуса R , товщини |
|
dR |
||||||||||||||||
dR , висоти h . Маса такого шару дорівнює dm = rdV = r × 2pRhdR |
|
|||||||||||||||||
|
R |
|||||||||||||||||
( dV = 2pRhdR – об’єм шару). Всі точки цього шару розміщені від |
|
|||||||||||||||||
O |
|
|
|
|
||||||||||||||
осі OO на однаковій |
відстані |
|
|
R . Тому |
момент інерції такого |
|
|
|
|
|||||||||
циліндричного шару дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dI = rR2dV = rR2 × 2pRhdR = 2prhR3dR . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Проінтегруємо цей вираз за змінною R в межах від 0 до r ( r – |
O |
r |
|
|
||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
радіус циліндра) і отримаємо момент інерції однорідного циліндра |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
відносно його осі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
r |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
r |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
I = 2prhòR3dR = 2prh |
|
|
|
= |
|
rhpr2 |
× r2 = |
mr2 , |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
4 |
2 |
|
2 |
|
O |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 25.1 |
||||
тобто |
|
I = |
1 |
mr2 |
|
|
(25.4) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( m = rhpr 2 – маса циліндра). Відзначимо, що отриманий вираз (25.4) не залежить від висоти
циліндра h . Отже, формула (25.4) визначає й момент інерції тонкого диска відносно перпендикулярної до нього осі, що проходить через його центр.
§ |
26 Момент інерції стержня [4] |
|
1 |
Обчислимо момент інерції тонкого однорідного стержня маси |
m й довжини l |
відносно перпендикулярної до нього осі OO , яка проходить через його центр (див. рис. 26.1). |
||
Для цього використаємо визначення моменту інерції твердого тіла |
|
|
|
I = òR2dm . |
(26.1) |
Зазначимо, що стержень можна вважати тонким, якщо максимальний поперечний розмір його набагато менше довжини l .
Проведемо вздовж |
стержня |
вісь |
|
O |
|
l |
|||
X , початок цієї осі розмістимо в центрі |
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||||
стержня (див. рис. 26.1). Виберемо |
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
||||
ділянку стержня dx . Виходячи з того, що |
|
|
|
|
|
|
|
||
стержень однорідний, маса ділянки |
dx |
|
O |
x |
|
|
dx |
||
буде дорівнювати dm = (m / l)dx , де |
l – |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
довжина стержня. Ця |
маса |
dm |
|
Рисунок 26.1 |
|||||
знаходиться на відстані x від |
осі |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
обертання OO (див. рис. 26.1). У формулі (26.1) ця відстань позначена буквою R , тобто для |
|||||||||
даного випадку R = x . Далі використовуючи |
співвідношення (26.1), |
отримуємо момент |
|||||||
інерції стержня відносно перпендикулярної до нього осі, яка проходить через його центр
|
|
l / 2 |
|
|
|
3 |
|
l / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
m |
|
x |
|
1 |
|
|
|
1 |
ml2 |
|
|
|||||
I = ò x2dm = |
ò x2dx = |
|
|
|
= |
ml2 , тобто |
I = |
. |
(26.2) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
||||||||||
l |
l 3 |
12 |
||||||||||||||||
|
−l / 2 |
|
−l / 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 Наведемо без доведення значення моменту інерції однорідної кулі відносно осі, що проходить через його центр:
I = |
2 |
mr 2 |
, |
(26.3) |
|
5 |
|||||
|
|
|
|
де m – маса, а r є її радіусом.
§ 27 Теорема Гюйгенса-Штейнера [7]
1 Знайдемо зв'язок між моментами інерції тіла відносно двох різних паралельних осей. Вважаємо, що ці осі перпендикулярні до площини рисунка й перетинають цю площину в точках O й A (див. рис. 27.1). Будемо називати ці вісі осями O й A . Розіб'ємо уявно тіло на елементарні маси dm . Позначимо радіус-вектор, який проведено в площині рисунка від
точки O до елементарної маси dm через R , а від точки A до dm – через R¢. Зрозуміло, що на рис. 27.1 зображено випадок, коли елементарна маса dm лежить у площині рисунка. Тоді
|
r |
r |
→ |
|
Тому |
(R¢)2 = R2 |
+ a2 |
r r |
Далі, |
використовуючи |
визначення |
|||||||||
R¢ = R - a , де |
a = OA . |
- 2aR . |
||||||||||||||||||
моменту інерції тіла, знаходимо момент інерції тіла відносно осі A : |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
(27.1) |
|
|
|
|
|
|
I A = ò(R¢)2 dm = ò(R)2 dm + a2 òdm - 2a |
òRdm . |
|
||||||||||||
Проаналізуємо |
доданки, |
які |
знаходяться |
у правій частині |
|
|
dm |
|||||||||||||
співвідношення (27.1). Перший інтеграл праворуч є |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
моментом інерції відносно осі O |
|
IO . Останній інтеграл |
|
|
|
|||||||||||||||
праворуч у відповідності з визначенням центра мас можна |
|
R |
|
|||||||||||||||||
подати |
у вигляді |
ò Rdm = mтіла RC , |
де |
|
RC |
– |
радіус-вектор |
|
|
¢ |
||||||||||
центра |
мас C |
тіла відносно |
осі |
O |
(більш |
точно, |
RC є |
|
|
R |
||||||||||
O |
|
|
||||||||||||||||||
компонентою |
радіуса-вектора |
центра |
мас, яка паралельна |
a |
|
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
площині рисунка), M є масою тіла. Таким чином, |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
A |
|||||||||||||||||
|
|
I |
|
= I |
|
+ m |
a2 - 2m |
|
r |
|
|
|
(27.2) |
|
|
|||||
|
|
A |
O |
|
(a × R ) . |
|
Рисунок 27.1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
тіла |
|
|
|
тіла |
|
C |
|
|
|
|
|||||
Припустимо, що вісь O проходить через центр мас C тіла |
|
|
|
|||||||||||||||||
(точки O й C збігаються). Тоді |
RC = 0 , |
і попередня формула спрощується, |
набираючи |
|||||||||||||||||
вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I A = IC + mтіла a2 |
. |
|
|
|
(27.3) |
||||
Це важливе співвідношення називається теоремою Гюйгенса-Штейнера. Момент інерції відносно довільної осі A дорівнює сумі моменту інерції відносно осі C , яка паралельна осі A й проходить через центр мас тіла C , і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями.
§ 28 Робота тіла, що обертається навколо нерухомої осі [4] 1 Знайдемо роботу, яку виконують зовнішні сили під час обертання твердого тіла
відносно нерухомої осі Z . |
|
|
|
Позначимо зовнішню силу, що прикладена до елементарної маси Dmi , через |
Fi . За |
||
час dt робота сили Fi над i -ю елементарною масою буде дорівнювати |
|
||
dAi = Fi |
r |
r |
(28.1) |
× dri = Fi × uidt . |
|||
Відомо, що швидкість i -ї елементарної маси тіла, |
яке обертається навколо нерухомої осі |
||
r |
r |
– радіус-вектор, що проведений від |
|
визначається співвідношенням ui = [w´ ri |
] , де ri |
||
довільної точки O на осі обертання до точки з масою Dmi . Тоді (28.1) набуває вигляду
47
(28.2)
Далі використаємо відоме з математики співвідношення для змішаного добутку векторів
r |
r |
r |
r |
|
|
|
a |
×[b ´c] = b ×[c |
´ a] і отримаємо |
|
|||
|
r r |
|
r |
r |
r |
r |
dAi = Fi ×[w´ ri |
]dt = w×[ri |
´ Fi ]dt = w× Midt = w× Mi cos(Ðw, Mi )dt = w× Mi,ωdt = Mi,ωdj. (28.3) |
||||
|
|
|
r |
´ Fi ] – момент сили Fi відносно точки O , Mi,ω – проекція вектора Mi |
||
У цій формулі Mi = [ri |
||||||
на напрямок вектора w , dj = w × dt – кут на який повернеться тіло за час dt . Результуючу роботу знайдемо як суму робіт над кожною елементарною масою
dA = ådAi = (åMi,ω )dj .
Позначаючи через M ω = åMi,ω – проекцію результуючого моменту сили на напрямок
кутової швидкості знаходимо шукану елементарну роботу, яку виконують зовнішні сили при обертанні твердого тіла відносно нерухомої осі
|
|
|
|
|
|
|
|
dA = Mω × dj |
. |
|
(28.4) |
|
|
|
r |
|
|
Зазначимо, що формула (28.4) подібна до формули dA = F ×dr . |
|
||||
2 Розділивши роботу (28.4) на час dt , за яке тіло повернулося на кут dj , отримуємо |
|||||
потужність, яка розвивається зовнішніми силами: |
|
||||
|
|
|
|
||
|
P = dA / dt = M ω (dj/ dt) = M ωw |
. |
(28.5) |
||
Знак потужності залежить від знаку проекції результуючого моменту сили |
M ω на напрямок |
||||
кутової швидкості w . Коли проекція M ω від’ємна, то потужність P |
також від’ємна. |
||||
|
|
|
r |
|
|
Зазначимо, формула (28.5) подібна до формули P = F × u . |
|
||||
§ 29 Кінетична енергія твердого тіла за умови плоского руху [4]
1 Знайдемо кінетичну енергію твердого тіла при довільному плоскому русі. Для цього плоский рух будемо розглядати як накладення поступального руху деякої точки тіла та обертання навколо осі, що проходить через цю точку. Тверде тіло подамо як сукупність матеріальних точок. Кінетичну енергію знайдемо як суму кінетичних енергій усіх матеріальних точок твердого тіла.
Тверде тіло подамо як сукупність елементарних мас Dmi . Швидкість довільної елементарної маси ui подамо як накладення поступального руху зі швидкістю uO деякої
точки тіла O й обертання навколо осі, що проходить через цю точку, з кутовою швидкістю w . У цьому разі, як відомо, можемо записати
r r |
r |
r |
] , |
ui = uO + [w´ ri |
|||
де ri – радіус-вектор i -ї маси, який проведено з точки O (див. рис. 29.1).
Кінетична енергія i -ї елементарної маси дорівнює |
|
|
|
||||||||||
(DEk )i |
= |
1 |
2 |
= |
1 |
Dmi |
r |
r |
r |
2 |
. |
||
2 |
Dmi ui |
2 |
(uO |
+ [w´ ri ]) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Підведення у квадрат дає |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(DEk )i |
= |
1 |
|
2 |
+ |
r r |
r |
r |
r |
2 |
). |
||
2 |
Dmi (uO |
2uO [w´ ri ]+ [w´ ri ] |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Взявши суму (DWk )i за всіма елементарними масами, знайдемо кінетичну енергію тіла:
(29.1)
(29.2)
48
Ek = å( |
Ek )i |
= |
1 |
2 r r |
r r |
r 2 |
). |
2 |
å mi (υO + 2υO [ω× ri ]+ [ω× ri ] |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Розіб'ємо отриманий вираз на три доданки, виносячи при цьому постійні множники за знак суми:
Ek = |
1 |
2 |
r |
r r |
1 |
r r 2 |
2 |
υO å mi + υO å mi [ω× ri ]+ |
2 |
å mi [ω× ri ] . |
|||
|
|
|
|
|
||
Сума |
елементарних |
мас |
дасть масу тіла |
|||||
å mi |
= mтіла . |
|
Отже, |
перший |
доданок |
|||
дорівнює m |
υ2 / 2. |
|
|
|
|
|||
|
|
тіла |
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
дорівнює квадрату його |
|||
Квадрат вектора [ω× ri ] |
||||||||
модуля. Модуль цього вектора, |
як випливає з |
|||||||
рис. 29.1, |
ωri sin βi |
= ωRi , де Ri |
– відстань від |
|||||
i -ї маси |
до |
осі |
обертання. |
Тому |
можемо |
|||
|
|
r r |
|
|
|
|
|
|
записати [ω× ri ]2 = ω2Ri2 . Отже, третій доданок у
Z
ω
Ri
βr
iri
O
(29.3)
mi
[ω×r r ri ]
(29.3) дорівнює |
|
|
|
|
||
|
1 |
ω2 å mi Ri2 = |
1 |
IOω2 |
, |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
||||
де IO = å mi Ri2 |
– момент інерції тіла відносно |
|||||
r |
r |
] направле- |
Рисунок 29.1 – Вектор [ω× ri |
||
ний за площину рисунка. Його модуль дорівнює ωri sin βi = ωRi
осі обертання, яка проходить через точку O .
|
Другий доданок у (29.3) перетворимо таким чином: |
|
|||||
|
r |
r |
r |
r r |
r |
r r |
r |
|
υO å mi [ω× ri |
]= υO [ω× å miri ] |
= υO [ω× mтілаrC ], |
||||
r |
r |
– радіус-вектор центра мас, який проведено з точки O . |
|||||
де rC = (å miri )/ mтіла |
|||||||
Таким чином, приходимо до висновку, що кінетична енергія твердого тіла визначається співвідношенням
Ek = |
1 |
2 |
r r |
r |
1 |
IO ω |
2 |
. |
(29.4) |
2 |
mтіла υO + mтіла υO [ω× rC ]+ |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
У перший доданок входять тільки величини, які характеризують поступальний рух, у третій доданок – тільки величини, що характеризують обертальний рух. Другий же доданок містить величини, що характеризують як поступальний, так і обертальний рух.
r
2 Коли за точку O взяти центр мас тіла C , то rC (вектор, який проведено від точки O
до точки C ) буде дорівнювати нулю й формула для кінетичної енергії твердого тіла (29.4)
спроститься таким чином:
|
|
|
Ek = (1/ 2)mтіла υC2 + (1/ 2)IC ω2 |
. |
(29.5) |
Тут υC – швидкість центра мас; IC – момент інерції тіла відносно осі, що проходить через
центр мас.
Таким чином, якщо розбити плоский рух тіла на поступальний зі швидкістю центра мас і обертальний навколо осі, що проходить через центр мас, то кінетична енергія розпадається на два незалежні доданки, один з яких визначається тільки величинами, що характеризують поступальний рух, а другий – тільки величинами, що характеризують обертання.
49