Файл: Lysenko_physics_lek_1.pdf

ТЕМА 4 ТВЕРДЕ ТІЛО В МЕХАНІЦІ

§ 22 Швидкість довільної точки твердого тіла під час його плоского руху. Кутова швидкість обертання твердого тіла. Миттєва вісь обертання [4]

1 Плоским називається такий рух, при якому всі точки тіла рухаються в паралельних площинах.

Довільний плоский рух можна подати як сукупність поступального й обертального

радіус-вектор, який проведено із точки O в дану точку тіла (рис. 22.1). Тоді, використовуючи закон додавання

швидкостей, знаходимо швидкість будь-якої точки A тіла відносно нерухомої системи відліку

2 Розбити рух на поступальний і обертальний можна здійснити великою кількістю способів (на рис. 22.2 показані три з них), які відрізняються значеннями швидкості поступального руху υO (залежить від вибору точки O ), але мають одну і ту ж кутову

швидкість ω . Тому можна говорити про кутову швидкість обертання твердого тіла, не вказуючи, через яку точку проходить вісь обертання. Покажемо це на прикладі циліндра,

що котиться без ковзання по площині (див. рис. 22.2).

Розглянемо рис. 22.2а. У цьому випадку швидкості точок циліндра можна подати як поступальний рух точки A зі швидкістю υA й обертання навколо осі A з кутовою

швидкістю ωA . Зазначимо, що точка A є точкою дотику циліндра й площини. Через те, що

ковзання відсутнє, то в точці дотику швидкості циліндра й площини повинні бути однаковими. Площина ж має швидкість, що дорівнює нулю. Отже, поступальна швидкість точки A дорівнює нулю υA = 0. Використовуючи формулу (22.1), можна знайти модулі швидкостей точок C та B

У цій формулі R є радіусом циліндра.

Розглянемо рис. 22.2б. В цьому випадку швидкості точок циліндра можна подати як

Розглянемо рис. 22.2в. У цьому випадку швидкості точок циліндра можна подати як поступальний рух точки B зі швидкістю υB й обертання навколо осі B з кутовою швидкістю ωB . Використовуючи формулу (22.1), можна знайти модулі швидкостей точок A та C

41

справедливі всі результати, які були отримані для системи матеріальних точок. Зокрема,

центр мас твердого тіла визначається радіус-вектором

проводити в різні точки i -й малої маси. Щоб усунути цю невизначеність, потрібно взяти границю виразу (23.1) за умови, що всі Dmi прямують до нуля:

Ми знаємо, що така границя називається інтегралом. Таким чином,

де інтегрування виконується по всьому твердому тілу.

2 Вираз (23.2) залежить від розподілу маси по об'єму тіла. Цей розподіл можна охарактеризувати за допомогою величини, яка називається густиною. Тіло, властивості якого у всіх точках однакові, називається однорідним. Густиною однорідного тіла називають величину

де mтіла – маса тіла, а V – його об'єм. Таким чином, густина однорідного тіла чисельно

де m – маса, що знаходиться в об'ємі V , який містить у собі точку P . Граничний перехід у цьому виразі не можна розуміти так, що об'єм V стягується безпосередньо в точку. Зменшення V потрібно здійснювати доти, поки не почне проявлятися атомна структура речовини. Тому під dV в (23.4) потрібно розуміти фізично нескінченно малий об'єм, тобто такий об'єм, що, з одного боку, досить малий для того, щоб макроскопічні (тобто властиві великий сукупності атомів) властивості речовини можна було вважати в його межах однаковими, а з іншого боку, досить великий для того, щоб не могла проявитися дискретність речовини.