ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 183
Скачиваний: 0
рухається зі швидкістю υ = V . З урахуванням вищесказаного формулу (45.2) можна подати у вигляді
|
|
|
|
|
t = t0 / 1− υ2 / c2 |
. |
(45.3) |
||
Зотриманої формули випливає, що власний час менше часу, відліченого за годинниками, які рухаються відносно точки, де ці події відбуваються.
Зпогляду спостерігача, який знаходиться у системі K, t є проміжок часу між
подіями, який вимірюється нерухомими |
годинниками, |
а t0 – |
проміжок часу, який |
вимірюється годинником, що рухається зі |
швидкістю υ. |
Оскільки |
t0 < t (див.(45.3)), то |
можна сказати, що годинники, які рухаються, ідуть повільніше, ніж нерухомі годинники.
§ 46 Інтервал і його інваріантність. Швидкість світла як гранична швидкість поширення довільного сигналу [4]
1 Нехай у точці x1, y1, z1 в момент часу t1 відбулася подія 1, а у точці x2 , y2 , z2 в момент часу t2 – подія 2. Вираз
s = c2 t2 − x2 − y2 − z2 = c2 (t |
2 |
− t )2 |
− (x |
2 |
− x )2 |
− ( y |
2 |
− y )2 |
− (z |
2 |
− z )2 |
(46.1) |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
називають інтервалом між подіями 1 та 2. Основною особливістю інтервалу є те, що його величина є інваріантною, тобто він набуває одне і те ж значення у всіх інерціальних системах відліку.
2 Доведемо інваріантність інтервалу. Знайдемо інтервал в системі K′ , що рухається
зі швидкістю V відносно нерухомої системи K , і в системі K й порівняємо їх значення. Для вирішення цієї задачі використаємо перетворення Лоренца
|
|
|
|
x = |
|
|
|
x′ |
+Vt′ |
|
|
|
|
|
|
= y′, |
|
|
= z′, |
t = |
t′ + (V / c2 )x′ |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
, |
y |
z |
1 |
|
|
1 |
|
, |
|
(46.2) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1− |
(V / c)2 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
− (V / c)2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x = |
|
|
|
|
x′ |
+Vt′ |
|
|
|
|
|
|
= y′ , |
|
|
= z′ , |
|
|
= |
|
t′ + (V / c2 )x′ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
, |
y |
2 |
z |
2 |
t |
2 |
|
2 |
|
2 |
. |
(46.3) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1− (V / c)2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1− (V / c)2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Підставимо (46.2), (46.3) в (46.1) і отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
s2 = c2 (t |
2 |
− t )2 |
|
− (x |
2 |
− x )2 |
− ( y |
2 |
− y )2 |
− (z |
2 |
− z )2 |
= c2 |
t2 − x2 − y2 − z2 = |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
( |
t′ + (V / c2 ) x′ )2 |
( x′ +V t′)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= c2 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− ( y′)2 − ( z′)2 = c2 ( t′)2 − ( x′)2 − ( y′)2 − ( z′)2 = ( s′)2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1− (V / c)2 |
|
|
|
1− (V / c)2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким чином, ( s′)2 = ( |
s)2 , тобто інтервал має однакові значення в системі відліку K та в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
системі відліку K′ . Значить інтервал є інваріантною величиною.
3 Розглянемо визначення інтервалу (46.1). Зазначимо, що інтервал може бути дійсною величиною, або уявною величиною. Внаслідок інваріантності інтервал буде дійсним або уявним, або рівним нулю у всіх інерціальних системах відліку.
Для дійсного інтервалу |
|
|
|
|
|
|
c2 t2 − x2 − |
y2 − z2 = c2 t2 − |
l2 = c2 t′2 − l′2 > 0 |
. |
(46.4) |
Звідси випливає, що існує така система K′ , в якій |
l′ = 0 . Тобто події, які характеризуються |
||||
дійсним інтервалом, можуть відбуватися в системі K′ в одній і тій же точці простору. При |
|||||
цьому не існує системи, у якій |
t′ = 0 (при такому значенні t′ інтервал став би уявним). |
||||
Таким чином, події, які розділені дійсним інтервалом, ні в якій системі відліку не можуть бути одночасними. Відповідно до цього дійсні інтервали називаються часоподібними.
72
Для уявного інтервалу |
|
c2Dt2 - Dl2 = c2Dt¢2 - Dl¢2 < 0 . |
(46.5) |
Отже, існує така система K′ , в якій t′ = 0 , тобто події стають одночасними. Однак не існує системи, у якій l′ = 0 (при такому значенні l інтервал став би дійсним). Таким чином, події, які визначаються дійсним інтервалом, ні в якій системі відліку не можуть відбуватися в одній і тій же точці простору. Відповідно до цього уявні інтервали називають
простороподібними.
4 Нехай подія 1 буде причиною, а подія 2 – наслідком. Тобто події 1 і 2 пов’язані між собою причинно-наслідковим зв’язком. Про ці події також говорять як про поширення сигналу. З’ясуємо, який інтервал відповідає цим причинно-наслідковим подіям.
Через те, що в довільній системі відліку час наслідку t2 не повинен бути більшим за час причини t1 , тобто t2 £ t1 , то це означає інтервал, який описує ці події повинен бути або дійсним (часоподібним), або дорівнювати нулю
c2Dt2 - Dl2 = c2Dt¢2 - Dl¢2 ³ 0 .
Звідси випливає для причинно-наслідкових подій (процесу поширення сигналу) має місце
|
|
|
|
Dl2 / Dt2 £ c2 або |
uсигналу = Dl / Dt £ c |
. |
(46.6) |
Таким чином, події, що пов’язані причинно-наслідковим зв’язком, або процес поширення сигналу описуються часоподідним інтервалом або інтервалом, який дорівнює нулю. З (46.6) також виплаває, що максимальна швидкість сигналу будь-якої природи uсигналу = Dl / Dt не може перевищувати швидкість світла c . Випадку, коли сигнал поширюється зі швидкістю світла, відповідає інтервал, який дорівнює нулю.
§ 47 Закон збереження імпульсу в спеціальній теорії відносності. Релятивістське рівняння динаміки [4]
1 Згідно |
принципу |
відносності |
Y |
Y ¢ |
|
|
|
|
|
|||
Ейнштейна усі закони природи, в тому числі й |
K |
|
K¢ |
|
r |
r |
|
|||||
закон збереження імпульсу, повинні бути |
|
m |
u¢ |
u¢ |
m |
|||||||
|
|
|
1 |
2 |
||||||||
інваріантними по відношенню до перетворень |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Лоренца. Перевіримо, чи є інваріантним |
|
|
r |
|
|
|
|
|||||
відносно |
перетворення |
Лоренца |
закон |
O |
O¢ |
V |
|
|
X |
X ′ |
||
збереження імпульсу у вигляді, у якому він був |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
сформульований у ньютонівській механіці. |
|
|
|
Рисунок 47.1 |
|
|
||||||
Для |
цього |
розглянемо |
абсолютно |
|
|
|
|
|||||
непружне центральне зіткнення двох однакових частинок маси |
m . При зазначених на рис. 47.1 |
|||||||
умовах сумарний |
імпульс |
частинок зберігається в |
системі |
K′ (до й після |
зіткнення він |
|||
дорівнює |
нулю). |
У цій |
системі компоненти |
швидкостей частинок |
дорівнюють |
|||
u′ |
= V , u′ |
|
= -V . Зрозуміло, що після зіткнення швидкості частинок у системі K′ будуть |
|||||
1x′ |
2x′ |
|
|
|
|
|
|
|
дорівнювати нулю.
Перейдемо в систему K . Відповідно до формули додавання швидкостей, яка була отримана на базі перетворення Лоренца, можемо записати
|
|
|
|
u′ |
+V |
|
|
|
V +V |
|
|
|
2V |
|
|
|
|
|
||||||
u1x = |
|
|
|
1x′ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
+ |
(V / c |
2 |
¢ |
|
+ |
(V / c |
2 |
|
|
+ (V |
2 |
/ c |
2 |
) |
|||||||||
1 |
|
)× u1x′ |
1 |
|
)×V 1 |
|
|
|
||||||||||||||||
u2x |
= |
|
|
u′2x′ +V |
|
|
= |
|
|
-V +V |
|
= 0 . |
|
|
|
|
||||||||
1+ (V /c2 )× u¢2x′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1+ (V /c2 )×(-V ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Таким чином, до зіткнення проекція на вісь X сумарного імпульсу частинок дорівнює
73
mu1x + mu2x = |
|
2mV |
|
. |
(47.1) |
|
|
+ (V 2 |
/ c2 ) |
||||
1 |
|
|
||||
Після зіткнення частинки у системі K′ мають швидкість, що дорівнює нулю. Це означає, що їх швидкість відносно системи K дорівнює V . Тому проекція сумарного імпульсу після зіткнення дорівнює 2mV . Таким чином
2(mV )¹ 2mV .
1+ V 2 / c2
Отриманий нами результат означає, що в системі K закон збереження імпульсу, визначеного як mυ , не виконується. Тільки за умови, що швидкості частинок набагато менші c , відмінністю виразу (47.1) від 2mV можна знехтувати. Звідси випливає, що визначення імпульсу у вигляді mυ є придатним тільки за умови, що υ << c . Для швидкостей порівнянних зі швидкістю світла у вакуумі, імпульс повинен бути визначений якось інакше, причому при υ/ c → 0 це новий вираз для імпульсу повинен переходити в ньютонівський p = mυ = mdr / dt .
2 Виявляється, для того щоб закон збереження імпульсу був інваріантним по відношенню до перетворень Лоренца необхідно:
|
|
r |
|
mu |
|
|
|
|
1 Імпульс p = mυ |
замінити на релятивістський імпульс |
p = |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
1- (u/ c)2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
2 Припустити, що частинка має енергію спокою, яка пов’язана з його масою. При цьому також вважати можливим взаємне перетворення маси та енергії.
3 Для того, щоб другий закон Ньютона був інваріантним по відношенню до перетворення Лоренца його також потрібно змінити
|
d |
æ |
|
r |
|
ö |
r |
|
|
|
|
ç |
|
mu(t) |
|
÷ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= F |
. |
(47.2) |
|
dt |
ç |
|
|
|
÷ |
||||
|
1- (u(t) / c) |
2 |
||||||||
|
è |
|
ø |
|
|
|
||||
Рівняння (47.2) є релятивістським рівнянням динаміки для матеріальної точки.
Аналізуючи (47.2), бачимо, що в релятивістському випадку маса втрачає зміст коефіцієнта пропорційності між прискоренням і силою. Більше того, напрямки сила та прискорення
можуть не збігатися. Крім того, на відміну від ньютонівської механіки сила F у релятивістській механіці не є інваріантною (у різних інерціальних системах відліку вона має різні модулі й напрямки).
§ 48 Кінетична енергія в спеціальній теорії відносності [4]
1 Знайдемо вираз для кінетичної енергії в спеціальній теорії відносності. Будемо виходити з того, що в спеціальній теорії відносності виконується теорема про кінетичну енергію. Також використаємо релятивістське рівняння динаміки.
Відповідно до теореми про кінетичну енергію, робота, яка виконана над тілом, дорівнює збільшенню його кінетичної енергії:
dEk = dA. |
(48.1) |
Елементарну роботу знайдемо, використовуючи її визначення та релятивістське рівняння динаміки:
r r |
|
d æ |
|
r |
|
|
|
ö |
r |
|
d æ |
|
r |
|
|
|||||
|
|
mu |
|
|
|
|
|
mu |
|
|
||||||||||
dA = Fdr |
= |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
×dr |
= |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ç |
1- u |
2 |
/ c |
2 |
÷ |
|
|
ç |
1- u |
2 |
/ c |
2 |
||||||
|
|
dt è |
|
|
ø |
|
|
dt è |
|
|
||||||||||
Тут використали |
визначення |
швидкості υ = dr / dt . |
||||||||||||||||||
у (48.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
r |
|
d æ |
|
r |
|
|
ö |
r |
||
|
dr |
|
|
mu |
|
|
||||||
÷ |
× |
|
dt = |
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
×udt . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
÷ |
|
dt |
|
ç |
1- u |
2 |
/ c |
2 |
÷ |
|
||
ø |
|
|
dt è |
|
|
ø |
|
|||||
Далі підставляємо отриманий вираз
74
r |
æ |
|
r |
ö |
r |
æ |
|
r |
ö |
||||
d |
ç |
|
mu |
|
÷ |
ç |
|
mu |
|
÷ |
|||
dEk = u |
ç |
|
|
|
÷dt = udç |
|
|
÷. |
|||||
1- u2 / c2 |
1- u2 / c2 |
||||||||||||
|
dt è |
ø |
|
è |
ø |
||||||||
Перетворимо цей вираз, користуючись правилом диференціювання добутку функцій:
|
|
r é |
1 |
|
|
ù |
r |
|
r |
æ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ö |
|
|
r |
é |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
ù |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mdu |
|
|
|
mu(u/ c2 )du |
|||||||||||||||||||||||||
dE |
|
= uê |
|
|
|
|
|
|
úd(mu) + mud |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ = uê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
ú . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1- u |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
k |
ê |
1- u |
2 |
/ c |
2 |
ú |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
2 |
/ c |
2 |
÷ |
|
|
|
|
ê |
|
1- u |
2 |
/ c |
2 |
|
|
2 |
/ c |
2 |
3 / 2 |
ú |
||||||||||
|
|
ë |
|
|
û |
|
|
|
è 1- u |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
) |
û |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
υdυ = υdυ . |
||
Приведемо отриманий вираз до загального знаменника й врахуємо, що u2 = u2 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
У результаті отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
dEk |
= |
(1- u2 / c2 )mudu + (u2 / c2 )mudu |
= |
|
|
mudu |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1- u2 / c2 )3/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1- u2 / c2 )3/ 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Легко перевірити диференціюванням, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mudu |
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
mc |
2 |
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1- u |
2 |
/ c |
2 |
) |
3/ 2 |
= dç |
|
1- u |
2 |
/ c |
2 |
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Отже, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
mc |
2 |
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dEk |
= dç |
1- u |
2 |
/ c |
2 |
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Функції, диференціали яких рівні один одному, можуть відрізнятися тільки на постійну величину. Тому
|
|
mc2 |
|
||
Ek = |
|
|
|
+ const. |
(48.2) |
|
|
|
|||
|
1- u2 / c2 |
|
|||
Кінетична енергія частинки, як відомо з ньютонівської механіки, стає рівною нулю, коли швидкість частинки дорівнює нулю υ = 0 . Використовуємо цю умову в (48.2) і знаходимо невідому константу
|
mc2 |
|||||
0 = |
|
|
|
|
+ const, const = -mc2 . |
|
|
|
|
|
|||
1 |
- 0 |
|||||
|
|
|
||||
Підставляємо значення константи в (48.2) і отримуємо шукану формулу для кінетичної
енергії в спеціальній теорії відносності
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mc |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
æ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ek = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- mc |
= mc |
2 ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1÷ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(48.3) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- u |
2 |
/ c |
2 |
|
|
|
1- u |
2 |
|
/ c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 Проаналізуємо |
|
отриманий |
|
|
вираз у |
|
нерелятивістському випадку, |
тобто |
коли |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
υ / c << 1. Для цього виконаємо такі перетворення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
öæ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö ö |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- u |
2 |
/ c |
2 |
|
|
|
1- u |
2 |
/ c |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- 1- u |
/ c |
|
|
ç |
ç1- |
|
|
|
֍1+ |
|
|
|
÷ ÷ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ek |
= mc2 ç |
|
|
|
|
|
-1÷ = mc2 ç |
|
|
÷ = mc2 ç |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
øè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
÷ = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 ö |
|
|||||||||||||||||||||||
|
ç |
1- u |
/ c |
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
1- u |
/ c |
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
1- u |
/ c |
|
|
1- u |
/ c |
|
÷ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç1+ |
|
÷ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
ø |
||||
|
|
æ |
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö2 |
|
|
|
|
|
ö |
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
1- u |
2 |
/ c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
1 |
|
- ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
/ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
= mc2 ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
÷ = mc2 |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ç |
|
1- u |
2 |
/ c |
2 |
|
|
|
|
- u |
2 |
/ c |
2 |
ö ÷ |
|
|
ç |
|
1- u |
2 |
/ c |
2 |
|
|
|
|
+ |
|
1- u |
2 |
/ c |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
ç1+ 1 |
|
|
|
÷ ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
ç1 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø ø |
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
75
|
|
|
|
|
|
mu2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
mu2 |
mu2 |
||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® |
|
|
(1+ |
|
)= |
|
. |
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
ö |
|
|
2 |
||||||
1- u |
2 |
/ c |
2 |
+ |
1- u |
2 |
/ c |
2 |
1- 0 |
1- 0 |
||||||||||
|
|
ç1 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином, формула для кінетичної енергії в спеціальній теорії відносності за умови, коли швидкість набагато менша за швидкість світла, переходить у вираз для
кінетичної енергії ньютонівської механіки: Ek = mu2 / 2 . Це узгоджується з тим, що при
швидкостях набагато менших за швидкість світла формули релятивістської механіки повинні переходити у відповідні формули ньютонівської механіки.
§ 49 Енергія спокою. Повна енергія. Взаємозв'язок маси й енергії спокою [4]
1 З’ясуємо, які умови потрібно виконати, щоб закон збереження енергії був інваріантним по відношенню до перетворень Лоренца.
Як показують відповідні розрахунки, збереження енергії виявляється інваріантним тільки у тому випадку, коли припустити, що вільна частинка, крім кінетичної енергії,
також має додаткову енергію |
|
E0 = mc2 , |
(49.1) |
яка називається енергією спокою. Вона представляє собою внутрішню енергію частинки.
Тоді сума енергії спокою та кінетичної енергії, яку в релятивістській механіці називають повною енергією, буде дорівнювати
æ |
|
mc2 |
|
|
2 |
ö |
|
2 |
|
|
mc2 |
|
|
|
|
E = ç |
|
|
|
- mc |
|
÷ |
+ mc |
|
= |
|
|
|
|
. |
(49.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ç |
1- u2 / c2 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
1- u2 / c2 |
|
|
|
|
||
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Зазначимо, що термін «повна енергія» має в релятивістській механіці інший зміст, чим у ньютонівській механіці. У ньютонівській механіці повною енергією називається сума кінетичної й потенційної енергій частинки. У релятивістській механіці під повною енергією мається на увазі сума кінетичної енергії й енергії спокою частинки.
2 Як бачимо (див. (49.2)), повна енергія визначається лише швидкістю та масою частинки. Релятивістський імпульс частинки також визначається тільки швидкістю та її масою. Знайдемо зв’язок між повною енергією та імпульсом частинки.
Порівняємо формулу для релятивістського імпульсу
r |
|
mu |
|
p = |
|
|
|
|
|
|
|
1- (u/ c)2 |
|
||
|
|
||
та формулою для повної енергії (49.2). З порівняння випливає, що імпульс і повна енергія частинки пов'язані співвідношенням
r |
E |
r |
u |
|
p × c |
|
p = |
|
u або |
c |
= |
|
. |
c2 |
E |
Підставляємо υ / c , який отримали в (49.3), в (49.2) і знаходимо
E = |
|
mc2 |
|
= |
|
mc2 |
× E |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1- p2c2 / E 2 |
E 2 - p2c2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
або
E 2 - c2 p2 = m2c4 = inv .
Швидкість c і маса m є інваріантами. Отже, і вираз E 2 - p2c2
(49.3)
(49.4)
являє собою інваріант,
тобто має однакове числове значення у всіх інерціальних системах відліку. При переході від
76